《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：4.1.1 圆的标准方程 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：4.1.1 圆的标准方程 Word版含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、4.1.1 圆的标准方程 知识导图 学法指导 1.理解圆的定义，体会推导圆的标准方程的过程 2利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程 3结合圆的标准方程，体会判断点与圆的位置关系的两种方法 高考导航 圆的标准方程的求解、圆心坐标及半径长的确定、点与圆的位置 关系问题是常考题型，有时也会考查与圆有关的最值问题和对称问题， 多以选择题或填空题的形式出现，分值 5 分. 知识点一 圆的标准方程 1圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆定点圆的圆心； 定长圆的半径 2圆的标准方程 1由圆的标准方程可直接得到圆的圆心和半径；反过来，已知圆 的圆心和半径即可直接写出圆的标准方程这一点体现了圆
2、的标准方 程的直观性 2由圆的标准方程来看，要确定圆的标准方程需要三个独立的条 件：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径 若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？ 知识点二 点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置关系 对应如下： 位置关系 点在圆 外 点在圆 上 点在圆 内 d与r的大小关 系 drdrd， 452632105 |CN|， 4326425 |CP|5，故点 M 在圆外； 由于(34)2(46)25，故点 N 在圆上； 由于(34)2(56)22r2. 跟踪训练 2 若点(3，)在圆 x2y216 的内部，则 a 的取值范a 围是( ) A0
3、,7) B(，7) C7 D(7，) 解析：由已知得 a0，且(30)2(0)224.所以点 P 在圆外， 故选 A. 答案：A 5圆心为(2，3)，一条直径的两端点分别在 x 轴、y 轴上，则此 圆的方程是( ) A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213 C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252 解析：利用平面几何知识得 r，所以 20230213 圆的方程是(x2)2(y3)213，故选 A. 答案：A 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6与圆(x2)2(y3)216 同圆心且过点 P(1,1)的圆的方程为 _ 解析：因为已知圆的圆心为(2，3)，所以
4、所求圆的圆心为(2， 3)又 r5， 212312 所以所求圆的方程为(x2)2(y3)225. 答案：(x2)2(y3)225 7已知点 P(a，a1)在圆 x2y225 的内部，那么实数 a 的取值 范围是_ 解析：由 a2(a1)20)， 则圆心坐标是(a，b)， 则Error!Error!解得Error!Error! 所以圆的标准方程为(x2)2(y1)210. 解法二 设 A(5,2)，B(3，2) 因为圆过 A(5,2)，B(3，2)两点， 所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线 l 上， kAB2，kl ，又线段 AB 的中点为(4,0)， 22 53 1 2 所以线段 AB 的
5、垂直平分线方程为 y (x4)， 1 2 设所求圆的圆心为(a，b)，则有Error!Error!解得Error!Error! 所以半径 r， 25212210 故所求圆的标准方程为(x2)2(y1)210. 解法三 因为圆心在直线 2xy30 上， 所以设圆心坐标为(a,2a3)， 因为圆过点(5,2)，(3，2)， 所以， a522a322a322a322 解得 a2.所以圆心为(2,1)，半径 r， 25212210 故所求圆的标准方程为(x2)2(y1)210. 10已知两点 A(4,9)，B(6,3)， (1)求以 AB 为直径的圆的方程； (2)试判断点 M(6,9)， N(3,3
6、)， Q(5,3)是在(1)中所求圆的圆上， 圆内， 还是圆外 解析：(1)设圆心为 C(a，b)，半径为 r(r0)， 则由 C 为线段 AB 的中点得 a5，b6. 46 2 93 2 又由两点间的距离公式得 r|AC|. 45296210 所以所求圆的方程为(x5)2(y6)210. (2)分别计算点到圆心 C 的距离： |MC|； 65296210 |NC|； 3523621310 |QC|3. 55236210 因此，点 M 在圆上，点 Q 在圆内，点 N 在圆外 能力提升能力提升(20 分钟，分钟，40 分分) 11圆(x2)2y25 关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A(
7、x2)2y25 Bx2(y2)25 C(x2)2y25 Dx2(y2)25 解析：圆(x2)2y25 的圆心为(2,0)，(2,0)关于原点的对称 点为(2,0)，所以所求圆的圆心为(2,0)，易知所求圆的半径 r，所5 以所求圆的方程为(x2)2y25. 答案：A 12 设 点 P(x， y)是 圆 x2 (y 4)2 4 上 任 意 一 点 ， 则 的最大值为_ x12y12 解析： 因 为 点 P(x， y)是 圆 x2 (y 4)2 4 上 任 意 一 点 ， 因 此 表示点(1,1)与该圆上任一点的距离 x12y12 易 知 点 (1,1)在 圆 x2 (y 4)2 4 的 外 部
8、， 结 合 图 可 得 的最大值为22. x12y1210214226 答案：226 13 已知某圆圆心在 x 轴上， 半径长为 5， 且截 y 轴所得线段长为 8， 求该圆的标准方程 解析：如图，由题设知|AC|r5， |AB|8，|OA|4. 在 RtAOC 中，|OC| 3.|AC|2|OA|25242 设点 C 的坐标为(a,0)，则|OC|a|3，a3. 所求圆的标准方程为(x3)2y225 或(x3)2y225. 14已知圆过点 A(1，2)，B(1,4) (1)求周长最小的圆的方程； (2)求圆心在直线 2xy40 上的圆的方程 解析：(1)当线段 AB 为圆的直径时，过点 A，B 的圆的半径最小， 从而周长最小， 即以线段 AB 的中点(0,1)为圆心，r |AB|为半径 1 2 10 则所求圆的方程为 x2(y1)210. (2)解法一 直线 AB 的斜率 k3， 42 11 则线段 AB 的垂直平分线的方程是 y1 x， 1 3 即 x3y30. 由Error!Error!，解得Error!Error!， 即圆心的坐标是 C(3,2) r2|AC|2(31)2(22)220. 所求圆的方程是(x3)2(y2)220. 解法二 设圆的方程为(xa)2(yb)2R2. 则Error!Error!Error!Error!. 所求圆的方程为(x3)2(y2)220.