《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：2.1.1-2.2 空间中直线与直线之间的位置关系 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：2.1.1-2.2 空间中直线与直线之间的位置关系 Word版含解析.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 2 课时 空间中直线与直线之间的位置关系 知识点一 空间两直线的位置关系 1空间中两条直线的位置关系 2异面直线 (1)定义：把不同在任一平面内的两条直线叫作异面直线 (2)画法：(通常用平面衬托) , 1异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件异面直 线既不相交，也不平行 2 不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线， 如图中， 虽然有 a， b， 即 a， b 分别在两个不同的平面内， 但是因为 ab O，所以 a 与 b 不是异面直线 知识点二 平行公理与等角定理 1平行公理(公理 4)与等角定理 (1)平行公理 文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行这一性质叫作 空间
2、平行公理 符号表述：Error!Error!ac. (2)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互 补 2异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 aa， bb， 我们把 a与 b所成的锐角(或直角)叫作异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) (2)范围：0EH， 2 3 所以四边形 EFGH 有一组对边平行但不相等 由平面几何知识得到线线平行，用公理 4 进行转化 类型二 等角定理及其应用 例 2 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1 分别为棱 AD，AB，B1C1，C1D1的中点 求证：EA
3、1FE1CF1. 【证明】 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，取 A1B1的 中点 M，连接 BM，F1M，则 BFA1M. 又BFA1M，四边形 A1FBM 为平行四边形，A1FBM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1綊 BC，F1M 綊 BC，四边形 F1MBC 为平行四边形 BMCF1.又 BMA1F，A1FCF1. 同理，取 A1D1的中点 N，连接 DN，E1N，则有 A1ECE1. EA1F 与E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反， EA1FE1CF1. 要证明EA1FE1CF1， 可证明A1FCF1， A
4、1ECE1且射线A1E 与 CE1，射线 A1F 与 CF1的方向分别相反 方法归纳 (1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：若一个角的 两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两 个角相等；若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对 边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补 (2)证明角相等，一般采用三种途径 利用等角定理及推论；利用三角形相似；利用三角形全等 跟踪训练 2 在三棱柱 ABCA1B1C1中， M， N， P 分别为 A1C1， AC 和 AB 的中点求证：PNA1BCM. 证明：因为 P，N 分别为 AB，AC 的中点， 所以 PNBC
5、. 又因为 M，N 分别为 A1C1，AC 的中点， 所以 A1M 綊 NC. 所以四边形 A1NCM 为平行四边形， 于是 A1NMC. 由及PNA1与BCM 对应边方向相同，得PNA1BCM. 利用空间等角定理证明两角相等的步骤： (1)证明两个角的两边分别对应平行； (2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反 类型三 求异面直线所成的角 例 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 A1B1，B1C1的 中点，求异面直线 DB1与 EF 所成的角的大小 【解析】 方法一 如图所示，连接 A1C1，B1D1，并设它们相交 于点 O，取 DD1的中点 G，连接 OG，A1G
6、，C1G， 则 OGB1D，EFA1C1， GOA1为异面直线 DB1与 EF 所成的角(或其补角) GA1GC1，O 为 A1C1的中点，GOA1C1. 异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90. 方法二 如图所示， 连接 A1D， 取 A1D 的中点 H， 连接 HE， 则 HE 綊 DB1， 1 2 HEF 为异面直线 DB1与 EF 所成的角(或其补角) 连接 HF，设 AA11，则 EF，HE， 2 2 3 2 取 A1D1的中点 I，连接 HI，IF，则 HIIF， HF2HI2IF2 ，HF2EF2HE2，HEF90. 5 4 异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90. 方法
7、三 ： 如图，连接 A1C1，分别取 AA1，CC1的中点 M，N，连接 MN. E，F 分别是 A1B1，B1C1的中点， EFA1C1，又 MNA1C1，MNEF. 连接 DM，B1N，MB1，DN，则 B1N 綊 DM， 四边形 DMB1N 为平行四边形， MN 与 DB1必相交， 设交点为 P， 则DPM 为异面直线 DB1与 EF 所成的角(或其补角) 设 AA1k(k0)， 则 MPk， DMk， DPk， DM2DP2 2 2 5 2 3 2 MP2，DPM90.异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90. 方法四：如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方 体，连接 B1
8、Q，易得 B1QEF， DB1Q 就是异面直线 DB1与 EF 所成的角(或其补角) 设 AA1k(k0)，则 B1Dk，DQk，B1Qk，352 B1D2B1Q2DQ2，DB1Q90. 异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90. 利用中位线作平行线， 找出异面直线DB1与EF所成的角即可求解 方法归纳 求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角 形求解, 跟踪训练 3 如图， P 是平面 ABC 外一点， PA4， BC2， D， E5 分别为 PC， AB 的中点，
9、 且 DE3.求异面直线 PA 与 BC 所成的角的大 小 解析：如图，取 AC 的中点 F，连接 DF，EF，在PAC 中， D 是 PC 的中点，F 是 AC 的中点，DFPA. 同理可得 EFBC. DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角(或其补角) 在DEF 中，DE3，又 DF PA2，EF BC， 1 2 1 2 5 DE2DF2EF2， DFE90，即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90. 平移 PA，BC 至一个三角形中找出 PA 和 BC 所成的角 求出此角 基础巩固基础巩固(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1一条直线与
