《三年高考2017_2019高考数学真题分项汇编专题12数列文含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年高考2017_2019高考数学真题分项汇编专题12数列文含解析.pdf（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 12 数列专题 12 数列 1 【2019 年高考全国 III 卷文数】 已知各项均为正数的等比数列的前 4 项和为 15， 且， n a 531 34aaa 则 3 a A16B8 C4D2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列an的公比为，则， q 23 1111 42 111 15 34 aa qa qa q a qa qa 解得，故选 C 1 1, 2 a q 2 31 4aa q 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 2 【2019 年高考浙江卷】设a，bR R，数列an满足a1=a，an+1=an2+b，则n N A当B当 10 1 ,10
2、 2 ba 10 1 ,10 4 ba C当D当 10 2,10ba 10 4,10ba 【答案】A 【解析】当b=0 时，取a=0，则.0, n an N 当时，令，即.0”是“S4 + S62S5”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由，可知当时，有，即 46511 210212(510 )SSSadadd0d 465 20SSS ，反之，若，则，所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要条件，选 C 465 2SSS 465 2SSS0d 【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知，n 465
3、2SSSd 结合充分必要性的判断， 若， 则是的充分条件， 若， 则是的必要条件， 该题 “pqpqpqpq0d ”“” ，故互为充要条件 465 20SSS 7 【2019 年高考全国 I 卷文数】记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_ 13 3 1 4 aS， 【答案】 5 8 【解析】设等比数列的公比为，由已知，即. q 22 3111 3 1 4 Saa qa qqq 2 1 0 4 qq 解得， 1 2 q 所以 4 4 1 4 1 1 () (1)5 2 1 18 1 () 2 aq S q 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计
4、算， 部分考生易出现运算错误 一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避 33 43431 315 () 428 SSaSa q 免繁分式计算 8【2019 年高考全国 III 卷文数】 记为等差数列的前项和， 若， 则_. n S n an 37 5,13aa 10 S 【答案】100 【解析】设等差数列的公差为d，根据题意可得 n a 得 31 71 25 , 613 aad aad 1 1, 2 a d 101 10 910 9 1010 12100. 22 Sad 【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列 的求和公式是解题的关
5、键. 9 【2019 年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若， * () n anN n S 2589 0,27a aaS 则的值是_ 8 S 【答案】16 【解析】由题意可得：， 258111 91 470 9 8 927 2 a aaadadad Sad 解得：，则. 1 5 2 a d 81 8 7 84028 216 2 Sad 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程 思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组） ，如本题，从已知出发，构建的方程组. 1 a d, 10 【2018 年高考江苏卷】已知集合，将的所 *
6、 |21,Ax xnnN * |2 , n Bx xnNAB 有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前n项和，则使得成立 n a n S n a 1 12 nn Sa 的n的最小值为_ 【答案】27 【解析】所有的正奇数和按照从小到大的顺序排列构成，在数列|中，25前面有16 2nn N n a n a 个 正 奇 数 ， 即.当n=1时 ， 不 符 合 题 意 ； 当n=2时 ， 56 2138 2 ,2aa 12 1 1224Sa ， 不 符 合 题 意 ； 当n=3时 ， 不 符 合 题 意 ； 当n=4时 ， 23 31236Sa 34 61248Sa ，不符合题意；当n=26时
7、， 45 1012=54 2 0Sa +1 12 nn Sa 最小值为27. 【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素 养是数学运算. 11【2017 年高考江苏卷】等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则 n an n S 36 763 44 SS, 8 a _ 【答案】32 【解析】当时，显然不符合题意； 1q 当时，解得，则 1q 3 1 6 1 (1)7 14 (1)63 14 aq q aq q 1 1 4 2 a q 7 8 1 232 4 a 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：利用基本量，将多元问题
8、简 化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；利用等差、等比数列的性质，性质是 两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应 用但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形在解决等差、等比数列的 运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法 12 【2019 年高考全国 I 卷文数】记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=-a5 （1）若a3=4，求an的通项公式； （2）若a10，求使得Snan的n的取值范围 【答案】 （1）；（2）.210 n an 110()nn N 【解析】（1）设的公差为d n
