《2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：1.4.2.3 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：1.4.2.3 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 Word版含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 3 课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正、余弦函数的图象与性质 正弦函数余弦函数 图象 值域1,11,1 单调性 在(kZ) 2k 2，2k 2 上递增， 在(kZ) 2k 2，2k 3 2 上递减 在2k，2k(kZ)上递 增， 在2k，2k(kZ)上递 减 最值 x2k (kZ)时， ymax1 ； 2 x2k (kZ)时，ymin 2 1 x2k(kZ)时，ymax1； x2k(kZ)时，ymin 1 (1)正、余弦函数的单调性：状元随笔 求解或判断正弦函数、 余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之 相关的复合函数值域(最值)关键的一步； 单调区间要在定义域内求解； 确定含有正
2、弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意 用复合函数法来判断 (2)正、余弦函数的最值 明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|1, |cosx|1； 对有些函数，其最值不一定就是 1 或1，要依赖函数的定义域 来决定； 形如 yAsin(x)(A0，0)的函数求最值时，通常利用 “整体代换” ，即令 xz，将函数转化为 yAsinz 的形式求最值 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确. (正确的打“” ，错误的打“”) (1)正弦函数 ysin x 在 R 上是增函数( ) (2)正弦函数 ysin x 的一个增区间是0，( ) (3)当余弦函数 ycos x 取最大值时，x2k，k
3、Z.( ) 答案：(1) (2) (3) 2函数 ysin，xR 在( ) (x 2) A.上是增函数 B0，上是减函数 2， 2 C，0上是减函数 D，上是减函数 解析 ： ysincos x， 所以在区间， 0上是增函数， 在0， (x 2) 上是减函数 答案：B 3下列函数中，既为偶函数又在(0，)上单调递增的是( ) Aycos|x| Bycos|x| Cysin Dysin (x 2) x 2 解析：ycos|x|在上是减函数，排除 A；ycos|x|cos|x|， (0，) 排除 B；ysinsincos x 是偶函数，且在(0，)上 (x 2) ( 2x) 单调递增，符合题意；y
4、sin 在(0，)上是单调递减的 x 2 答案：C 4函数 y12cos x 的最小值，最大值分别是( ) 2 A1,3 B1,1 C0,3 D0,1 解析：1cos x1，1y3. 2 答案：A 类型一 正、余弦函数的单调性 例 1 (1)函数 f(x)sin的一个递减区间是( ) (x 6) A. 2， 2 B，0 C.2 3， 2 3 D. 3， 4 3 (2)函数 ycos的单调递增区间是_ (2x 3) 【解析】 (1)由 x ，可得 x .所以是函数 3 4 3 2 6 3 2 3， 4 3 的一个减区间 (2)因为2k2x 2k， kZ.所以 k xk ， kZ. 3 3 6 【
5、答案】 (1)D (2)(kZ) k 3，k 6 (1)由 A，B，C，D 中 x 的范围，求出 x 的范围，验证是否为减 6 区间 (2)将 2x 代入到2k，2k，kZ 中，解出 x 的范围，即 3 可得增区间 方法归纳 求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间 (2)在求形如 yAsin(x)(A0，0)的函数的单调区间时，应 采用 “换元法” 整体代换， 将 “x” 看作一个整体 “z” ， 即通过求 y Asinz 的单调区间而求出原函数的单调区间求形如 yAcos(x )(A0，0)的函数的单调区间同上 (3)0 后求解；若 A
6、sin 260. (2)coscoscos ，coscos2cos. 15 8 (2 8) 8 14 9 4 9 4 9 函数 ycos x 在0，上单调递减，且 0cos，coscos. 8 4 9 15 8 14 9 利用诱导公式，将角化到正弦函数或余弦函数的一个单调区间内， 利用单调性判断大小 方法归纳 比较三角函数值大小的方法 (1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值 (2)不同名的函数化为同名函数 (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间 跟踪训练 2 比较下列各组数的大小 (1)sin与 sin； ( 37 6 ) 49 3 (2)cos 870与 sin 980. 解 析 ：
7、 (1)sin sin sin， sin sin ( 37 6 ) (6 6) ( 6) 49 3 sin ， (16 3) 3 因为 ysin x 在上是增函数，所以 sincos 170， 即 cos 870sin 980. 首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区 间，最后利用函数的单调性比较大小 类型三 正、余弦函数的最值问题 例 3 函数 y2cos1 的最小值是_， 此时 x_. (2x 6) 【解析】 当 2x 2k，kZ，xk，kZ 时， 6 5 12 ymin213. 【答案】 3 k，kZ 5 12 观察函数解析式特点， 由 ycos的最小值， 求函数 y2
8、cos (2x 6) 1 的最小值，并求 x 的取值 (2x 6) 方法归纳 求正、余弦函数最值问题的关注点 (1)形如 yasin x(或 yacos x)的函数的最值要注意对 a 的讨论 (2)将函数式转化为 yAsin(x)或 yAcos(x)的形式 (3)换元后配方利用二次函数求最值 跟踪训练 3 求下列函数的值域： (1)ycos，x； (x 6) 0， 2 (2)y2sin2x2sin x ，x. 1 2 6， 5 6 解析 (1)由 ycos，x0， 可得 x ，函数 y (x 6) 2 6 6， 2 3 cos x 在区间上单调递减，所以函数的值域为. 6， 2 3 1 2，
