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1、考点 05 函数的单调性与最值考点 05 函数的单调性与最值 1函数在6,6的图像大致为 ABC D 【答案】B 【解析】设，则，所以 ( )f x是奇函数，图象 关于原点成中心对称， 排除选项 C 又排除选项 D；， 排除选项 A， 故选 B 2设 f x是定义域为R的偶函数，且在0,单调递减，则（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 f x是 R 的偶函数， ， 又 f x在(0，+)单调递减， ， ，故选 C 3已知函数( )yf x的定义域为R,) 1( xf为偶函数,且对 12 1xx,满足.若 (3)1f,则不等式的解集为（ ） A 1 ,8 2 B)8 , 1 ( CD 【
2、答案】A 【解析】因为对 12 1xx,满足，所以( )yf x当1x时，是单调递减函数，又因 为) 1( xf为偶函数，所以( )yf x关于1x 对称，所以函数( )yf x当1x时，是增函数，又因为 (3)1f，所以有1) 1(f， 当 2 log1x 时，即当02x时， 当 2 log1x 时，即当2x 时， ，综上所述：不等式 的解集为 1 ,8 2 ，故本题选 A. 4函数的单调减区间为（ ） A(, 1) B 3 (,) 2 C 3 ( ,) 2 D(4,) 【答案】A 【解析】 函数,所以或1x ， 所以 函数 f x的定义域为4x 或1x ，当 3 (, ) 2 时，函数是单
3、调递减，而1x ，所以函 数的单调减区间为, 1 ，故本题选 A。 5已知函数，则的小关系是（ ） AB CD 【答案】B 【解析】 函数为偶函数， ， 当时，函数在上递增， ， 即， 故选： 6记设，则（ ） A存在 B存在 C存在 D存在 【答案】C 【解析】 解：x2x3x2（1x） ， 当x1 时，x2x30，当x1 时，x2x30， f（x） 若t1，则|f（t）+f（t）|t2+（t）3|t2t3|t3t2， |f（t）f（t）|t2+t3|t2+t3， f（t）f（t）t2（t）3t2+t3， 若 0t1，|f（t）+f（t）|t3+（t）3|0， |f（t）f（t）|t3+t3
4、|2t3， f（t）f（t）t3（t）32t3， 当t1 时，|f（t）+f（t）|1+（1）|0， |f（t）f（t）|1（1）|2， f（t）f（t）1（1）2， 当t0 时，|f（t）+f（t）|f（t）f（t） ，|f（t）f（t）|f（t）f（t） ， 故A错误，B错误； 当t0 时，令g（t）f（1+t）+f（1t）（1+t）2+（1t）3t3+4t2t+2， 则g（t）3t2+8t1，令g（t）0 得3t2+8t10， 641252，g（t）有两个极值点t1，t2， g（t）在（t2，+）上为减函数， 存在t0t2，使得g（t0）0， |g（t0）|g（t0） ， 故C正确； 令
5、h（t）（1+t）f（1t）（1+t）2（1t）3t32t2+5t， 则h（t）3t24t+53（t）20， h（t）在（0，+）上为增函数，h（t）h（0）0， |h（t）|h（t） ，即|f（1+t）f（1t）|f（1+t）f（1t） ， 故D错误 故选：C 7已知函数是定义域为 的奇函数，当时，则不等式的解 集为（ ） AB CD 【答案】A 【解析】 当时，, , 函数是定义域为 的奇函数，当时，,可得到函数是单调递增的，故在整个实属 范围内也是单调递增的，故只需要. 故答案为：A. 8在平面直角坐标系 xoy 中，对于点 ,A a b ，若函数 yf x 满足：，都有 ， 就称这个函
6、数是点A的 “限定函数” 以下函数 ： 1 2 yx ， 2 21yx ， sinyx ， ，其中是原点O的“限定函数”的序号是_已知点 ,A a b 在函数 2xy 的图象上， 若函数 2xy 是点A的“限定函数” ，则a的取值范围是_ 【答案】 (,0 【解析】 要判断是否是原点 O 的“限定函数”只要判断： 1,1x ，都有 1,1y ， 对于 1 2 yx ，由 1,1x 可得，则是原点 O 的“限定函数” ； 对于 2 21yx，由 1,1x 可得，则不是原点 O 的“限定函数” 对于sinyx ，由 1,1x 可得，则是原点 O 的“限定函数” 对于，由 1,1x 可得0,ln3y
