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1、第一章DIYIZHANG推理与证明 1 归纳与类比归纳与类比 课后训练案巩固提升巩固提升 A组 1.观察如图所示的正方形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n2)个圆点,第 n 个图案中圆点的总 数是 Sn.按此规律推断出 Sn与 n 的关系式为( ) A.Sn=2nB.Sn=4n C.Sn=2nD.Sn=4n-4 解析:由 n=2,n=3,n=4的图案,推断第 n 个图案是这样构成的:圆点排成正方形的四条边,每条边 上有 n个圆点,则圆点的个数为 Sn=4n-4. 答案:D 2.下列几种推理中是合情推理的是( ) 由圆的性质类比出球的有关性质. 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和均
2、为 180,归纳出所有三角形的内角和 均为 180. 教室内有一把椅子坏了,猜想该教室内所有的椅子都坏了. 由 a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,归纳出数列an的通项公式为 an=2n-1. A.B.C.D. 解析:是类比推理,是归纳推理,故都是合情推理. 答案:C 3.下面使用类比推理恰当的是( ) A.“若 a3=b3,则 a=b”类比推出“若 a0=b0,则 a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(ab)c=acbc” C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(c0)” + = + D.“(ab)n=anbn”类比推出“(a+b)n=an+bn” 答案:C 4.已知
3、数对如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第 60 个数对 是( ) A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7) 解析:由前面的几个数对不难发现,数对中两数之和为 2 的有 1 个,为 3 的有 2 个,为 4 的有 3 个,为 11的有 10个,则根据数对规律可推出第 56个数对为(1,11),往下的数对依次为 (2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6),.故选 D. 答案:D 5.已知bn为等比数列,b5=2,则 b1b2b3b4b5b6b7b8
4、b9=29,若an为等差数列,a5=2,则an的类 似结论为( ) A.a1a2a3a9=29 B.a1+a2+a3+a9=29 C.a1a2a3a9=29 D.a1+a2+a3+a9=29 解析:由数列bn为等比数列,且 b1b2b3b4b9=29.等式左边为前 9 项的积,类比到等差数列an中, 则应为前 9项的和,即 a1+a2+a3+a9.等式右边为 29,则类比到等差数列an中应为 29,即可得类 似结论为 a1+a2+a3+a9=29. 答案:D 6.观察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第 n 个等式为 .
5、 解析:1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52, 第 n个等式为 n+(n+1)+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(3n-2)=(2n-1)2 7.观察下列等式:=1,. sin30 + sin90 cos30 + cos90 = 3, sin15 + sin75 cos15 + cos75 sin20 + sin40 cos20 + cos40 = 3 3 照此规律,对于一般的角 ,有等式 . 解析:根据等式的特点,发现 tan,tan =1,tan ,故对于一般的角 30 + 90 2 = 3 15 + 75 2 20 + 40 2 = 3 3
6、 , 的等式为=tan. sin + sin cos + cos + 2 答案:=tan sin + sin cos + cos + 2 8.阅读以下求 1+2+3+n(nN+)的过程: 因为(n+1)2-n2=2n+1,n2-(n-1)2=2(n-1)+1,22-12=21+1, 以上各式相加得(n+1)2-12=2(1+2+n)+n,所以 1+2+3+n=. 2+ 2 - 2 = ( + 1) 2 类比上述过程,可得 12+22+32+n2= (nN+). 解析:因为(n+1)3-n3=3n2+3n+1,n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,23-13=312+31+1,以
7、上各式相加 得(n+1)3-13=3(12+22+n2)+3(1+2+n)+n,所以 12+22+32+n2=. ( + 1)(2 + 1) 6 答案: ( + 1)(2 + 1) 6 9.已知数列an满足 a1=1,(nN+). + 1 = + 1 (1)求 a2,a3,a4,a5,并猜想通项公式 an; (2)根据(1)中的猜想,有下面的数阵: S1=a1 S2=a2+a3 S3=a4+a5+a6 S4=a7+a8+a9+a10 S5=a11+a12+a13+a14+a15 试求 S1,S1+S3,S1+S3+S5,并猜想 S1+S3+S5+S2n-1的值. 解(1)因为 a1=1,由,知
8、 an+1=an,故 a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,可归纳猜想出 an=n(n + 1 = + 1 + 1 N+). (2)根据(1)中的猜想,数阵为: S1=1 S2=2+3=5 S3=4+5+6=15 S4=7+8+9+10=34 S5=11+12+13+14+15=65 故 S1=1=14 S1+S3=1+15=16=24 S1+S3+S5=1+15+65=81=34 可猜想 S1+S3+S5+S2n-1=n4. 10.导学号 88184000在 RtABC中,C=90,当 n2 时,有 cnan+bn成立,请你类 比直角三角形的这个性质,猜想一下空间四面体的性质. 解如图,
9、与 RtABC 对应的是四面体 P-DEF;与 RtABC 的两条边交成一个直角相对应的是四面体 P- DEF 的三个面在一个顶点 D 处构成 3 个直二面角;与 RtABC直角边 a,b 相对应的是四面体 P-DEF 的平面DEF,FPD,DPE的面积 S1,S2,S3;与 RtABC 的斜边 c 相对应的是四面体 P-DEF的平面 PEF 的面积 S. 由此猜想:当 n2 时,Sn. 1+ 2+ 3 B 组 1.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆称为“黄 5 - 1 2 金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于( ) A.B.