9、a 由得 95 Sa 1 40ad 由a3=4得 1 24ad 于是 1 8,2ad 因此的通项公式为 n a102 n an （2）由（1）得，故. 1 4ad (9) (5) , 2 nn n nd and S 由知，故等价于，解得1n10 1 0a 0d nn Sa 2 1110 0nn 所以n的取值范围是 |110,nnn N 【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求 和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 13【2019 年高考全国 II 卷文数】已知是各项均为正数的等比数列，. n a 132 2
10、,216aaa （1）求的通项公式； n a （2）设，求数列的前n项和 2 log nn ba n b 【答案】 （1）；（2）. 21 2 n n a 2 n Sn 【解析】 （1）设的公比为q，由题设得 n a ，即 2 2416qq 2 280qq 解得（舍去）或q=42q 因此的通项公式为 n a 121 2 42 nn n a （2）由（1）得， 2 (21)log 221 n bnn 因此数列的前n项和为 n b 2 1 321nn 【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等 差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是
11、简单题. 14 【2019 年高考北京卷文数】设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列 （1）求an的通项公式； （2）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值 【答案】 （1）；（2）当或者时，取到最小值.212 n an5n 6n n S30 【解析】 （1）设的公差为 n ad 因为， 1 10a 所以 234 10,102 ,103ad ad ad 因为成等比数列， 234 10,8,6aaa 所以 2 324 8106aaa 所以 2 ( 22 )( 43 )ddd 解得2d 所以 1 (1) 212 n aandn （2）由（1）知，212 n an
12、 所以，当时，；当时，7n 0 n a 6n 0 n a 所以，的最小值为 n S 6 30S 【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌 握等差数列的有关公式并能灵活运用. 15 【 2019 年 高 考 天 津 卷 文 数 】 设是 等 差 数 列 ，是 等 比 数 列 ， 公 比 大 于 0， 已 知 n a n b . 112332 3,43abba ba （1）求和的通项公式； n a n b （2）设数列满足求. n c 2 1 n n n c bn ， 为奇数, ， 为偶数. * 1 12222 () nn a ca ca cnN 【
13、答案】 （1），；（2）3 n an3n n b 22 (21)369 () 2 n nn n N 【解析】 （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为 . n ad n bq 依题意，得解得 2 332 , 3154 , qd qd 3, 3, d q 故. 1 33(1)3 ,3 33 nn nn annb 所以，的通项公式为，的通项公式为. n a3 n an n b3n n b （2） 1 12222nn a ca ca c 135212 1426 32nnn aaaaa ba ba ba b 123 (1) 36(6 312 318 363 ) 2 n n n nn . 212 36
14、 1 32 33nnn 记 12 1 32 33n n Tn , 则 231 31 32 33n n Tn , 得，. 1 2311 3 1 3 (21)33 233333 1 3 32 n n nnn n n Tnn 所以， 1 22 1 12222 (21)33 3633 2 n nnn n a ca ca cnTn . 22 (21)369 2 n nn n N 【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列 n 求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目. 16 【2019 年高考江苏卷】定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”. （1
15、）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列” ；()n N 245132 ,440a aa aaa （2）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和()n N 1 1 122 1, nnn b Sbb 求数列bn的通项公式； 设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有()n N 1kkk cbc 成立，求m的最大值 【答案】 （1）见解析；（2）bn=n；5. * nN 【解析】 （1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0. 由，得，解得 245 321 440 a aa aaa 244 11 2 111 440 a qa q a qa qa 1 1
16、 2 a q 因此数列为“M数列”. n a （2）因为，所以 1 122 nnn Sbb 0 n b 由，得，则. 111 1,bSb 2 122 11b 2 2b 由，得， 1 122 nnn Sbb 1 1 2() nn n nn b b S bb 当时，由，得，2n 1nnn bSS 11 11 22 nnnn n nnnn b bbb b bbbb 整理得 11 2 nnn bbb 所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列bn的通项公式为bn=n. * nN 由知，bk=k，. * kN 因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0. 因为ckbkck+1，
17、所以，其中k=1，2，3，m. 1kk qkq 当k=1时，有q1； 当k=2，3，m时，有 lnln ln 1 kk q kk 设f（x）=，则 ln (1) x x x 2 1 ln ( ) x f x x 令，得x=e.列表如下：( )0f x x (1,e) e(e，+) ( )f x +0 f（x）极大值 因为，所以 ln2ln8ln9ln3 2663 max ln3 ( )(3) 3 f kf 取，当k=1，2，3，4，5时，即， 3 3q ln ln k q k k kq 经检验知也成立 1k qk 因此所求m的最大值不小于5 若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q
