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1、（刷题 1+1）2020 高考数学讲练试题 素养提升练（八）文（含 2019 高考+模拟题） （刷题 1+1）2020 高考数学讲练试题 素养提升练（八）文（含 2019 高考+模拟题） 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分 满分 150 分， 考试时间 120 分钟 第卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1(2019江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知m，nR R，集合A2， log7m，集合Bm，n，若AB1，则mn( ) A1 B2 C4 D8 答案 D 解
2、析 因为AB1，则 log7m1，m7，Bm，n7，n，n1，则mn8. 故选 D. 2(2019无锡一中三模)已知 i 为虚数单位，且复数z满足z(1i)2i2019，则 的值为( ) |z 1 2i| A. B. 1 2 5 2 C. D2 3 2 答案 B 解析 z(1i)2i2019， z i， 2i2019 1i 2i 1i 2i1i 2 1 2 3 2|z 1 2i| ，故选 B. |1 1 2i| 11 4 5 2 3(2019厦门一中三模)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何 由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四”如图， 已知直
3、线x2 交抛物线y24x于A，B两点，点A，B在y轴上的射影分别为D，C.从长方 形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( ) A. B. 1 2 1 3 C. D. 2 3 2 5 答案 B 解析 在抛物线y24x中，取x2，可得y2，S矩形ABCD8，由阿基米德理22 论可得弓形面积为 8， 则阴影部分的面积为S8.由测度比为 4 3 1 2 2 16 2 3 2 16 2 3 8 2 3 面积比可得，该点位于阴影部分的概率为 .故选 B. 8 2 3 8 2 1 3 4(2019全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比
4、乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后， 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确， 那么三人按成绩由高到低的次 序为( ) A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙 答案 A 解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确若甲预测正确，则乙、丙预测错 误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙 ； 若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到 低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、 乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾 ； 若甲、丙预 测错误，则可推出乙的预测也错误综上所述，三人按成绩由高
5、到低的次序为甲、乙、 丙故选 A. 5 (2019梧州一模)函数f (x)(e 是自然对数的底数)的图象大致为 ex1ln x2 ex1 ( ) 答案 A 解析 f (x)的定义域是x|x0， 关于原点对称，f (x) ex1ln x2 ex1 f (x)， 则函数f (x)是奇函数， 图象关于原点对称， 1exln x2 1ex ex1ln x2 ex1 排除 B，C.当x1 时，f (x)0，排除 D，故选 A. 6(2019莱阳一中一模)已知ABC中，sinA2sinBcosC0，bc，则 tanA的值3 是( ) A. B. C. D. 3 3 2 3 3 3 4 3 3 答案 A 解
6、析 sinA2sinBcosC0， sin(BC)2sinBcosC0， 3sinBcosCcosBsinC 0， 由cosB0， cosC0， 化为3tanBtanC， 又bc， B为锐角，C为钝角， tanA3 tan(BC)，当且仅当 tanB时， tanBtanC 1tanBtanC 2tanB 13tan2B 2 1 tanB3tanB 2 2 3 3 3 3 3 取等号，tanA的最大值是. 3 3 7(2019莆田三模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 15 4 13 3 17 3 11 2 答案 C 解析 根据几何体的三视图可知，
