《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2练习：第一章 推理与证明 模块复习1 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2练习：第一章 推理与证明 模块复习1 Word版含解析.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、模块复习课MOKUAIFUXIKE 第第 1课时课时 推理与证明推理与证明 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.用反证法证明命题“三角形的三个内角至多有一个钝角”时,假设的内容应为( ) A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析:“至多有一个”的否定为“至少有两个”. 答案:B 2.下列推理是归纳推理的是( ) A.A,B为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a|AB|,则 P点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式 C.由圆 x2+y2=r
2、2的面积为 S=r2,猜想出椭圆=1 的面积为 S=ab 2 2 + 2 2 D.以上均不正确 解析:从 S1,S2,S3猜想出数列前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以 B 是归纳推理. 答案:B 3.由正三角形的内切圆切于三边的中点可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点 解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正 四面体各正三角形的中心.故选 C. 答案:C 4.已知 a0,b0,=1,则 a+2b 的最小值为( ) 1 + 3 A
3、.7+2B.2 63 C.7+2D.14 3 解析:a+2b=(a+2b)=7+7+2,当且仅当 2b2=3a2,即 a=b 时取等号. ( 1 + 3 ) 2 + 3 6 6 3 答案:A 5.某个与正整数有关的命题:如果当 n=k(kN+)时命题成立,则可以推出当 n=k+1 时该命题也成立.现 已知 n=5时命题不成立,那么可以推得( ) A.当 n=4时命题不成立 B.当 n=6时命题不成立 C.当 n=4时命题成立 D.当 n=6时命题成立 解析:因为当 n=k(kN+)时命题成立,则可以推出当 n=k+1 时该命题也成立,所以假设当 n=4 时命题 成立,那么 n=5 时命题也成立
4、,这与已知矛盾,所以当 n=4 时命题不成立. 答案:A 6.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: A+B+C=90+90+C180,这与三角形内角和为 180矛盾,故假设错误. 所以一个三角形不能有两个直角. 假设ABC 中有两个直角,不妨设A=90,B=90. 上述步骤的正确顺序为 . 解析:由反证法的证明步骤可知,正确的步骤为. 答案: 7.导学号 88184064已知数列an的前 n 项和为 Sn,f(x)=,an=log2,则 S2 2 - 1 + 1 ( + 1) () 016= . 解析:an=log2=log2f(n+1)-log2f(n), ( + 1) ()
5、 S2 016=a1+a2+a3+a2 016 =log2f(2)-log2f(1)+log2f(3)-log2f(2)+log2f(4)-log2f(3)+log2f(2 017)-log2f(2 016) =log2f(2 017)-log2f(1) =log2-log2 4 034 - 1 2 017 + 1 1 2 =log2+1. 4 033 2 018 答案:log2+1 4 033 2 018 8.如果 a+ba+b,则实数 a,b 应满足的条件是 . 解析:由于 a+ba+ba-ab-ba()b()(a-b)( )0()()20,故只需 ab,且 a,b 都不小于零即可. +
6、答案:a0,b0,且 ab 9.已知 a0,用分析法求证:a+ -2. 2+ 1 2 2 1 证明要证a+ -2, 2+ 1 2 2 1 即需证+2a+, 2+ 1 2 1 + 2 a0, 故只需证, ( 2+ 1 2 + 2) 2 ( + 1 + 2) 2 即 a2+4+4 1 2 2+ 1 2 a2+2+2+2, 1 2 2( + 1 ) 从而只需证 2,即需证 42. 2+ 1 2 2( + 1 ) (2+ 1 2) (2+ 2 + 1 2) 即 a2+2. 1 2 而此不等式显然成立,故原不等式成立. 10.已知数列an前 n项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n2an(nN+). (1
