《2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：2.2.2 向量减法运算及其几何意义 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：2.2.2 向量减法运算及其几何意义 Word版含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 2 课时 向量减法运算及其几何意义 1.相反向量 与 a 长度相等，方向相反的向量，叫作 a 的相反向量，记作a. (1)零向量的相反向量仍是零向量，即00. (2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a(a)0. (3)如果 a，b 是互为相反的向量，则 ab，ba，ab0. 2向量的减法 (1)定义 ： aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量 (2)几何意义 ： 已知 a， b， 在平面内任取一点 O， 作a，b， OA OB 则ab， 即 ab 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的 BA 向量 1.准确理解向量减法的几何意义状元随笔 (1)向量减法
2、是向量加法的逆运算 设，则， x b a x a b 如图，设 ， . OA a OB b 由向量加法的三角形法则可知 ， OA OB BA . BA OA OB a b (2)对于两个共起点的向量， 它们的差就是连接这两个向量的终点， 方向指向被减的向量 (3)以向量，为邻边作平行四边形 ABCD，则两条 AB a AD b 对角线的向量为， ， . AC a b BD b a DB a b 2若，是不共线向量，|与|的几何意义比较， a b a b a b 如图所示，设，.根据向量加法的平行四边形法则和向 OA a OB b 量减法的三角形法则，有，.因为四边形 OC a b BA a b
3、 OACB是平行四边形， 所以|， |分别是以OA， a b OC a b BA OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确. (正确的打“” ，错误的打“”) (1)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量 的终点( ) (2)向量ab当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量 a 的终点的向量( ) (3)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算( ) 答案：(1) (2) (3) 2非零向量 m 与 n 是相反向量，下列不正确的是( ) Amn Bmn C|m|n| D方向相反 解析：零向量 m 与 n 是相反向量，则有 mn，|
4、m|n|. 答案：A 3在三角形 ABC 中，a，b，则( ) BC CA AB Aab Bba Cab Dab 解析：ab. AB CB CA BC CA 答案：D 4._. PA PB 解析：. PA PB BA 答案：BA 类型一 已知向量作差向量 例 1 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 abc. 【解析】 方法一 如图， 在平面内任取一点 O， 作a， OA OB b，c，连接 BC，则bc.过点 A 作 AD 綊 BC，连接 OD， OC CB 则bc，所以abc. AD OD OA AD 方法二 如图，在平面内任取一点 O，作a，b，连接 OA AB OB，则ab，再
5、作c，连接 CB，则abc. OB OC CB 方法三 如图，在平面内任取一点 O，作a，b，连接 OA AB OB，则ab，再作c，连接 OC，则abc. OB CB OC 方法归纳 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如 ab，可以先作b，然后 作 a(b)即可 (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合， 则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量 跟踪训练 1 如图，已知向量 a，b，c，求作向量 abc. 解析 ： 如图所示， 以 A 为起点分别作向量和， 使a，b. AB AC AB AC 连接 CB，得向量ab，再以 C
6、为起点作向量，使c，连 CB CD CD 接 DB，得向量(ab)c.则向量即为所求作的向量 abc. DB DB 先作，再作. a b a b c 类型二 向量的减法运算 例 2 化简()() AB CD AC BD 【解析】 方法一(统一成加法) ()() AB CD AC BD AB CD AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA AD DA 0. 方法二(利用) ()() OA OB BA AB CD AC BD AB CD ()0. AC BD AB AC CD BD CB CD BD DB BD 方法三(利用) 设 O 是平面内任意一点， 则() AB OB OA
7、 AB CD ()()()( AC BD AB CD AC BD OB OA OD OC OC )()0. OA OD OB OB OA OD OC OC OA OD OB 方法归纳 1向量减法运算的常用方法 2向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和 (2)起点相同且为差 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用 跟踪训练 2 在四边形 ABCD 中，_. AB DC CB 解析：() AB DC CB AB CD BC AB BC CD AC CD . AD 答案：AD 结合图形利用减法运算法则求 类型三 利用已知向量表示未知向量 例 3 如图所示，四边形 ACDE 是平行
8、四边形，B 是该平行四边形 外一点， 且a，b，c， 试用向量 a， b， c 表示向量， ， AB AC AE CD BC . BD 【解析】 因为四边形 ACDE 是平行四边形，所以c， CD AE ba，故bac. BC AC AB BD BC CD 由平行四边形的性质可知 ， 由向量的减法可知 ： CD AE c BC ，由向量的加法可知 . AC AB BD BC CD 方法归纳 利用已知向量表示其他向量的思路 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、 减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关 系当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当