7、该几何体为正方体截去一个三棱锥与一个三棱柱， 则 该几何体的体积为V23 2222 11.故选 C. 1 3 1 2 1 2 17 3 8 (2019四川二诊)在数列an中， 已知a11， 且对于任意的m，nN N*， 都有amnaman mn，则数列an的通项公式为( ) Aann Bann1 Can Dan nn1 2 nn1 2 答案 D 解析 令m1， 得an1ann1， an1ann1， a2a12，a3a23，an an1n，an1234n，an1234n.故选 D. nn1 2 9(2019湖北六市联考)将直线xy10 绕点(1,0)沿逆时针方向旋转 15得到直 线l，则直线l与
8、圆(x3)2y24 的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D相交或相切 答案 B 解析 依题意得， 直线l的倾斜角为 150， 所以直线l的方程是ytan150(x1) (x1)，即xy10，圆心(3,0)到直线l的距离d2，故直线l与 3 3 3 |31| 31 圆相切 10 (2019上饶一模)已知定义在 R R 上的函数满足f (x1)f (x1)，f (x) Error!若关于x的不等式f (x)a(x2018)0 在(2018,2020上恒成立，则实数a的取值 范围为( ) A(，2 B(，2) C. D. (， 5 2(， 5 2) 答案 C 解析 f (x)Error! 可
9、得当0x1时，f (x)递增， 且f (x)(4， 3； 当1x2时，f (x)ln (x1) 55.由f (x1)f (x1)， 可得f (x2)f (x)， 即f (x)的最小正周期为 2， 关于x 的不等式f (x)a(x2018)0 在(2018,2020上恒成立，即f (x)在(2018,2020上的图象 在直线ya(x2018)的下方 可得当 2018x2019 时，f (x)2x20185(4， 3 ； 当 2019x2020 时，f (x)ln (x2019)55，如上图，直线ya(x2018)恒过 定点(2018,0)， 当直线经过点(2020， 5)时， 即52a， 解得a
10、 ， 由图象可得a 时， 5 2 5 2 直线恒在f (x)在(2018,2020上图象的上方，故选 C. 11 (2019徐州一中二模)已知正三棱柱ABCA1B1C1中， 所有棱长为4，M，N分别为AB，BC 上的点，且满足AMBN，当三棱锥B1BMN的体积最大时，三棱锥B1BMN的外接球的表面 积为( ) A. B4 13 3 C. D. 16 3 64 3 答案 D 解析 正三棱柱ABCA1B1C1中， 所有棱长为 4， ABC60， 设AMBNx(0x4)， 则V 4 (4x)xsin (4x)x 2 ， 当且仅当 4 B1BMN 1 3 1 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2(
11、4xx 2) 4 3 3 xx即x2 时取等号，可知BMN为等腰三角形，R，S4R222( 2 3 3) 2 4 3 4 3 3 4 2 ，故选 D. ( 4 3 3) 64 3 12(2019北大附中一模)已知函数f(x)是奇函数f (x)(xR R)的导函数，且满足当x 0 时，ln xf(x)f (x)，则(x2019)f (x)0 的解集为( ) 1 x A(1,0)(1,2019) B(2019，1)(1,2019) C(0,2019) D(1,1) 答案 C 解析 设g(x)ln xf (x)，则g(x) f (x)ln xf(x)0，可知函数g(x)在x 1 x 0 时单调递减，
12、又g(1)0，可知函数g(x)ln xf (x)在(0,1)上大于零，且 ln x0， 可知f (x)0； 在(1，)上，g(x)0)上的一个动点， 4 x 则点P到直线xy0 的距离的最小值是_ 答案 4 解析 解法一：由题意可设P(x00)， (x 0，x0 4 x0) 则点P到直线xy0的距离d4， 当且仅当2x0 |x 0x0 4 x0| 2 |2x 0 4 x0| 2 2 2x0 4 x0 2 ，即x0时取等号故所求最小值是 4. 4 x0 2 解法二 ： 设P(x00)， 则曲线在点P处的切线的斜率为k1.令1 (x 0， 4 x0x 0) 4 x2 0 4 x2 0 1，结合x0
13、0 得x0，P(，3)，曲线yx (x0)上的点P到直线xy0 的最222 4 x 短距离即为此时点P到直线xy0 的距离，故dmin4. | 23 2| 2 16 (2019扬州中学模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、 右焦点分别为F1，F2， x2 a2 y2 b2 直线MN过F2，且与双曲线右支交于M，N两点，若 cosF1MNcosF1F2M， ，则 |F1M| |F1N| 1 2 双曲线的离心率等于_ 答案 2 解析 如图，由 cosF1MNcosF1F2M可得F1MNF1F2M， |F1M|F1F2|2c， |F1N|2|F1M|4c， 由双曲线的定义可得|MF2|2c2a，|N
