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1、专题 20 不等式选讲专题 20 不等式选讲 1【2019 年高考全国卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1证明： （1）； 222 111 abc abc （2） 333 ()()()24abbcca 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）因为，又，故有 222222 2,2,2abab bcbc caac1abc 222 111abbcca abcabbcca abcabc 所以 222 111 abc abc （2）因为为正数且，故有, , a b c1abc 333333 3 ()()()3 () () ()abbccaabbcac =3( + )( + )( +
2、)a b b c a c 3 (2) (2) (2)abbcac =24 所以 333 ()()()24abbcca 【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用 能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立 2【2019 年高考全国卷理数】已知( ) |2|().f xxa xxxa （1）当时，求不等式的解集；1a ( )0f x （2）若时，求的取值范围(,1)x ( )0f x a 【答案】（1）；（2）(,1)1,) 【解析】（1）当a=1 时，( )=|1| +|2|(1)f xxxxx 当时，；当时，1x 2 ( )2(
3、1)0f xx 1x ( )0f x 所以，不等式的解集为( )0f x (,1) （2）因为，所以( )=0f a1a 当，时，1a (,1)x ( )=() +(2)()=2()(1)2xx 【答案】 1 |1 3 x xx 或 【解析】当x2，即x时，原不等式可化为x+2x12，解得x1 1 2 综上，原不等式的解集为 1 |1 3 x xx 或 【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力 5【2018 年高考全国卷理数】已知( ) |1|1|f xxax （1）当时，求不等式的解集；1a ( )1f x （2）若时不等式成立，求的取值范围(0,1)x( )f
4、 xx a 【答案】（1）；（2） 1 | 2 x x (0,2 【解析】（1）当时，即1a ( ) |1|1|f xxx 2,1, ( )2 , 11, 2,1. x f xxx x 故不等式的解集为( )1f x 1 | 2 x x （2）当时成立等价于当时成立(0,1)x|1|1|xaxx(0,1)x|1| 1ax 若，则当时；0a (0,1)x|1| 1ax 若，的解集为，所以，故0a |1| 1ax 2 0x a 2 1 a 02a 综上，的取值范围为 a(0,2 6【2018 年高考全国卷理数】设函数 ( )5|2|f xxax （1）当时，求不等式的解集；1a ( )0f x （
5、2）若，求的取值范围 ( )1f x a 【答案】（1）；（2） | 23xx (, 62,) 【解析】（1）当时，1a 24,1, ( )2, 12, 26,2. xx f xx xx 可得的解集为( )0f x | 23xx （2）等价于( )1f x |2| 4xax 而，且当时等号成立故等价于|2| |2|xaxa2x ( )1f x |2| 4a 由可得或，所以的取值范围是|2| 4a6a 2a a(, 62,) 7【2018 年高考全国卷理数】设函数 211f xxx （1）画出的图像； yf x （2）当，求的最小值0x， f xaxbab 【答案】（1）图像见解析；（2）的最小
6、值为ab5 【解析】（1）的图像如图所示 1 3 , 2 1 ( )2,1, 2 3 ,1. x x f xxx x x ( )yf x （2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故( )yf x y 23 当且仅当且时，在成立，因此的最小值为3a 2b ( )f xaxb0,)ab5 8【2018 年高考江苏卷数学】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值 222 xyz 【答案】的最小值为4 222 xyz 【解析】由柯西不等式，得 2222222 ()(122 )(22 )xyzxyz 因为，所以，22 =6xyz 222 4xyz 当且仅当
7、时，不等式取等号，此时， 122 xyz 244 333 xyz， 所以的最小值为 4 222 xyz 9【2017 年高考全国卷理数】已知函数，4)( 2 axxxf| 1| 1|)(xxxg （1）当时，求不等式的解集；1a)()(xgxf （2）若不等式的解集包含1，1，求的取值范围)()(xgxfa 【答案】（1）；（2） 117 | 1 2 xx 1,1 【解析】（1）当时，不等式等价于1a ( )( )f xg x 2 |1|1| 40xxxx 当时，式化为，无解；1x 2 340xx 当时，式化为，从而；11x 2 20xx11x 当时，式化为，从而1x 2 40xx 117 1
8、 2 x 所以的解集为( )( )f xg x 117 | 1 2 xx （2）当时， 1,1x ( )2g x 所以的解集包含，等价于当时( )( )f xg x 1,1 1,1x ( )2f x 又在的最小值必为与之一，所以且，得( )f x 1,1( 1)f (1)f( 1)2f (1)2f11a 所以的取值范围为a 1,1 【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：|xaxbcc （1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，（此处设(, a( , a b( ,)b ）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集ab （2）
9、图像法：作出函数和的图像，结合图像求解 1 |yxaxb 2 yc 10【2017 年高考全国卷理数】已知证明： 33 0,0,2abab （1）； 55 ()()4ab ab （2）2ab 【答案】（1）证明略；（2）证明略 【解析】（1） 556556 ababaaba bb 2 333344 2 22 2 4 4. aba bab ab ab ab （2）因为 3 3223 33abaa babb 2 3 23 3 2 4 3 2, 4 ab ab ab ab ab 所以，因此 3 8ab2ab 【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式 和
10、问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问 题若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法 11【2017 年高考全国卷理数】已知函数f（x）=x+1x2 （1）求不等式f（x）1 的解集； （2）若不等式的解集非空，求m的取值范围 2 fxxxm 【答案】（1）；（2） 1x x 5 4 -， 【解析】（1）， 31 2112 32 ,x f xx,x ,x 当时，无解；1x 1f x 当时，由得，解得；12x 1f x 21 1x 12x 当时，由解得2x 1f x 2x 所以的解集为 1f x 1x x （2）由得，而 2 f xxxm 2 12
11、mxxxx ， 2 22 355 1212 244 xxxxxxxxx - 且当时， 3 2 x 2 5 12 4 xxxx 故m的取值范围为 5 4 -， 【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 12【2017 年高考江苏卷数学】已知为实数，且证明：, , ,a b c d 2222 4,16,abcd8.acbd 【答案】见解析 【解析】由柯西不等式可得， 22222 ()()()acbdabcd 因为，所以， 2222 4,16abcd 2 ()64acbd 因此8acbd 【名师点睛】 柯西不等式的一般形式 ： 设a1，a2，an，b1，b2，bn为实数， 则 （） （ 222 12n aaa ）（a1b1a2b2anbn）2，当且仅当bi0 或存在一个数k，使aikbi（i1， 222 12n bbb 2，n）时，等号成立本题中，由柯西不等式可得，代入即得结论 22222 ()()()acbdabcd