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1、22 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 考试标准 课标要点 学考要 求 高考要 求 向量加法的定义及其几 何意义 bb 向量加法的交换律与结 合律 bb 相反向量的概念aa 向量减法的定义及其几 何意义 bb 知识导图 学法指导 1.向量的加法运算可以类比实数的加法运算，以位移的合成、力的 合成两个物理模型为背景引入而向量的减法运算是通过类比实数的 减法运算引入的 2由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问 题，还要考虑方向问题 第 1 课时 向量加法运算及其几何意义 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫作向量的
2、加法 2向量加法的运算法则 (1)三角形法则 已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作a，b，再 AB BC 作向量， 则向量叫作 a 与 b 的和(或和向量)， 记作 ab， 即 ab AC AC . AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 规定：零向量与任一向量 a 的和都有 a00aa. (2)平行四边形法则 如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作OACB， 则以 O 为起点的对角线就是 a 与 b 的和， 我们把这种作两个向量和 OC 的方法叫作向量加法的平行四边形法则 3向量加法的运算律 (1)交换律：abba. (2)结合律：(ab
3、)ca(bc) 1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则状元随笔 (1)两个法则的使用条件不同： 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适 用于两个不共线的向量求和 (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的 如图所示： (平行四边形法则)， AC AB AD 又 ， (三角形法则) BC AD AC AB BC (3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接” ；在使用平行四边形 法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同 2向量与非零向量，的模及方向的联系 a b a b (1)当向量与不共线时， 向量的方向与，都不相同， a b a b a b 且|b|0，则向量
4、 ab 的方向( ) A与向量 a 方向相同 B与向量 a 方向相反 C与向量 b 方向相同 D不确定 解析：如果 a 和 b 方向相同，则它们的和的方向应该与 a(或 b)的 方向相同；如果它们的方向相反，而 a 的模大于 b 的模，则它们的和 的方向与 a 的方向相同 答案：A 5如图所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则 OP ( ) OQ A. B. OH OG C. D. FO EO 解析：设 a，以 OP，OQ 为邻边作平行四边形，则 OP OP OQ 与 OQ 之间的对角线对应的向量即向量 a， 由 a 和长度相 OP OQ FO 等，方向相同，得 a，即. FO
5、OP OQ FO 答案：C 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6在ABC 中，a，b，c，则 abc_. AB BC CA 解析：由向量加法的三角形法则，得，即 abc AB BC AC 0. AB BC CA 答案：0 7化简()()_. AB MB BO BC OM 解析：原式()() AB BO OM MB BC AO OB BC AB . BC AC 答案：AC 8 在菱形 ABCD 中， DAB60， |1， 则|_. AB BC CD 解析：在菱形 ABCD 中，连接 BD， DAB60，BAD 为等边三角形， 又|1，|1，|1. AB BD BC CD BD 答案：1
6、 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9如图，已知向量 a、b，求作向量 ab. 解析：(1)作a，b，则ab，如图(1)； OA AB OB (2)作a，b，则ab，如图(2)； OA AB OB (3)作a，b，则ab，如图(3) OA AB OB 10. 如图所示，设 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)； OA OC (2). BC FE 解析：(1)由图可知，四边形 OABC 为平行四边形，所以由向量加 法的平行四边形法则，得. OA OC OB (2)由图可知，所以. BC FE OD AO BC FE AO OD AD 能力提升能力提升(20 分
7、钟，分钟，40 分分) 11设 a(C)()，b 是任一非零向量，则下列结 AB D BC DA 论中正确的有( ) ab aba abb |ab|a|b| A B C D 解析：a0 AB BC CD DA 又 b 为非零向量，故正确 答案：C 12. 如图， 用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上， ACW 150，BCW120，则 A 和 B 处所受力的大小为_(绳子的 重量忽略不计) 解析：如图，设，分别表示 A，B 所受的力，10 N 的重力用 CE CF 表示，则. CG CE CF CG 易得ECG18015030， FCG18012060， 所以|cos
8、30105. CE CG 3 2 3 |CG|cos 6010 5. CF 1 2 所以 A 处所受的力的大小为 5 N，B 处所受的力的大小为 5 N.3 答案：5 N,5 N3 13已知|a|3，|b|3，AOB60，求|ab|. OA OB 解析：如图，|3， OA OB 四边形 OACB 为菱形 连接 OC、AB，则 OCAB，设垂足为 D. AOB60，AB|3. OA 在 RtBDC 中，CD. 33 2 |ab|23. OC 33 2 3 14如图，在重 300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂 线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30，60，当整个系统处于平衡状 态时，求两根绳子的拉力 解析：如图，作OACB， 使AOC30，BOC60， 则ACOBOC60，OAC90. 设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的 OA OB CO 重力，且|300 N. OC 所以|cos 30150(N)， OA OC 3 |cos 60150 (N) OB OC 所以与铅垂线成 30角的绳子的拉力是 150 N， 与铅垂线成 603 角的绳子的拉力是 150 N.