9、两个向 量共起点时，可以考虑用减法 常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的 和(差)，即以及(M，N 均是同一平面内的任 AM AB BM AB NB NA 意点) 跟踪训练 3 本例中的条件 “点 B 是该平行四边形外一点” 若换为 “点 B 是该平行四边形内一点” ，其他条件不变，其结论又如何呢？ 解析：如图，因为四边形 ACDE 是平行四边形，所以c， CD AE ba，bac. BC AC AB BD BC CD 第一步：观察各向量的位置 第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形 第三步：运用法则找关系 第四步：化简结果 基础巩固基础巩固(25 分钟，分钟，60
10、分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1下列运算中正确的是( ) A. B. OA OB AB AB CD DB C. D.0 OA OB BA AB AB 解析 ： 根据向量减法的几何意义， 知， 所以 C 正确， A OA OB BA 错误；B 显然错误；对于 D，应该等于 0，而不是 0. AB AB 答案：C 2下列四式中不能化简为的是( ) PQ A.() B()() AB PA BQ AB PC BA QC C. D. QC QP CQ PA AB BQ 解析：D 中，不能化简为， PA AB BQ PB BQ PB QB PQ 其余选项皆可 答案：D 3在ABC 中
11、，D 是 BC 边上的一点，则等于( ) AD AC A. B. CB BC C. D. CD DC 解析：在ABC 中，D 是 BC 边上一点，则由两个向量的减法的 几何意义可得. AD AC CD 答案：C 4 如图， 在四边形 ABCD 中， 设a，b，c， 则 AB AD BC DC ( ) Aabc Bb(ac) Cabc Dbac 解析：abc. DC DA AB BC 答案：A 5给出下列各式： ； AB CA BC ； AB CD BD AC ； AD OD AO . NQ MP QP MN 对这些式子进行化简，则其化简结果为 0 的式子的个数是( ) A4 B3 C2 D1
12、解析：0； AB CA BC AC CA ()0； AB CD BD AC AB BD AC CD AD AD 0； AD OD AO AD DO OA AO OA 0. NQ MP QP MN NQ QP MN MP NP PN 答案：A 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6._. EF DE DB 解析：. EF DE DB EF BE BF 答案：BF 7 若a， b为相反向量， 且|a|1， |b|1， 则|ab|_， |ab| _. 解析 ： 若 a， b 为相反向量， 则 ab0， 所以|ab|0， 又 ab， 所以|a|b|1，因为 a 与b 共线同向，所以|ab|2.
13、 答案：0 2 8 设点 M 是线段 BC 的中点， 点 A 在直线 BC 外， 且|4， | BC AB |，则|_. AC AB AC AM 解析 ： 以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ACDB，由向量加减法几何 意义可知，|，平 AD AB AC CB AB AC AB AC AB AC 行四边形 ABCD 为矩形，|，又|4，M 是线段 BC 的中 AD CB BC 点， | | |2. AM 1 2 AD 1 2 BC 答案：2 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9如图，已知向量 a，b，c，求作向量 abc. 解析 ： 在平面内任取一点 O， 作向量a，b， 则向量
14、ab OA OB ，再作向量c，则向量abc. BA BC CA 10化简下列各式： (1)()()； AB MB OB MO (2). AB AD DC 解析 ： (1)方法一 原式()( AB MB BO OM AB BO OM ). MB AO OB AB 方法二 原式 AB MB BO OM ()0. AB MB BO OM AB MO OM AB AB (2)方法一 原式. DB DC CB 方法二 原式(). AB AD DC AB AC CB 能力提升能力提升(20 分钟，分钟，40 分分) 11 平面内有三点 A， B， C， 设 m， n， 若|m|n|， AB BC AB
15、BC 则有( ) AA，B，C 三点必在同一直线上 BABC 必为等腰三角形且ABC 为顶角 CABC 必为直角三角形且ABC90 DABC 必为等腰直角三角形 解析 ： 如图，作，则 ABCD 为平行四边形，从而 m AD BC AB ，n. BC AC AB BC AB AD DB 因为|m|n|， 所以|. AC DB 所以四边形 ABCD 是矩形， 所以ABC 为直角三角形，且ABC90. 答案：C 12给出下列命题： 若，则； OD OE OM OM OE OD 若，则； OD OE OM OM DO OE 若，则； OD OE OM OD EO OM 若，则. OD OE OM D
16、O EO MO 其中正确命题的序号为_ 解析：因为， OD OE OM 所以，正确； OD OM OE ，所以，正确； OM OD OE OM DO OE 因为，所以，正确； OE EO OD EO OM ，所以，正确 OM OD OE MO DO EO 答案： 13. 如图，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示； DB (2)用 b，c 表示； DB (3)用 a，b，e 表示； EC (4)用 d，c 表示. EC 解析：由题意知，a，b，c，d，e，则 AB BC CD DE EA (1)ade. DB DE EA AB (2)bc. DB CB CD BC CD (3)abe. EC EA AB BC (4)()cd. EC CE CD DE 14若 a0，b0，且|a|b|ab|，求 a 与 ab 所在直线的 夹角 解析：设a，b， OA OB 则 ab， BA |a|b|ab|， |， OA OB BA OAB 是等边三角形， BOA60. ab，且在菱形 OACB 中， OC 对角线 OC 平分BOA. a 与 ab 所在直线的夹角为 30.