10、 5+ 1 2 5 - 1 2 C.-1D.+1 55 解析:如图所示,设双曲线方程为=1(a0,b0),则 F(-c,0),B(0,b),A(a,0), 2 2 2 2 =(c,b),=(-a,b). 又, =b2-ac=0. c2-a2-ac=0,即 e2-e-1=0. e=或 e=(舍).故选 A. 1 +5 2 1 - 5 2 答案:A 2.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点 1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对应 数列annN+的前 12项(即横坐标为奇数项,纵坐标为偶数项),按如此规律下去,则 a2 013+a2 014+a2 015=( ) A.1 0
11、06B.1 007C.1 008D.2 015 解析:观察点的坐标可知,偶数项的值等于其项数的一半,则 a4n-3=n,a4n-1=-n,a2n=n, 2 013=4504-3,2 015=4504-1, a2 013=504,a2 015=-504,a2 014=1 007. a2 013+a2 014+a2 015=1 007. 答案:B 3.记等差数列an的前 n项和为 Sn,利用倒序求和法,可将 Sn表示成首项 a1,末项 an与项数 n 的一 个关系式,即 Sn=;类似地,记等比数列bn的前 n 项积为 Tn,且 bn0(nN+),试类比等差数列 (1+ ) 2 求和的方法,可将 T
12、n表示成首项 b,末项 bn与项数 n的一个关系式,即 Tn=( ) A.B. (1+ ) 2 ( 1+ ) 2 C.D.(b1bn 1 ) 2 解析:利用等比数列的性质,若 m+n=p+q,则 bmbn=bpbq,利用倒序求积法可得 两式相乘得=(b1bn)n,故 Tn=(b1bn. = 1 2, = - 11, 2 ) 2 答案:D 4.观察下列不等式. 1+,1+,1+,照此规律第五个不等式为 . 1 22 3 2 1 22 + 1 32 5 3 1 22 + 1 32 + 1 42 7 4 解析:由前三个不等式可知第(n-1)个不等式为 1+,所以第五个不等式 1 22 + 1 32
13、+ 1 42 1 2 2 - 1 为 1+. 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + 1 62 11 6 答案:1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + 1 62 11 6 5.导学号 88184001在长方形 ABCD 中,对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 , 则 cos2+cos2=1,请在立体几何中,给出类比猜想. 分析:由平面几何中的长方形可联想到立体几何中的长方体,如图. 解在长方形 ABCD 中,cos2+cos2=1. ( ) 2 +( ) 2 = 2+ 2 2 = 2 2 于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为
14、,则 cos2+cos2+cos2=1. 证明如下:cos2+cos2+cos2=1. ( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 = 2+ 2+ 2 2 = 2 2 6.导学号 88184002一种十字绣作品由相同的小正方形构成,图分别是制 作该作品前四步所对应的图案,按照如此规律,第 n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为 f(n). (1)求出 f(2),f(3),f(4),f(5)的值; (2)利用归纳推理,归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式; (3)猜想 f(n)的表达式,并写出推导过程. 解(1)图中只有一个小正方形,得 f(1)=1; 图中有 3 层,以第 2层为对称轴
15、,有 1+3+1=5(个)小正方形,得 f(2)=5; 图中有 5 层,以第 3层为对称轴,有 1+3+5+3+1=13(个)小正方形,得 f(3)=13; 图中有 7 层,以第 4层为对称轴,有 1+3+5+7+5+3+1=25(个)小正方形,得 f(4)=25; 第五步所对应的图案中有 9 层,以第 5 层为对称轴,有 1+3+5+7+9+7+5+3+1=41(个)小正方形, 得 f(5)=41. (2)f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,f(5)=41,f(2)-f(1)=4=41,f(3)-f(2)=8=42,f(4)- f(3)=12=43,f(5)-f(4)=16=44, f(n+1)-f(n)=4n. f(n+1)与 f(n)的关系式为 f(n+1)-f(n)=4n. (3)猜想 f(n)的表达式为 f(n)=2n2-2n+1. 由(2)可知 f(2)-f(1)=4=41,f(3)-f(2)=8=42,f(4)-f(3)=12=43,f(5)-f(4)=16=44, f(n)-f(n-1)=4(n-1)=4n-4, 将上述 n-1 个式子相加,得 f(n)-f(1)=41+2+3+4+(n-1),则 f(n)=2n2-2n+1.