10、两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置 关系是( ) A异面 B平行 C相交 D可能相交、平行、也可能异面 解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位 置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示 答案：D 2空间两个角 ， 的两边分别对应平行且方向相同，若 50， 则 等于( ) A50 B130 C40 D50或 130 解析：由等角定理知 与 相等，故选 A. 答案：A 3. 如图， 在空间四边形 ABCD 中， E， F 分别为 AB， BC 的中点， G， H 分别在边 CD，DA 上，且满足 CG GD，DH2HA，则四边形 EFGH 1 2 为( ) A平行四边
11、形 B矩形 C菱形 D梯形 解析：因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点， 所以 EF 綊 AC， 1 2 又 ， ， DH HA 2 1 DG GC 2 1 所以，所以 HG 綊 AC， DH HA DG GC 2 3 所以 EFHG 且 EFHG， 所以四边形 EFGH 为梯形 答案：D 4若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内，l 是 平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( ) Al 与 l1，l2都不相交 Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交 Dl 至少与 l1，l2中的一条相交 解析：由直线 l1和 l2是异面直线可知 l1与
12、 l2不平行，故 l1，l2中至 少有一条与 l 相交 答案：D 5在正方体 ABCDA1B1C1D1的所有面对角线中，与 AB1成异面 直线且与 AB1成 60的有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析： 如图，AB1C 是等边三角形，所以每个内角都为 60，所以面对 角线中，所有与 B1C 平行或与 AC 平行的直线都与 AB1成 60角所以 异面的有 2 条 又AB1D1也是等边三角形，同理满足条件的又有 2 条，共 4 条， 故选 D. 答案：D 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1
13、C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都 填上) 解析 ： 直线 AM 与 CC1是异面直线， 直线 AM 与 BN 也是异面直线， 所以错误点 B，B1，N 在平面 BB1C1C 中，点 M 在此平面外，所 以 BN，MB1是异面直线同理 AM，DD1也是异面直线 答案： 7已知正方体 ABCDABCD中： (1)BC与CD所成的角为 _ _； (2)AD 与BC所成的角为 _ _ 解析：连结 BA，则 BACD
14、，连结 AC， 则ABC就是 BC与 CD所成的角由ABC为正三 角形 ABC60， 由 ADBC，AD 与 BC所成的角就是CBC. 易知CBC45. 答案：(1)60 (2)45 8如图，点 P，Q，R，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱 的中点，则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是_(填序号) 解析：中 PQRS，中 RSPQ，中 RS 和 PQ 相交 答案： 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 A1A，C1C 的中 点，求证：四边形 MBND1为平行四边形 证明：取 B1B 的中点 P，连接 C1P，MP.
15、 因为 N 为 C1C 的中点，由正方体性质知 C1N 綊 PB，所以四边形 C1PBN 为平行四边形，所以 C1P 綊 BN，(*) 又因为 M，P 分别为 A1A，B1B 的中点，有 MP 綊 A1B1. 又由正方体性质知 A1B1綊 C1D1， 所以 MP 綊 C1D1， 所以四边形 D1MPC1为平行四边形， 所以 C1P 綊 MD1. 由(*)知 MD1綊 BN， 所以四边形 MBND1为平行四边形 10在正方体 ABCDA1B1C1D1中， (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1与 EF 所成角的大小 解析：(1)如图
16、所示，连接 B1C，AB1，由 ABCDA1B1C1D1是正方 体， 易知 A1DB1C，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的 角(或其补角) AB1ACB1C， B1CA60. 即 A1D 与 AC 所成的角为 60. (2)如图所示，连接 BD，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， ACBD，ACA1C1， E，F 分别为 AB，AD 的中点， EFBD，EFAC. EFA1C1. 即 A1C1与 EF 所成的角为 90. 能力提升能力提升(20 分钟，分钟，40 分分) 11 2019江西师大附中月考已知 a 和 b 是成 60角的两条异面直 线，则过空间一点
17、且与 a、b 都成 60角的直线共有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析：把 a 平移至 a与 b 相交，其夹角为 60. 60角的补角的平分线 c 与 a、b 成 60角 过空间这一点作直线 c 的平行线即满足条件 又在 60角的“平分面”上还有两条满足条件，故选 C. 答案：C 12. 2019江西新余一中月考如图所示， 在空间四边形 ABCD 中， E， H 分别为 AB，AD 的中点，F，G 分别是 BC，CD 上的点，且 CF CB CG CD ，若 BD6 cm，梯形 EFGH 的面积为 28 cm2，则平行线 EH，FG 间 2 3 的距离为_ 解析：EH3，FG
18、6 4， 2 3 设 EH，FG 间的距离为 h， 则 S梯形 EFGH28，得 h8 (cm) EHFGh 2 答案：8 cm 13. 已知棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别是棱 CD， AD 的中点求证：DNMD1A1C1. 证明： 如图， 连接 AC， 在ACD 中， 因为 M， N 分别是 CD， AD 的中点， 所以 MN 是ADC 的中位线， 所以 MNAC， 由正方体的性质得 ACA1C1， 所以 MNA1C1. 又因为 NDA1D1， 所以DNM 与D1A1C1相等或互补 而DNM 与D1A1C1均是直角三角形的锐角，所以DNMD1A1C1. 1
19、4 如图， 在空间四边形 ABCD 中， ADBC2， E， F 分别是 AB、 CD 的中点，若 EF，求异面直线 AD、BC 所成角的大小3 解析：如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM. 因为 E、F 分别是 AB、CD 的中点， 所以 EM 綊 AD，FM 綊 BC，则EMF 或其补角就是异面直线 1 2 1 2 AD、BC 所成的角 因为 ADBC2，所以 EMMF1， 在等腰MEF 中，过点 M，作 MHEF 于 H， 在 RtMHE 中，EM1，EH EF， 1 2 3 2 则 sinEMH，于是EMH60， 3 2 则EMF2EMH120. 所以异面直线 AD、 BC 所成的角为EMF 的补角， 即异面直线 AD、 BC 所成的角为 60.