《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：4.1.2 圆的一般方程 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：4.1.2 圆的一般方程 Word版含解析.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、4.1.2 圆的一般方程 知识导图 学法指导 1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握 圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的 步骤 2明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程 的区别 高考导航 1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点， 多 以选择题、填空题的形式出现，分值 5 分 2考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值 46 分. 知识点一 圆的一般方程 1二元二次方程 x2y2DxEyF0，当 D2E24F0 时， 该方程叫作圆的一般方程 2圆的一般方程下的圆心和半径： 圆的一般方程 x2y2DxEyF
2、0(D2E24F0)表示的圆的 圆心为，半径长为. ( D 2 ，E 2) D2E24F 2 知识点二 求动点的轨迹方程的方法 求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足 的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那 么就要先建立适当的直角坐标系 求轨迹方程的一般步骤为： 圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的 二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方 程 x2y2DxEyF0(其中 D，E，F 为常数)具有以下特点： (1)x2，y2项的系数均为 1； (2)没有 xy 项； (3)D2E24F0. 小试身手小试身手 1
3、判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”) (1)方程 x2y2x10 表示圆( ) (2)方程 2x22y22ax2ay0(a0)表示圆( ) 答案：(1) (2) 2圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是( ) A(2,3) B(2,3) C(2，3) D(2，3) 解析：D4，E6，则圆心坐标为(2，3) 答案：D 3已知三点 A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC 外接圆的33 圆心到原点的距离为( ) A. B. 5 3 21 3 C. D. 25 3 4 3 解析：设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0， 则Error!Error!解得Error!Error! AB
4、C 外接圆的圆心为，故ABC 外接圆的圆心到原 (1， 23 3 ) 点的距离为 .12(2 3 3 ) 2 21 3 答案：B 4若方程 x2y2axaya0 表示圆，则 a 的取值范围是 _ 解析：由题意得 2a24a0，a22a0，a2. 答案：(，0)(2，) 类型一 圆的一般方程的概念辨析 例 1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径 (1)2x2y27x50； (2)x2xyy26x7y0； (3)x2y22x4y100； (4)2x22y24x0. 【解析】 二元二次方程只有能转化为x2y2DxEyF0且 D2E24F0 才表示圆 (1)因为 x2与 y2项的系数不相等
5、，所以不能表示圆 (2)因为方程中含有 xy 项，所以不能表示圆 (3)因为(2)2(4)24100，成立则表示圆，否则 不表示圆；将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解应用这 两种方法时，要注意所给方程是不是 x2y2DxEyF0 这种标准 形式，若不是，则要化为这种形式再求解 跟踪训练 1 下列方程各表示什么图形？若表示圆， 求其圆心和半 径 (1)x2y2x10； (2)x2y22axa20(a0)； (3)2x22y22ax2ay0(a0) 解析 ： (1)D1，E0，F1，D2E24F1430， 该方程表示圆， 它的圆心为， 半径 r ( a 2， a 2) 1 2 D2E24F
6、|a|. 2 2 判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆 的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表 示圆此时有两种途径：一是看 D2E24F 是否大于零；二是直接配 方变形，看方程等号右端是不是大于零的常数 类型二 待定系数法求圆的方程 例 2 已知ABC 的三个顶点分别为 A(1,5)， B(2， 2)， C(5,5)， 求其外接圆 P 的方程 【解析】 方法一 设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2 E24F0)， 由题意可得Error!Error!解得Error!Error! 故所求外接圆 P 的方程为 x2y24x2y200. 方法二 由题意可
