《2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：3.2 简单的三角恒等变换 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：3.2 简单的三角恒等变换 Word版含解析.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.2 简单的三角恒等变换 考试标准 课标要点 学考要 求 高考要 求 1.三角恒等变换bb 2.三角恒等变换的应用bb 知识导图 学法指导 三角恒等变换的基本思路是“变换” ，变换的基本方向有两个：一 是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二 倍角的余弦公式、半角公式等；二是变换角的形式，可以使用和(差)角 公式、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积等. 1.半角公式 巧记“半角公式”状元随笔 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数 1 余弦加减连，角小值大用加号 “角小值大用加号” 即 y1cos( 是锐角)是减函数， 角小值大， 因此用“”号，而 y1cos 为增函数
2、，角大值大，因此用“ ” 号 2辅助角公式 asinxbcosxsin(x)，其中 tan .a2b2 b a (1)辅助角公式状元随笔 形式上是 asinbcos(ab0)的三角函数式， 通过三角恒等变换可 写成sin(a )的形式，其中 tan ，此公式称为辅助角公a2b2 b a 式其中 可通过 tan 以及点(a，b)所在的象限来确定 b a (2)辅助角公式的特殊情况 sincossin；sincos2sin；2 ( 4) 3 ( 3) cossin2sin.3 ( 6 ) 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确. (正确的打“” ，错误的打“”) (1)cos .( ) 2 1c
3、os 2 (2)若 是第一象限角，则 tan .( ) 2 1cos 1cos (3)对于任意 R，sin sin 都不成立( ) 2 1 2 答案：(1) (2) (3) 2若 cos ，且 (0，)，则 cos 的值为( ) 1 3 2 A. B 6 3 6 3 C D 6 3 3 3 解析：因为 (0，)，所以 . 2 (0， 2) 所以 cos . 2 1cos 2 2 3 6 3 答案：A 3下列各式中，值为 的是( ) 1 2 Asin 15cos 15 Bcos2sin2 6 6 C. D. tan 30 1tan230 1cos 60 2 解析 ： 选项 A 中，原式 sin
4、30 ； 选项 B 中，原式cos ； 1 2 1 4 3 1 2 选项 C 中， 原式 tan 60； 选项 D 中， 原式cos 1 2 2tan 30 1tan230 1 2 3 2 30.故选 B. 3 2 答案：B 4化简cos xsin x 等于( )26 A2cos B2cos2 ( 6x) 2 ( 3x) C2cos D2cos2 ( 6x) 2 ( 3x) 解析：cos xsin x2262(1 2cos x 3 2 sin x) 22(cos 3cos xsin 3sin x) 2cos.2 ( 3x) 答案：B 类型一 三角函数式的化简求值 例 1 (1)化简_； 2co
5、s21 2tan( 4)sin 2( 4) (2)的值为_ 1 sin 10 3 sin 80 【解析】 (1) 2cos21 2tan( 4)sin 2( 4) 1. cos 2 2cos( 4) sin( 4) sin2( 4) cos 2 sin( 22) cos 2 cos 2 (2)原式 cos 103sin 10 sin 10cos 10 4(1 2cos 10 3 2 sin 10) 2sin 10cos 10 4. 4sin 30cos 10cos 30sin 10 sin 20 4sin3010 sin 20 【答案】 (1)1 (2)4 (1)切化弦，利用倍角公式，诱导公式
6、化简求值 (2)80 90 10 ，通分，利用辅助角化简求值 方法归纳 三角函数式化简原则和方法 (1)三角函数式化简的一般原则是：能求值的应求出值；三角 函数种数尽量少；项数尽量少；分母中尽量不含三角函数；次 数尽量低 (2)三角函数式化简的常用方法：降幂化倍角；升幂角减半 (3)利用辅助角公式asin xbcos xsin(x)， 其中tan a2b2 Error!Error!Error!Error!将形如 asin xbcos x(a， b 不同时为零)的三角函数式写 b a 成一个角的某个函数值 跟踪训练 1 (1)求值： sin _； 8 cos _. 8 (2)2019正 定 检
7、测 2的 化 简 结 果 是22cos 81cos 8 _ 解析：(1)sin ； 8 1cos 4 2 1 2 2 2 22 2 cos . 8 1cos 4 2 1 2 2 2 22 2 (2)原式22|cos 4|2 212cos241112sin2 4 2 |sin 4|2cos 42sin 4.2 答案：(1) (2)2cos 42sin 4 22 2 22 2 2 由 sin 0，所以 . 8 1 cos 4 2 由 cos 0，则 cos . 8 8 1 cos 4 2 半角是相对的，4 是 8 的半角，利用公式化简 类型二 三角恒等式的证明 例 2 若 0cos . 3 2 2
8、 2 3 4 2 2 所以左边 (sin 2cos 2) 2 2(cos 2sin 2) (sin 2cos 2) 2 2(cos 2sin 2) cos 1 2(sin 2cos 2) 1 2(sin 2cos 2) 2 2 右边所以原等式成立. 等式左边复杂， 应从左边入手， 利用公式化简， 同时注意 的范围 方法归纳 三角恒等式证明的思路 通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称 及结构的差异入手， 寻求证明途径， 左右归一 ； 或消除等式两端的差异， 达到形式上的统一 跟踪训练 2 求证： sin 2. cos2 1 tan 2 tan 2 1 4 证明：方法一 左边
9、cos2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos sin cos cos2sin 2cos 2 cos2 2sin 2 2 cos2sin 2cos 2 cos 2 2 sin cos sin 2右边所以原式成立 1 2 1 4 方法二 左边 cos2 cos2tan 2 1tan2 2 1 2 2tan 2 1tan2 2 cos2tan cos sin sin 2右边 1 2 1 2 1 4 所以原式成立 左边复杂， 从左边入手化简， 先切化弦再利用倍角、 半角公式化简 类型三 三角恒等变换与三角函数的综合 例 3 设函数 f(x)cossin2x. (2x 3) (1)求
10、函数 f(x)的单调递减区间； (2)若 00， 7 4 ，2 则 1cos 2 2 1cos 2 2 cos2sin2 |cos |sin |cos (sin )cos sin . 答案：B 5已知 2sin 1cos ，则 tan ( ) 2 A. B. 或不存在 1 2 1 2 C2 D2 或不存在 解析：由 2sin 1cos ， 即 4sin cos 2cos2， 2 2 2 当 cos 0 时，则 tan 不存在， 2 2 当 cos 0 时，则 tan . 2 2 1 2 答案：B 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6若 cos 22a，则 sin 11_，cos 11
11、_. 解析：cos 222cos211112sin211， 所以 cos 11. 1cos 22 2 1a 2 sin 11. 1cos 22 2 1a 2 答案： 1a 2 1a 2 7已知 cos ，且 1800， 2 2 2 原式cos . cos 2cos cos 2 14已知函数 f(x)sin2xsin xcos x.3 (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 f(x)在区间上的最大值为 ，求 m 的最小值 3，m 3 2 解析：(1)f(x) cos 2xsin 2x 1 2 1 2 3 2 sin . (2x 6) 1 2 所以 f(x)的最小正周期为 T. 2 2 (2)由(1)知 f(x)sin . (2x 6) 1 2 由题意知 xm， 3 所以2x 2m . 5 6 6 6 要使得 f(x)在上的最大值为 ， 3，m 3 2 即 sin在上的最大值为 1. (2x 6) 3，m 所以 2m ，即 m . 6 2 3 所以 m 的最小值为 . 3