9、3 2 (2)令 tsin x，y2t22t 2 21. 1 2 (t 1 2) x， sin x1，即 t1， 6， 5 6 1 2 1 2 1y ，函数 f(x)的值域为. 7 2 1， 7 2 (1)先由 x 的范围求出 x 的范围，再求值域 6 (2)先换元令 tsin x，再利用二次函数求值域 基础巩固基础巩固(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1已知函数 ysin x 和 ycos x 在区间 M 上都是增函数，那么区 间 M 可以是( ) A. B. (0， 2) ( 2，) C. D. (， 3 2) ( 3 2 ，2) 解析 ： ys
10、in x 在和上是增函数，ycos x 在(，2) (0， 2) ( 3 2 ，2) 上是增函数，所以区间 M 可以是. ( 3 2 ，2) 答案：D 2函数 y2sin x 的最大值及取最大值时 x 的值为( ) Aymax3，x 2 Bymax1，x 2k(kZ) 2 Cymax3，x 2k(kZ) 2 Dymax3，x 2k(kZ) 2 解析 ： 当 x 2k(kZ)时， ysin x 有最小值1， 函数 y2 2 sin x 有最大值 3. 答案：C 3符合以下三个条件：上递减；以 2 为周期；为奇 (0， 2) 函数这样的函数是( ) Aysin x Bysin x Cycos x
11、Dycos x 解析：在上递减，可以排除 A，是奇函数可以排除 C，D. (0， 2) 答案：B 4下列不等式中成立的是( ) Asinsin Bsin 3sin 2 ( 8) ( 10) Csin sin Dsin 2cos 1 7 5 ( 2 5) 解析 ： 因为 sin 2coscos， 且 0cos 1，即 sin 2cos 1. (2 2) 答案：D 5函数 y2sin(x，0)的单调递增区间是( ) (x 3) A. B. ， 5 6 5 6 ， 6 C. D. 3，0 6，0 解析：方法一 y2sin，其单调递增区间为 2kx (x 3) 2 2k，kZ，则 2kx2k，kZ.
12、3 2 6 5 6 由于 x，0，所以其单调递增区间为. 6，0 方法二 函数在取得最大值，且其最小正周期为 2，则其单调 5 6 递增区间为，即，又 x，0，所以其单调递 5 6 ，5 6 6， 5 6 增区间为. 6，0 答案：D 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6函数 ycos的单调递减区间为_ ( 42x) 解析：ycoscos， ( 42x) (2x 4) 由 2k2x 2k(kZ)， 4 得 k xk(kZ) 8 5 8 所以函数的单调减区间为(kZ) k 8，k 5 8 答案：(kZ) k 8，k 5 8 7函数 f(x)sin在区间上的最小值为_ (2x 4) 0，
13、 2 解析 ： 当 0x 时， 2x ， 因为函数 ysin x 在 2 4 4 3 4 (0， 3 4) 上的函数值恒为正数，在上的函数值恒为负数，且在 ( 4，0) ( 4，0) 上为增函数，所以函数 f(x)的最小值为 f(0). 2 2 答案： 2 2 8sin_sin(填“”或“ 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9求下列函数的单调区间： (1)ycos 2x；(2)y2sin. ( 4x) 解析：(1)函数 ycos 2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下 面的不等式确定：2k2x2k，kZ,2k2x2k，kZ. k xk，kZ，kxk ，kZ. 2 2 函数 yc
14、os 2x 的单调递增区间为，kZ，单调递减 k 2，k 区间为，kZ. k，k 2 (2)y2sin2sin， 函数 y2sinx 的单调递增、 ( 4x) (x 4) 4 递减区间分别是函数 y2sin的单调递减、递增区间 (x 4) 令 2k x 2k，kZ. 2 4 3 2 即 2kx2k，kZ， 3 4 7 4 即函数 y2sin的单调递增区间为 ( 4x) ，kZ. 2k 3 4 ，2k7 4 令 2k x 2k ，kZ. 2 4 2 即 2k x2k，kZ. 4 3 4 即函数 y2sin的单调递减区间为 ( 4x) ，kZ. 2k 4，2k 3 4 10求下列函数的最大值和最小
15、值： (1)y32cos； (2x 3) (2)y2sin. (2x 3)( 6 x 6) 解析：(1)1cos1 (2x 3) 当 cos1 时，ymax5； (2x 3) 当 cos1 时，ymin1. (2x 3) (2) x ，02x ， 6 6 3 2 3 0sin1. (2x 3) 当 sin1 时，ymax2； (2x 3) 当 sin0 时，ymin0. (2x 3) 能力提升能力提升(20 分钟，分钟，40 分分) 11函数 y2sin(0)的周期为 ，则其单调递增区间为 (x 4) ( ) A.(kZ) k 3 4 ，k 4 B.(kZ) 2k 3 4 ，2k 4 C.(k
16、Z) k 3 8 ，k 8 D.(kZ) 2k 3 8 ，2k 8 解析：周期 T，2，y2sin.由 2 (2x 4) 2 2k2x 2k ，kZ，得 k xk ，kZ. 4 2 3 8 8 答案：C 12函数 ycos x 在区间，a上为增函数，则 a 的取值范围是 _ 解析 ： 因为 ycos x 在，0上是增函数，在0，上是减函数， 所以只有cos ， 8 7 即 coscos. ( 8) 15 7 (2)sin 194sin(18014)sin 14， cos 160cos(18020)cos 20sin 70. 0sin 70，即 sin 194cos 160. 14求函数 y32sin x 的最值及取到最值时的自变量 x 的集合 1 2 解析：1sin x1， 1 2 当 sin x1， x2k ，kZ， 1 2 1 2 2 即 x4k，kZ 时，ymax5， 此时自变量 x 的集合为x|x4k，kZ； 当 sin x1， x2k ，kZ， 1 2 1 2 2 即 x4k，kZ 时，ymin1， 此时自变量 x 的集合为x|x4k，kZ