7、得弦 AC 的中垂线方程为 x2，BC 的中垂线方 程为 xy30， 由Error!Error!解得Error!Error! 所 以 圆 心 P 的 坐 标 为 (2,1) 外 接 圆 的 半 径 长 r |AP| 5， 212152 故所求外接圆 P 的方程为(x2)2(y1)225. 方法一是待定系数法，应用起来很方便，计算略微复杂，方法二 是根据圆的几何性质解题，需要细心分析，技巧性较强求圆的方程 时常用的几何性质有： 圆的弦的垂直平分线过圆心 ； 圆的半径 r，半弦长 h，弦心距 d 满足 r2h2d2. 方法归纳 待定系数法求圆的一般方程的步骤 用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：
8、 跟踪训练 2 求过三点 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求 这个圆的半径和圆心坐标 解析：设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0， 所求圆过点 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)， Error!Error!解得Error!Error! 所求圆的方程为 x2y28x6y0， 4， 3，圆 D 2 E 2 心为(4，3)， 半径 r5. 1 2 D2E24F 设出外接圆的一般方程， 分别把 A， B， C 三点的坐标代入， 解出 D， E，F 即可得所求方程；或根据几何性质求出圆心坐标和半径长，即可 得圆的方程 类型三 轨迹问题 例3 已知A(2,0)为圆x2
9、y24上一定点， B(1,1)为圆内一点， P， Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程 【解析】 (1)设 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y) 因为 P 点在圆 x2y24 上， 所以(2x2)2(2y)24， 整理得(x1)2 y21， 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设 PQ 的中点为 N(x，y)，在 RtPBQ 中，|PN|BN|， 设 O 为坐标原点， 连接 ON， OP， BN， 则 ONPQ， 所以|OP|2|ON|2 |PN|2|ON|2|B
10、N|2， 所以 x2y2(x1)2(y1)24.整理得 x2y2xy10， 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10. 求点的轨迹方程就先设出该点的坐标，然后运用已知条件代入已 知点满足的关系式进行求解 方法归纳 1一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等量关 系用数学语言表达出来， 再进行变形、 化简， 就会得到相应的轨迹方程， 所以找等量关系是解决问题的关键 2求曲线的轨迹方程要注意的三点 (1)根据题目条件，选用适当的求轨迹方程的方法 (2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的曲 线(图形) (3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点 跟踪训练 3 已知
11、圆 O 的方程为 x2y29，求经过点 A(1,2)的圆 的弦的中点 P 的轨迹 解析：设动点 P 的坐标为(x，y) 当 AP 垂直于 x 轴或点 A 与点 P 重合时，点 P 的坐标分别为(1,0)， (1,2)，符合题意， 此时 x1； 当点 P 在原点， 或 AP 垂直于 y 轴时， 即当点 P 的坐标为(0,0)或(0,2) 时，也符合题意， 此时 x0； 当 x0，且 x1 时，根据题意可知 APOP，即 kAPkOP1， kAP，kOP ， 1，即 x2y2x2y0(x0， y2 x1 y x y2 x1 y x 且 x1) 经检验，点(1,0)，(1,2)，(0,0)，(0,2
12、)也适合上式 综上所述，点 P 的轨迹是以为圆心，为半径长的圆. ( 1 2，1) 5 2 画出图形，结合圆的弦的中点的性质，由 APOP 建立关系求 解解题时，注意对点 P 的特殊位置的讨论 4.1.2 基础巩固基础巩固(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1 如果 x2y22xyk0 是圆的方程， 则实数 k 的取值范围是 ( ) A(，5) B.(，5 4) C. D. (， 3 2) ( 3 2，) 解析：由(2)2124k0，得 k0， 即 4m244m220m0，解得 m0) 因为圆心在 x 轴上，所以 0，即 E0. E 2 又圆过点 A(
13、1，)和 B(2，2)，52 所以Error!Error! 即Error!Error!解得Error!Error! 故所求圆的方程为 x2y26x0. 14 已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)， 端点A在圆C： x2y24x 0 上运动， 求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程， 并说明它的轨迹是什么 解析：设点 P 的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x0，y0)，由于点 B 的坐标为(8,6)，且 P 为线段 AB 的中点，x， x08 2 y， y06 2 于是有 x02x8，y02y6. 点 A 在圆 C 上运动，点 A 的坐标满足方程 x2y24x0， 即 x y 4x00， 2 02 0 (2x8)2(2y6)24(2x8)0，化简整理，得 x2y26x6y 170，即(x3)2(y3)21， 点 P 的轨迹是以(3,3)为圆心，1 为半径长的圆