7、 1,1，则不是原点 O 的“限定函数” 点A(a, b)在函数2xy 的图像上，若函数2xy 是点 A 的“限定函数” ，可得2ab ， 由，即， 即，可得， 可得1a ，且0a ，即0,aa的范围是(,0， 故答案为：；(,0. 9已知函数是定义域为 的偶函数，且在上单调递增，则不等式的 解集为_ 【答案】 【解析】 函数是定义域为 的偶函数， 可转化为， 又 在上单调递增， ，两边平方解得： ， 故的解集为. 10函数，若对恒成立，则实数 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 解：f（x）x3+2019x2019x+1， 可得f（x）x3+2019x2019x+1， 则f（x）+f（x）2
8、， f（sin+cos）+f（sin2t）2， 即为f（sin+cos）+f（sin2t）2f（x）+f（x） ， f（sin+cos）+f（sin2t）2 对R 恒成立， 可令xsin+cos， 则f（sin+cos） +f（sin2t） f（sin+cos） +f（1sincos） ， 可得f（sin2t）f（1sincos）恒成立， 由于f（x）在 R 上递增，f（x）的图象向右平移 个单位可得f（x）的图象， 则f（x）在 R 上递增， 可得 sin2t1sincos 恒成立， 即有tsin2+sin+cos1， 设g（）sin2+sin+cos1（sin+cos）2+（sin+cos
9、）2 再令 sin+cosm，则msin（） ， 则m， 则g（m）m2+m2，其对称轴m， 故当m时，g（m）取的最大值，最大值为 22 则t， 故答案为：（，+）. 11 已知函数是定义在 R 上的奇函数， 且在上为单调增函数 若， 则满足 的 x 的取值范围是_ 【答案】 根据题意，函数是定义在R上的奇函数，且在上为单调增函数， 则在在上也是增函数， 故函数在R上也是增函数； 又由，则， 则 解可得， 即不等式的解集为 故答案为：. 12已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若 ，则实数 的取值范围为_. 【答案】 【解析】 令， 则， ， 函数在递减， ， ， ，即， 故，解得：
10、， . 故答案为： 13若实数 , x y满足 .则xy的最小值为_ 【答案】 1 . 4 【解析】 ，1 0xy ， , 当且仅当11xy 时即 =x y时取等号 ，当且仅当时取等号 且 ， 即， 因此（当且仅当0k 时取等号） ， 从而xy的最小值为 1 . 4 14设曲线在点 01 ,A xy 处的切线为 1 l，在点 02 ,B xy 处的切线为 2 l ，若存在 0 3 0, 2 x ，使得 12 ll，则实数a的取值范围是_. 【答案】 3 1, 2 【解析】 ， 存在 0 3 0, 2 x ，使得，即, ,，令， ,， 3 1 2 y， 故 3 1 2 a，答案为 3 1, 2
11、. 15 已知函数， 若对任意， 总存在， 使得 成立，则实数 的值为_ 【答案】 【解析】 不等式可化为： 若对任意，总存在，使得成立， 则： 当时，的最大值为： 当时，的最大值为： 最小值为： 所以可化为：，解得：. 故： 16 己知实数x，y，z0， 4， 如果x2，y2，z2是公差为 2 的等差数列， 则的最小值为_ 【答案】42 【解析】 由于数列是递增的等差数列，故，且，故， ，而函数在上为增函数，故当时取得最大值为，所以 . 17设函数（） 若存在，使， 则 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 存在, 使， ， 当时, , 在上单调递减； 当时,， 在上单调递减，在上单调递增；
12、当时， 在上单调递增， (1) 若，即时，在上单调递增, , 解得； (2)若，即时，在上单调递减， 在上单调递增， ， 解得， 综上， 的取值范围是，故答案为. 18已知函数（ 是自然对数的底）.若函数的最小值是 ，则实数 的取值范围为 _ 【答案】 【解析】 当时， （当且仅当时取等号） ，当时， ，因此 19已知函数，则最大值是_ 【答案】 【解析】分析 ： 分x=0 和x0 两种情况讨论当x0 时，利用换元法将问题转化为求函数在区 间上的最值的问题处理，进而可得所求的最大值 详解：当x=0 时，； 当x0 时，由， 令，由得，则， 由于在上单调递减，所以， 此时x，所以f(x) 故f(