14、F2|4c2a， |MN|6c4a， 在F1MN中，由余弦定理得 cosF1MN2c 26c4a24c2 2 2c 6c4a ， 3c26ac2a2 c3c2a 在F1F2M中，由余弦定理得 cosF1F2M， 2c22c2a22c2 2 2c 2c2a ca 2c cosF1MNcosF1F2M， ，整理得 3c27ac2a20， 3c26ac2a2 c3c2a ca 2c 3e27e20，解得e2 或e (舍去) 1 3 双曲线的离心率等于 2. 三、解答题 ： 共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必 考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，
15、考生根据要求作答 (一)必考题：60 分 17(本小题满分 12 分)(2019太原一模)如图，已知ABC的内角A，B，C的对边分 别是a，b，c，且asinA(ca)sinCbsinB，点D是AC的中点，DEAC，交AB于点E， 且BC2，DE. 6 2 (1)求B； (2)求ABC的面积 解 (1)asinA(ca)sinCbsinB， 且，可得：a2c2acb2， a sinA b sinB c sinC 由余弦定理得：cosB ， a2c2b2 2ac 1 2 0B， B60. (2)连接CE，如图，D是AC的中点， DEAC， AECE， CEAE， DE sinA 6 2sinA
16、在BCE中，由正弦定理得， CE sinB BC sinBEC BC sin2A ，cosA， 6 2sinAsin60 2 2sinAcosA 2 2 0A180， A45， ACB75， BCEACBACE30，BEC90， CEAE，ABAEBE1，33 SABCABCE. 1 2 3 3 2 18(本小题满分 12 分)(2019东北三省三校三模)哈师大附中高三学年统计学生的最 近 20 次数学周测成绩(满分 150 分)，现有甲、乙两位同学的 20 次成绩如茎叶图所示 (1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图 填充完整； (2)根据茎叶图比较甲、
17、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体 值，给出结论即可)； (3)现从甲、 乙两位同学不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩， 记事件A为 “其中 2 个成绩分别属于不同的同学” ，求事件A发生的概率 解 (1)甲同学成绩的中位数是119，乙同学成绩的中位数是 128.乙的成绩 116122 2 的频率分布直方图补充后如图 (2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均分比甲同学成绩的平均分高， 且乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中 (3)甲同学不低于 140 分的成绩有 2 个设为a，b，乙同学不低于 140 分的成绩有 3 个， 设为c，d，e. 现从甲、 乙两位同学
18、不低于140分的成绩中任意选出2个有 ： (a，b)， (a，c)， (a，d)， (a，e)， (b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共 10 种， 其中 2 个成绩分属不同同学的情况有 ： (a，c)， (a，d)， (a，e)， (b，c)， (b，d)， (b，e)， 共 6 种 因此事件A发生的概率P(A) . 6 10 3 5 19 (本小题满分 12 分)(2019株洲一模)如图， 平面ABCD平面ADEF， 其中四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF为直角梯形，AFDE，AFFE，AF2EF2DE2. (1)求证：平面BFD平面ABCD； (2
19、)若三棱锥BADF的体积为 ，求BD与平面BAF所成角的正弦值 1 3 解 (1)证明：如图，作DHAF于H， AFFE，AF2EF2DE2. 四边形DEFH是正方形， HFDH1，HDF45， AF2，AH1，ADH45. ADF90，即DFAD， 平面ABCD平面ADEF，AD为两个面的交线， FD平面ABCD. 平面BFD平面ABCD. (2)因为平面ABCD平面ADEF，ABAD， 所以AB平面ADEF，VBADFSADFAB 21AB ， 1 3 1 3 1 2 1 3 所以AB1，又AD2AF2DF22222， BDAB2AD23 连接BH，易知DBH为BD与平面BAF所成的角，
20、在直角BDH中，BD，DH1，3 sinDBH， 1 3 3 3 所以BD与平面BAF所成角的正弦值为. 3 3 20(本小题满分 12 分)(2019天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，左顶 x2 a2 y2 b2 点为A，上顶点为B.已知|OA|2|OB|(O为原点)3 (1)求椭圆的离心率 (2)设经过点F且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直 3 4 线l相切，圆心C在直线x4 上，且OCAP.求椭圆的方程 解 (1)设椭圆的半焦距为c， 由已知有a2b， 又由a2b2c2， 消去b得a2 2 3 ( 3 2 a) c2，解得 . c a 1 2 所以，
