《2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：1.4.2.2 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：1.4.2.2 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 Word版含解析.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 2 课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 1.周期函数 (1)周期函数. 对于函数 f(x)，存在一个非零常数 T 条件 当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x) 结论函数 f(x)叫做周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期 (2)最小正周期. 条件 周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数 结论这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期 关于最小正周期状元随笔 (1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数 f(x)C， 对于任意非零常数 T， 都有 f(xT)f(x)， 即任意常数 T 都是函数的周 期，因此没有最小正周期 (2)对于函数 yAsi
2、n(x)B，yAcos(x)B，可以利用 公式 T求最小正周期 2 | 2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数ysin xycos x 周期 2k(kZ 且 k0) 2k(kZ 且 k0) 最小正周 期 22 奇偶性奇函数偶函数 关于正、余弦函数的奇偶性状元随笔 (1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦 曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称 (2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示 形式 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确. (正确的打“” ，错误的打“”) (1)如果存在常数 T
3、，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT) f(x)，那么这个函数的周期为 T.( ) (2)如果存在非零常数 T， 使得定义域内存在一个值 x， 有 f(xT) f(x)，那么这个函数的周期为 T.( ) (3)函数 ysin x，x(，是奇函数( ) 答案：(1) (2) (3) 2下列函数中，周期为 的是( ) 2 Aysin Bysin 2x x 2 Cycos Dycos 4x x 4 解析：对于 A，T4，对于 B，T， 2 1 2 2 2 对于 C，T8，对于 D，T . 2 1 4 2 4 2 答案：D 3函数 f(x)sin(x)的奇偶性是( ) A奇函数 B偶函
4、数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 解析：由于 xR，且 f(x)sin xsin(x)f(x)，所以 f(x) 为奇函数，故选 A. 答案：A 4下列函数中是偶函数的是( ) Aysin 2x Bysin x Cysin|x| Dysin x1 解析 ： A、 B 是奇函数， D 是非奇非偶函数， C 符合 f(x)sin|x| sin|x|f(x)，ysin|x|是偶函数 答案：C 类型一 求三角函数的周期 例 1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( ) A.y|cos x| Bycos|x| Cy|sin x| Dysin|x| (2)函数 y2sin的周期为_ ( x 3 6
5、) 【解析】 (1)画出 ysin|x|的图象，易知 ysin|x|不是周期函数 (2)方法一 因为 2sin2sin， ( x 3 62) ( x 3 6) 即 2sin2sin. 1 3x6 6 ( x 3 6) 所以 y2sin的最小正周期是 6. ( x 3 6) 方法二 函数的周期 T6. 2 | 2 1 3 【答案】 (1)D (2)6 (1)作出函数的图象，根据周期的定义判断 (2)利用周期的定义，需要满足 f(xT)f(x) ；也可利用公式 T 计算周期 2 | 方法归纳 求函数周期的方法 (1)定义法 ： 紧扣周期函数的定义， 寻求对任意实数 x 都满足 f(xT) f(x)
6、的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数 (2)公式法 ： 对形如 yAsin(x)和 yAcos(x)(其中 A， ， 是常数，且 A0)，可利用 T来求 2 | (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特 别是对于含绝对值的函数一般采用此法 跟踪训练 1 求下列函数的周期 (1)y2sin 2x； (2)ycos. ( 1 2x 6) 解析 ： (1)方法一 因为2sin(2x2)2sin 2x， 即2sin 2(x)2sin 2x. 由周期函数的定义，可知原函数的周期为 . 方法二 T. 2 2 (2)方 法 一 因 为 cos cos， 即 cos ( 1 2x 6)
7、2( 1 2x 6) cos. 1 2x4 6 ( 1 2x 6) 由周期函数的定义，可知原函数的周期为 4. 方法二 T4 2 1 2 (1)利用周期的定义求函数周期 (2)利用公式 T求函数周期 2 | | 类型二 正、余弦函数的奇偶性问题 例 2 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)cos； (2x 5 2) (2)f(x)sin(cos x) 【解析】 (1)函数的定义域为 R.且 f(x)cossin 2x. ( 22x) 因为 f(x)sin(2x)sin 2xf(x)，所以函数 f(x)cos 是奇函数 (2x 5 2) (2)函数的定义域为 R.且 f(x)sincos(x)s
8、in(cos x)f(x)， 所以函数 f(x)sin(cos x)是偶函数. 先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性 方法归纳 利用定义判断函数奇偶性的三个步骤 注意：若函数 f(x)的定义域不关于原点对称，无论 f(x)与 f(x)有 何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数 跟踪训练 2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)|sin x|cos x； (2)f(x).1cos xcos x1 解析：(1)函数的定义域为 R， 又 f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以 f(x)是偶 函数 (2)由 1cos x0 且 cos x10， 得 cos