13、x)的最大值为 20选修 4-5：不等式选讲 已知函数. （I）求函数的最大值； （）若，求实数 的取值范围. 【答案】(I) 最大值为 1. () 【解析】 解：（）函数可化为， 由， 即时“=”成立， 所以原函数取得最大值为 1. （）函数在上单调递增， ， ， 即， 所以， . 即实数 的取值范围是. 21已知函数（且）. （1）讨论函数的单调性； （2）若，讨论函数在区间上的最值. 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】 （1）函数的定义域是. . 当时，令，得；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，令，得；令，得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单
14、调递增. （2）由（1）得，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 当，即时，函数在区间上单调递减，所以函数在上的最大值为 ，最小值为； 当，即时，函数在区间上单调递增，所以函数在上的最大值为 ，最小值为； 当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数 在上的最小值为. 最大值为与中的较大者.下面比较与的大小： 因为， 令，得，化简得， 解得.因为，且， 所以. 所以当时，函数在上的最大值为； 当时，函数在上的最大值为； 当时，函数在上的最大值为 . 综上，当时，函数在上的最大值为，最小值为； 当时，函数在上的最大值为；最小值为 ； 当时，函数在上的最大值为，最小值为；
15、当时，函数在上的最大值为，最小值为. 22选修 4-5：不等式选讲 设的最小值为k. （1）求实数k的值； （2）设m，nR，求证：. 【答案】 （1）2k ；（2）见详解. 【解析】 （1） 当1x 时， f x取得最小值，即. （2）证明：依题意，则. 所以 22 11 1mn ， 当且仅当，即 2 2m ， 2 0n 时，等号成立. 所以. 23已知函数 f x的图像在a b，上连续不断，定义： （xa b，），（xa b，）， 其 中 表示函数 f x在D上的最小值，表示函数 f x在D上的最大 值， 若存在最小正整数k， 使得对任意的xa b，成立， 则称函数 f x为a b， 上的
16、“k阶收缩函数”. （1）若， 0x，试写出 1 fx， 2 fx的表达式； （2）已知函数 2 f xx， 1 4x ，判断 f x是否为1 4 ，上的“k阶收缩函数” ，如果是，求出 对应的k，如果不是，请说明理由； （3）已知0b ，函数，是0 b，上的 2 阶收缩函数，求b的取值范围. 数学附加题 【答案】(1)， 0x， 2 1fx ， 0x，. (2) 16 3 k .即存在4k ，使得 f x 是1,4 上的“4 阶收缩函数”. (3) 【解析】试题分析 ： （1）根据 f x的最大值可求出 1 fx， 2 fx的解析式 ； （2）根据函数 2 f xx， 1 4x ，上的值域，
17、 先求出 1 fx， 2 fx的解析式， 再根据求 出 k 的取值范围得到答案.(3)先对函数 f x求导判断函数的单调性， 进而写出 1 fx， 2 fx的解析式， 然后再由求出 k 的取值范围. 试题解析： （1）由题意可得：， 0x， 2 1fx ， 0x，. （2）， 当1 0x ，时，1kx ， 2k ； 当0 1x，时， 11k x， 1 1 k x ，1k ； 当1 4x ，时， 2 1 x k x ， 16 5 k 综上所述， 16 5 k .即存在4k ，使得 f x是1 4 ，上的“4 阶收缩函数”. （3），令 0fx得0x 或2x .函数 f x的变化情况如下： x0，
18、00 2，22 ， fx 00 f x04 令 0f x 得0x 或3x . （1） 当2b 时， f x在0 b，上单调递增， 因此，. 因 为是0 b，上的“二阶收缩函数” ，所以， ，对0xb，恒成立； 存在0xb，使得成立. 即：对0xb，恒成立，由解得01x或2x . 要使对0xb，恒成立，需且只需01b. 即：存在0xb，使得成立. 由解得0x 或.所以，只需 35 2 b . 综合可得 （2）当23b时， f x在0 2，上单调递增，在2 b，上单调递减，因此， ， 0xx， 显然当0x 时，不成立， （3）当3b 时， f x在0 2，上单调递增，在2 b，上单调递减，因此，
