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1、考点 23 平面向量的概念及其线性运算考点 23 平面向量的概念及其线性运算 1 （2019 届高三第三次联考）已知向量( ,1)ax ，(4, 2)b ，若a b ，则a b _. 【答案】5 【解析】 由a b ，得24x，即2x ，则(2, 1)ab ，所以5ab . 2 （江苏省苏州市 2019 届高三高考模拟最后一卷）如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为 3 的一段圆弧 AB 上 一点， 2ABBC ，则PC PA 的最小值为_ 【答案】52 13 【解析】 设圆心为 O,AB 中点为 D, 由题得2 2 sin2,3 6 ABAC . 取 AC 中点 M，由题得 2PAPCPM
2、PCPAAC , 两方程平方相减得 22219 44 PC PAPMACPM ， 要使PC PA 取最小值，就是 PM 最小， 当圆弧 AB 的圆心与点 P、M 共线时，PM 最小. 此时 DM= 2 2 1113 ,( )3 222 DM, 所以 PM 有最小值为 2 13 2 ， 代入求得PC PA 的最小值为 52 13 故答案为：52 13 3（江苏省南通市 2019 届高三年级阶段性学情联合调研） 设， 向量 ， ， 若 ，则的最小值为_ 【答案】9 【解析】因为 ， 所以 4x+（1x）y=0， 又 x0，y0， 所以 + =1， 故 x+y=（ + ） （x+y）=5+ +9 当
3、 =， + =1 同时成立，即 x=3，y=6 时，等号成立 （x+y）min=9 故答案为：9 4（江苏省清江中学 2019 届高三第二次教学质量调研） 在平面四边形 ABCD 中， 若 E 为 BC 的中点， AE2， DE 3，则 _ 【答案】-5 【解析】 = 故答案为：-5. 5 （江苏省南通市 2018 届高三最后一卷）在中，且，设 是平面上的 一点，则的最小值是_ 【答案】. 【解析】 由，且，得， 如图， 以 为坐标原点，为 轴建立直角坐标系， 则，设点 的坐标为， 则 ， 即的最小值是，故答案为. 6 （江苏省南京师大附中 2018 届高三高考考前模拟考试） 已知直线 与圆交
4、于不同的 两点A，B若O是坐标原点，且 ，则实数 的取值范围是_. 【答案】 【解析】 设 AB 的中点为 D， 则,故即， 再由直线与圆的弦长公式可得 ： AB2= ，（d为圆心到直线的距离） ， 又直线与圆相交故d0),则B(7m,24m)， =(1 , 0)， =(1+7m,24m)， =(1+7m)2+(24m)2=625m214m+1， 当 时,有最小值,最小值为 ， 故的最小值是 . 14 （江苏省淮安市淮海中学 2017 届高三下学期第二次阶段性测试）已知定点( 1,0)A ，(2,0)B，圆C： 22 22 330xyxy. （1）过点B向圆C引切线l，求切线l的方程； （2）
5、过点A作直线 1 l交圆C于P，Q，且AP PQ ，求直线 1 l的斜率； （3）定点M，N在直线 2: 1lx 上，对于圆C上任意一点R都满足 3RNRM ，试求M，N两点的 坐标. 【答案】 （1）x2 或32 30xy（2） 311 3 315 k 或 （3） 4 32 3 (1),(12 3)(1),(10) 33 MNMN，或， 【解析】 解：(1)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x2 符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x2) 即 kxy2k0. 若直线 l 与圆 C 相切，则有 2 k3 1 1k ，解得 k3， 直线 l：3xy2 30 故直线
6、 l 的方程为 x2 或3xy2 30 （2）设 11 P x ,y，由AP PQ 知点 P 是 AQ 的中点，所以点 Q 的坐标为 11 2x1,2y . 由于两点 P,Q 均在圆 C 上，故 22 1111 xy2x2 3y30 ， 22 1111 2x12y2 2x12 3 2y30又，即 22 111 1 xy3y0 2 ， 得 11 5 2x3y0 2 ， 由解得 1 1 1 x 2 3 y 2 或 1 1 1 x 14 11 3 y 14 ， 311 3 k 315 或 (其他方法类似给分) （3）设 11 M 1,a ,N 1,b ,R x ,y ，则 2 2 11 x1y31
7、又 22 3RMRN 得 222 111 2 x1yb3 ya ， 由、得 22 1 6a2b4 3 yb3a40 ， 由于关于 1 y 的方程有无数组解，所以 22 624 30 b3a40 ab ， 解得 4 3 2 3 3 3 0 2 3 a a b b 或 所以满足条件的定点有两组 4 32 3 M 1,N 12 3M 1,N 10 33 ，或， 15 （江苏省南通市 2018 届高三最后一卷）如图，已知圆 的方程为，过点的直线 与圆 交于点，与 轴交于点 ，设，求证：为定值. 【答案】证明见解析. 【解析】 当与 轴垂直时，此时点 与点 重合， 从而，. 当点 与点 不重合时，直线的
8、斜率存在. 设直线的方程为， 则. 由题设，得，即. 所以 将代入，得， 则， 所以 综上，为定值 . 16 （江苏省常州市 2018 届高三上学期武进区高中数学期中试卷）在平面直角坐标系xOy中，已知点 1,0A ， 1,1B， 2,0C，点P是平面直角坐标系xOy上一点，且OPmABnAC （m， Rn） ， 若1m ，且OP / / BC ，试求实数n的值； 若点P在ABC三边围成的区域(含边界)上，求3mn的最大值 【答案】1n (2) 2 【解析】试题分析：（1）直接利用向量的线性运算求出对应的值 （2）利用线性规划问题求出对应的结果 试题解析： 由题设知： 2,1AB ， 3,0A
9、C ， 1m ， 2,13,023 ,1OPABnACnn ， 又|OPBC ， 1, 1BC ， 231n ，得1n ， 所以，满足题意的实数1n . (2)设,P x y， 2,13,023 ,OPmABnACmnmn mx y ， 23 mnx my ， 2 3 xy n my ， 3mnxy， 令zxy，由图知， 当直线yxz过点2,0C时， z取得最大值2， 故3mn的最大值为2. 17 （江苏省淮安市盱眙中学 2018 届高三第一次学情调研测试）如图，两块直角三角板拼在一起，已知 45ABC ， 60BCD （1）若记,ABa ACb ，试用, a b 表示向量,AD CD ； （2）若2AB ，求AE CD 【答案】 （1） 31ab ；（2）82 3. 【解析】 （1） ）33ADABBDABACab , 331CDADACabbab , （2） 1 3 AEAC EDBD 1 31 AE AD , 11 3 3131 AEADab , AE CD 1 3 31 ab (31)ab 22 1 2 3133 31 aa bb , 又 22 4,2,2aba b AE CD 82 3.