9、x1，从而 x2k，kZ，此时 f(x)0，故该函数既是奇 函数又是偶函数 (1)利用定义法判断函数的奇偶性 (2)由偶次根式被开方数大于等于 0 求出 cos x 的值以及 x 的值， 最 后判断函数的奇偶性 类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 例 3 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的 最小正周期是 ，且当 x时，f(x)sin x，求 f的值 0， 2 ( 5 3) 【解析】 因为 f(x)的最小正周期是 ， 所以 fff， ( 5 3) ( 5 3 2) ( 3) 因为 f(x)是 R 上的偶函数， 所以 ffsin . ( 3) ( 3) 3
10、 3 2 利用周期性 ff f，再利用奇偶性 ff，最后 ( 5 3) ( 5 32) ( 3) ( 3) ( 3) 代入求值 方法归纳 三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y Asin(x)或 yAcos(x)的形式，再利用公式求解 (2)判断函数 yAsin(x)或 yAcos(x)是否具备奇偶性， 关键是看它能否通过诱导公式转化为 yAsin x(A0)或 yAcos x(A0)其中的一个 跟踪训练 3 若本例中函数的最小正周期变为 ，其他条件不变， 2 求 f的值 ( 17 6 ) 解析：因为 f(x)的最小正周期是 ， 2 所以
11、 ffffsin ( 17 6 ) (3 6) (6 2 6) ( 6) 6 1 2 利用周期性 fff代入求值 ( 17 6 ) (3 6) ( 6) 1.4.1-2.2 基础巩固基础巩固(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1函数 y5cos(3x1)的最小正周期为( ) A. B3 3 C. D. 2 3 3 2 解析：该函数的最小正周期 T. 2 2 3 答案：C 2函数 f(x)sin 2x 的奇偶性为( )2 A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 解析：因为 f(x)的定义域是 R，且 f(x)sin 2(x)sin 2
12、2 2xf(x)， 所以函数 f(x)为奇函数 答案：A 3函数 f(x)sin是( ) ( 2 011 2 2 010x) A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数 解析：f(x)sin(2 011 2 2 010x) sin( 22 010x)1 005 sincos 2 010x， ( 22 010x) f(x)定义域为 R， 且 f(x)cos(2 010x)cos 2 010xf(x)， 所以函数 f(x)为偶函数 答案：B 4函数 f(x)xsin( ) ( 2x) A是奇函数 B是非奇非偶函数 C是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 解析 ： 由题， 得函数 f(x
13、)的定义域为 R， 关于原点对称， 又 f(x)xsin xcos x， 所以 f(x)(x)cos(x)xcos xf(x)， 所以函 ( 2x) 数 f(x)为奇函数 答案：A 5下列函数中是奇函数，且最小正周期是 的函数是( ) Aycos|2x| By|sin x| Cysin Dycos ( 22x) ( 3 2 2x) 解析：ycos|2x|是偶函数；y|sin x|是偶函数； ysincos 2x 是偶函数； ( 22x) ycossin 2x 是奇函数，且其最小正周期 T. ( 3 2 2x) 答案：D 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6f(x)sin xcos x
14、 是_(填“奇”或“偶”)函数 解析：xR 时，f(x)sin(x)cos(x)sin xcos xf(x)， 即 f(x)是奇函数 答案：奇 7函数 ycos的最小正周期是_ 1x 2 解析：ycos，T2 4. ( 2x 2) 2 2 2 答案：4 8函数 f(x)是以 2 为周期的函数，且 f(2)3，则 f(8)_. 解析：f(x)的周期为 2， f(x2)f(x)， f(8)f(232)f(2)3. 答案：3 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9求下列函数的最小正周期： (1)ycos；(2)y|sin |. (2x 6) x 2 解析：(1)利用公式 T，可得函数 2
15、| ycos的最小正周期为 T. (2x 6) 2 |2| (2)易知函数 ysin 的最小正周期为 T4， 而函数 y x 2 2 1 2 |sin x 2| 的图象是由函数 ysin 的图象将在 x 轴下方部分翻折到上方后得到 x 2 的，此时函数周期减半，即 y的最小正周期为 2. |sin x 2| 10判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)cos 2x；3 (2)f(x)sin； ( 3x 4 3 2) (3)f(x)xcos x. 解析：(1)因为 xR， f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，33 所以 f(x)cos 2x 是偶函数3 (2)因为 xR，f(x)sincos
16、，所以 f(x)cos ( 3x 4 3 2) 3x 4 cosf(x)，所以函数 f(x)sin是偶函数 3x 4 3x 4 ( 3x 4 3 2) (3)因为 xR，f(x)xcos(x)xcos xf(x)， 所以 f(x)xcos x 是奇函数 能力提升能力提升(20 分钟，分钟，40 分分) 11下列说法中正确的是( ) A当 x 时，sinsin x，所以 不是 f(x)sin x 的周期 2 (x 6) 6 B当 x时，sinsin x，所以 是 f(x)sin x 的一个周期 5 12 (x 6) 6 C因为 sin(x)sin x，所以 是 ysin x 的一个周期 D因为
17、cossin x，所以 是 ycos x 的一个周期 ( 2x) 2 解析 ： 若 T 是 f(x)的周期， 则对于 f(x)的定义域内任意 x 都有 f(xT) f(x)成立，B，C，D 错误 答案：A 12若函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期为，且满足 f(x) 3 2 Error!Error!则 f_. ( 15 4 ) 解析：fffsin. ( 15 4 ) ( 15 4 3 2 3) ( 3 4) 3 4 2 2 答案： 2 2 13已知函数 y cos x |cos x|. 1 2 1 2 (1)画出函数的图象； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期 解析：(1)y cos x |cos x| 1 2 1 2 函数图象如图所示 (2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是 2. 14已知 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(x2)f(x) (1)求证：f(x)是以 4 为周期的函数； (2)当 0x1 时，f(x)x，求 f(7.5)的值 解析：(1)证明：f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的函数 (2)由(1)可知 f(x4)f(x)， 所以 f(7.5)f(3.54)f(3.5)f(0.54)f(0.5)f(0.5) 0.5.