7、)试求 a2,a3,a4; (2)猜想 an的表达式,并用数学归纳法证明猜想. 解(1)因为 a1=1,Sn=n2an(nN+), 所以 S2=4a2=a1+a2, 所以 a2= a1= . 1 3 1 3 同理可求 a3= ,a4=. 1 6 1 10 (2)由(1)知数列an中, a1=1=,a2=,a3=, 2 1 2 1 3 = 2 2 3 1 6 = 2 3 4 a4=,猜想:an=. 1 10 = 2 4 5 2 ( + 1) 证明如下:当 n=1 时,a1=1,命题成立; 2 1 2 假设当 n=k(kN+)时命题成立,即 ak=, 2 ( + 1) 当 n=k+1时,Sk+1=
8、(k+1)2ak+1=Sk+ak+1=k2ak+ak+1, 整理得 ak+1=, 2 ( + 1)( + 2) 所以当 n=k+1时命题也成立. 综上,nN+时有 an=. 2 ( + 1) B组 1.已知 f(x)=x3+x,a,b,cR,且 a+b0,a+c0,b+c0,则 f(a)+f(b)+f(c)的值一定( ) A.大于 0B.等于 0 C.小于 0D.正负都可能 解析:由 f(x)=x3+x的性质知,f(x)是奇函数且是增函数, a+b0,a+c0,b+c0, a-b,a-c,b-c. f(a)f(-b),f(a)f(-c),f(b)f(-c). 由奇函数得:f(a)+f(b)0,
9、f(a)+f(c)0,f(b)+f(c)0, 三式相加得 2f(a)+f(b)+f(c)0, 即 f(a)+f(b)+f(c)0. 答案:A 2.把 1,3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所 示),第七个三角形数是( ) A.27B.28C.29D.30 解析:由 1,3,6,10,15,21可以观察其差成等差数列,即 a2-a1=2,a3-a2=3, a7-a6=7,即 a7=a6+7=28,故选 B. 答案:B 3.半径为 r的圆的面积 S(r)=r2,周长 C(r)=2r,若将 r 看作(0,+)上的变量,则(r2)=2r ,式可
10、 以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+)上的 变量,请你写出类似于的式子: ,式可以用语言叙述 为: . 解析:由于球的体积 V= R3,球的表面积为 S=4R2,所以有=4R2. 4 3 ( 4 3 3) 答案:=4R2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 ( 4 3 3) 4.导学号 88184065求证:抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形. 证明假设抛物线上任取四点所组成的四边形可能是平行四边形. 如图,设抛物线方程 y2=2px(p0),在抛物线上任取不同的四点,其坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2)
11、,C(x3,y3),D(x4,y4). 则=2pxi(i=1,2,3,4).2 于是直线 AB 的斜率 kAB=, 2 - 1 2 - 1 = 2 2+ 1 同理,kBC=,kCD=,kDA=. 2 3+ 2 2 4+ 3 2 1+ 4 假设四边形 ABCD 是平行四边形,则有 kAB=kCD,kBC=kDA,即2 + 1= 4+ 3, 3+ 2= 1+ 4, -得 y1-y3=y3-y1, y1=y3, y2=y4, 则 x1=x3. 2 1 2 = 2 3 2 同理,x2=x4. 1 = 3, 1= 3, 2= 4, 2= 4. 显然 A,C 重合,B,D 重合,与 A,B,C,D 为抛物
12、线上任意四点矛盾,故假设不成立. 四边形 ABCD 不可能是平行四边形. 抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形. 5.导学号 88184066设 f(n)=1+ ,问是否存在关于自然数 n 的函数 g(n)使等式 1 2 + 1 3 1 f(1)+f(2)+f(n-1)=g(n)f(n)-1对于 n2的一切自然数都成立?若存在,证明你的结论. 解当 n=2时,由 f(1)=g(2)f(2)-1, 得 g(2)=2, (1) (2) - 1 = 1 1 + 1 2 - 1 当 n=3时,由 f(1)+f(2)=g(3)f(3)-1, 得 g(3)=3, (1) + (2) (3) -
13、 1 = 1 + 1 + 1 2 1 + 1 2+ 1 3 - 1 猜想 g(n)=n(n2). 下面用数学归纳法证明:当 n2 时,等式 f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1恒成立. 当 n=2 时,由上面计算知,等式成立. 假设当 n=k 时,f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k)-1恒成立. 则当 n=k+1时, f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k) =(k+1)f(k)-k=(k+1)-k ( + 1) - 1 + 1 =(k+1)f(k+1)-1, 当 n=k+1时,等式也成立. 由知,对一切 n2 的自然数 n,等式都成立. 故存在函数 g(n)=n,使等式成立.