21、椭圆的离心率为 . 1 2 (2)由(1)知，a2c，bc，故椭圆方程为1.3 x2 4c2 y2 3c2 由题意，F (c,0)，则直线l的方程为y (xc) 3 4 点P的坐标满足Error!消去y并化简， 得到 7x26cx13c20， 解得x1c，x2. 13c 7 代入到l的方程，解得y1c，y2c. 3 2 9 14 因为点P在x轴上方，所以P. (c， 3 2c) 由圆心C在直线x4 上，可设C(4，t) 因为OCAP，且由(1)知A(2c,0)， 故 ，解得t2. t 4 3 2c c2c 因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为 2. 又由圆C与l相切，得2，可得c2. | 3
22、44c2| 1(3 4) 2 所以，椭圆的方程为1. x2 16 y2 12 21(本小题满分 12 分)(2019济宁二模)已知函数f (x)xln xax在xx0处取得 极小值1. (1)求实数a的值； (2)设g(x)xf (x)b(b0)，讨论函数g(x)的零点个数 解 (1)易知函数f (x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1a. 函数f (x)xln xax在xx0处取得极小值1， Error!解得Error! 当a1 时，f(x)ln x， 则当x(0,1)时，f(x)0，x(1， )时， f(x)0， f (x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 当x1 时，函
23、数f (x)取得极小值1， a1. (2)由(1)知函数g(x)xf (x)bx2ln xx2b，定义域为(0，) g(x)2xln xx2x2x. (ln x 1 2) 令g(x)0，得x，易得g(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，eee 当x时， 函数g(x)取得极小值(也是最小值)b .当b 0， 即b 时， 函数g(x)e e 2 e 2 e 2 没有零点 当b 0，即b 时，函数g(x)有一个零点 e 2 e 2 当b 0，即 0b 时，g(e)b0. e 2 e 2 g()g(e)0，e 故存在x1(，e)，使g(x1)0，e g(x)在(，e)上有一个零点x1.e 设
24、h(x)ln x 1，x(0,1)， 1 x 则h(x) . 1 x 1 x2 x1 x2 当x(0,1)时，h(x)0， h(x)在(0,1)上单调递减 h(x)h(1)0，即当x(0,1)时，ln x1 . 1 x 当x(0,1)时，g(x)x2ln xx2bx2x2bbx. (1 1 x) 取xb,1min，则g(x)0， g()g(x)0，e 存在x2(x，)，使函数g(x2)0，g(x)在(x，)上有一个零点x2，ee g(x)在(0，)上有两个零点x1，x2， 综上可得，当b 时，函数g(x)没有零点， e 2 当b 时，函数g(x)有一个零点， e 2 当 0b 时，函数g(x)
25、有两个零点 e 2 (二)选考题：10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分 22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 (2019合肥市第一次教学质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为Error!( 为参数)以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程 为2cos. (1)求C1，C2交点的直角坐标； (2)设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求AOB面积的最大值 (4， 3) 解 (1)C1：x2y21，C2：2cos，22cos， x2y22x. 联立方程组Error!解得Error!或 Er
26、ror! 所求交点的坐标为，. ( 1 2， 3 2) ( 1 2， 3 2) (2)设B(，)，则2cos， AOB的面积S|OA|OB|sinAOB 1 2 1 2|4sin( 3 )| |4cossin( 3 )| |2cos(2 6) 3 | 当时，Smax2. 23 12 3 23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 (2019合肥市第一次教学质量检测)设函数f (x)|x1|. (1)若f (x)2x2，求实数x的取值范围； (2)设g(x)f (x)f (ax)(a1)，若g(x)的最小值为 ，求a的值 1 2 解 (1)f (x)2x2，即|x1|22x， 当x1 时，原不等式化为x122x，解得x ； 1 3 当x1 时，原不等式化为x12x2，无解 实数x的取值范围是. ( 1 3，) (2)a1，1 ， 1 a g(x)Error! 易知函数g(x)在x上单调递减，在x上单调递增， (， 1 a( 1 a，) g(x)ming1 . ( 1 a) 1 a 1 ，解得a2. 1 a 1 2