18、15243，且q15216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5 【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转 化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力 17 【2019 年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个 n a n S 3 4a 43 aS n b 成等比数列 12 , nnnnnn nSb Sb Sb N （1）求数列的通项公式；, nn ab （2）记证明：, 2 n n n a cn b N 12+ 2,. n cccn n N 【答案】 （1），；（2）证明见解析.21 n an1
19、 n bn n 【解析】 （1）设数列的公差为d，由题意得 n a ， 111 24,333adadad 解得 1 0,2ad 从而 * 22, n annN 所以， 2* n SnnnN， 由成等比数列得 12 , nnnnnn Sb Sb Sb 2 12nnnnnn SbSbSb 解得 2 12 1 nnnn bSS S d 所以 2* , n bnn nN （2） * 221 , 22 (1)(1) n n n ann cn bn nn n N 我们用数学归纳法证明 （i）当n=1时，c1=01，且a3+a4+a5=28，a4+2 是a3，a5的等差中项数 列bn满足b1=1，数列（bn
20、+1bn）an的前n项和为 2n2+n （1）求q的值； （2）求数列bn的通项公式 【答案】（1）；（2）.2q 2 1 15(43) ( ) 2 n n bn 【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应 用能力. （1）由是的等差中项得， 4 2a 35 ,a a 354 24aaa 所以， 3454 3428aaaa 解得. 4 8a 由得， 35 20aa 1 8()20q q 因为，所以.1q 2q （2）设，数列前n项和为. 1 () nnnn cbb a n c n S 由解得. 1 1 ,1, ,2. n nn S n c SSn
21、41 n cn 由（1）可知， 1 2n n a 所以， 1 1 1 (41) ( ) 2 n nn bbn 故， 2 1 1 (45) ( ),2 2 n nn bbnn 11123221 ()()()() nnnnn bbbbbbbbbb . 23 111 (45) ( )(49) ( )73 222 nn nn 设， 22 111 3711 ( )(45) ( ),2 222 n n Tnn 221 11111 37 ( )(49) ( )(45) ( ) 22222 nn n Tnn 所以， 221 11111 344 ( )4 ( )(45) ( ) 22222 nn n Tn 因此
22、， 2 1 14(43) ( ),2 2 n n Tnn 又，所以. 1 1b 2 1 15(43) ( ) 2 n n bn 【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数 的情形 ； (2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSnSn ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等- qSn 于 1 两种情况求解. 24 【2018 年高考江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数 n a 1 a n b 1 b 列 （1）设，若对均
23、成立，求d的取值范围； 11 0,1,2abq 1 | nn abb1,2,3,4n （2）若，证明：存在，使得对均成立， * 11 0,(1, 2 m abmqNd R 1 | nn abb2,3,1nm 并求的取值范围（用表示） d 1, ,b m q 【答案】 （1） 7 5 , 3 2 ；（2）见解析. 【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化 与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 16 分 （1）由条件知： 1 12(,) n nn and b 因为对n=1，2，3，4 均成立， 1 | nn abb 即 1 12|()1|
24、 n nd 对n=1，2，3，4 均成立， 即 11，1d3，32d5，73d9，得 75 32 d 因此，d的取值范围为 7 5 , 3 2 （2）由条件知： 1 11 (1) , n nn abnd bbq 若存在d，使得（n=2，3，m+1）成立， 1 | nn abb 即 1 111 |1|2,3,(1() n bndbqb nm ， 即当2,3,1nm时，d满足 11 11 2 11 nn qq bdb nn 因为(1, 2 m q，则 1 12 nm qq ， 从而 1 1 2 0 1 n q b n ， 1 1 0 1 n q b n ，对2,3,1nm均成立 因此，取d=0 时
25、，对2,3,1nm均成立 1 | nn abb 下面讨论数列 1 2 1 n q n 的最大值和数列 1 1 n q n 的最小值（2,3,1nm） 当2nm时， 111 2222 111 () ()() nnnnnnnn qqnqqnqn qqq nnn nn n ， 当 1 12mq时，有2 nm qq，从而 1 () 20 nnn n qqq 因此，当21nm时，数列 1 2 1 n q n 单调递增， 故数列 1 2 1 n q n 的最大值为 2 m q m 设( )()2 1 x f xx， 当x0 时，ln21(0(n)l 2 2) x fxx ， 所以( )f x单调递减，从而
26、( )f x0 假设n=k时，xk0， 那么n=k+1 时，若，则，矛盾，故 1 0 k x 11 0ln(1)0 kkk xxx 1 0 k x 因此0() n xn N 所以 ， 111 ln(1) nnnn xxxx 因此 1 0() nn xx n N （2）由得， 11 ln(1) nnn xxx 2 111111 422(2)ln(1) nnnnnnnn x xxxxxxx 记函数， 2 ( )2(2)ln(1)(0)f xxxxx x ， 2 2 ( )ln(1)0(0) 1 xx f xxx x 函数f(x)在0，+）上单调递增，所以=0，因此( )(0)f xf ， 2 11
27、111 2(2)ln(1)()0 nnnnn xxxxf x 故 1 1 2() 2 nn nn x x xxn N （3）因为 ， 11111 ln(1)2 nnnnnn xxxxxx 所以 ， 1 1 2 n n x 由，得 1 1 2 2 nn nn x x xx ， 1 1111 2()0 22 nn xx 所以 ， 12 11 111111 2()2()2 222 nn nn xxx 故 2 1 2 n n x 综上， 12 11 () 22 n nn xn N 【名师点睛】本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明 不等式；（3）利用递推关系证明