19、， 0xx，显然当0x 时， 不成立. 综合（1） （2） （3）可得：. 24已知 f(x)，x1，)。 (1)当 a 时，求函数 f(x)的最小值； (2)若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围。 【答案】 ； 【解析】 (1)当a 时，f(x)x 2，任取 1x1x2， 则f(x1)f(x2)(x1x2)， 1x1x2，x1x21，2x1x210. 又x1x20，f(x1)f(x2)， f(x)在1，)上是增函数， f(x)在1，)上的最小值为f(1) . (2)在区间1，)上，f(x)恒成立， 则等价于a大于函数(x)(x22x)在1，)上的最大值 只需求函数
20、(x)(x22x)在1，)上的最大值 (x)(x1)21 在1，)上递减， 当x1 时，(x)最大值为(1)3. a3，故实数a的取值范围是(3，). 25已知函数，其中Ra. （1）当0a 时，求函数 g x的值域； （2）若对任意0,2x，均有 2f x ，求a的取值范围； （3）当0a 时，设，若 h x的最小值为 7 2 ，求实数a的值. 【答案】 （1）4,;(2);(3) 1 2 a . 【解析】 （1）当0a 时， 因为20 x ， 所以， g x的值域为4, （2）若0x ， aR 若0,2x时， 2f x 可化为 即，所以 因为 1 yx x 在0,2为递增函数，所以函数 1
21、 yx x 的最大值为 3 2 ， 因为（当且仅当 3 x x ，即3x 取“” ） 所以a的取值范围是. （3）因为当xa时， 令2xt ， 0,2 a t ，则 ， 当xa时，即 2 2 2 a a ，； 当xa时，即， 因为0a ，所以 2 a a，. 若 7 44 2 a ， 1 2 a ，此时， 若 2 7 1 42 a ，即3 2a ，此时，所以实数 1 2 a . 26已知函数， 0,1x （1）求 f x的最小值； （2）若 求证： 【答案】 （1）；（2）证明过程如解析 【解析】 解：（1）， 令 当 1 0, 2 x 时， 0fx；当 1 ,1 2 x 时， 0fx 所以，
22、 （2）由1abc，得， 1 b a ， 由（1） ，当0,1x， 所以， ， （*） 因为0,1a，由（1） ， 所以， 由（*） （*） ， 所以， 点睛：解答本题的第一问时，先对函数， 0,1x求导，求出导函数的零 点（极值点） 1 2 x ，再求出其最小值；第二问的证明过程是：先借助（1）的结论证得当0,1x， ，然后分析推证 1 b a 出，再运用 ，即 ，也即 同理可证 进而 证得，故所证不等式成立。 27已知函数. （1）设0c . 若ab，曲线 yf x在 0 xx处的切线过点1,0，求 0 x的值； 若ab，求 f x在区间0,1上的最大值. （2）设 f x在 1 xx，
23、2 xx两处取得极值，求证： 11 f xx， 22 f xx不同时成立. 【答案】 （1） 0 0x 或 0 1x . f x的最大值为 0.（2）见解析. 【解析】 （1）根据题意，在中，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点01 ，代入即求出 0 x的值，在 中，通过函数的导数来研究其单调性，并求出其极值，再比较端点值，从而求出最大值；（2）由题意可采 用反证法进行证明，假设问题成立，再利用函数的导数来判断函数的单调性，证明其结果与假设产生矛盾， 从而问题可得证. 试题解析：（1）当0c 时，. 若ab，则， 从而， 故曲线 yf x在 0 xx处的切线方程为. 将点1,0代入上式并整理
24、得， 解得 0 0x 或 0 1x . 若ab，则令，解得0x 或 2 1 3 b x a . （）若0b ，则当0,1x时， 0fx ， 所以 f x为区间0,1上的增函数， 从而 f x的最大值为 10f. （ii）若0b ，列表： 所以 f x的最大值为 10f. 综上， f x的最大值为 0. （2）假设存在实数, ,a b c，使得 11 f xx与 22 f xx同时成立. 不妨设 12 xx，则. 因为 1 xx， 2 xx为 f x的两个极值点， 所以. 因为0a ，所以当 12 ,xx x时， 0fx ， 故 f x为区间 12 ,x x上的减函数， 从而，这与矛盾， 故假设不成立. 既不存在实数a， b， c，使得 11 f xx， 22 f xx同时成立.