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1、2.5 平面向量应用举例 考试标准 课标要点 学考要 求 高考要 求 平面向量在平面几何中的 简单应用 bb 平面向量在物理中的简单 应用 aa 知识导图 学法指导 1.本节的重点是用向量解决实际问题的两种方法(基底法和坐标法) 和向量法解决几何问题的“三步曲” ；难点是如何将实际问题转化为向 量问题 2通过练习，体会平面几何中的向量方法与代数方法的区别：前 者的思路是“形到向量向量的运算向量和数到形” ，后者的思路是 “形到数数的运算数到形” 3向量在物理中的应用，应注意两个方面：一是体会如何把物理 量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用向量来解决这个数学模型. 1.物理学中的量与向量的关系
2、 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量 (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 加减法 2用向量方法解决平面几何问题的三个步骤 向量方法解决平面几何问题的六个应用状元随笔 (1)证明线段相等 ： 通过向量运算，证明 2 2，即可证明 AB AB CD CD. (2)证明线段平行：利用，点 A，B，C，D 不共线，可以 AB CD 证明 ABCD，特别地，当 1 时，AB 綊 CD. (3)证明线段垂直：利用0，证明两线段垂直 AB CD (4)证明三点共线 ： 利用(R)可以证明 A，B，C 三点共 AB AC 线，也可变形为xy(x，yR，xy1)，
3、其中 O 为空间 OA OB OC 任意一点 (5)证明四点共面 ： 利用(， R)可以证明点 P， A， PA PB PC B，C 四点共面 (6)求值：利用向量的夹角公式求角；利用|求长度 a a a 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确. (正确的打“” ，错误的打“”) (1)求力 F1和 F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则 ( ) (2)若ABC 为直角三角形，则有0.( ) AB BC (3)若向量，则 ABCD.( ) AB CD 答案：(1) (2) (3) 2 已知点 A(2， 3)， B(2,1)， C(0,1)， 则下列结论正确的是( ) AA，B，C 三点共线
4、 B. AB BC CA，B，C 是等腰三角形的顶点 DA，B，C 是钝角三角形的顶点 解析 ： 因为(2,0)，(2,4)， 所以4|a| Bs|a|. 答案：A 12已知 A，B 是圆心为 C，半径为的圆上两点，且|AB|，55 则等于_ AC CB 解析：由已知得ABC 为正三角形，向量与的夹角为 120， AC CB 所以cos 120 . AC CB 55 5 2 答案：5 2 13某人骑车以每小时 a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方 向吹来，而当速度为每小时 2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求 实际风速和方向 解析：设 a 表示此人以每小时 a 千米的速度向东行驶的向量，
5、无 风时此人感到风速为a， 设实际风速为 v， 那么此时人感到的风速为 v a， 设a，2a，v， 因为， 所以v OA OB PO PO OA PA PA a，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为，所以v2a. PO OB PB PB 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风 速就是. PB 由题意：PBO45，PABO，BAAO，从而，POB 为等腰 直角三角形，所以 POPBa，即|v|a，所以实际风是每小时22 a 千米的西北风2 14已知 RtABC 中，C90，设 ACm，BCn. (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD AB； 1 2 (2)若 E
6、为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F，求 AF 的长度 (用 m，n 表示) 解析： (1)以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线分别为 x 轴，y 轴 建立平面直角坐标系，如图所示， A(0，m)，B(n,0)， 因为 D 为 AB 的中点，所以 D ， ， n 2 m 2 所以|， CD 1 2 n2m2 |， AB m2n2 所以| |，即 CD AB. CD 1 2 AB 1 2 (2)因为 E 为 CD 的中点，所以 E. ( n 4， m 4) 设 F(x,0)，则， AE ( n 4， 3 4m) (x，m) AF 因为 A，E，F 三点共线，所以. AF AE 即(x，m). ( n 4， 3 4m) 则Error!Error! 故 ，即 x ，所以 F， 4 3 n 3 ( n 3，0) 所以|，即 AF. AF 1 3 n29m2 1 3 n29m2