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1、第2课时 对数函数性质的应用,1.理解对数函数的单调性,并能利用单调性比较大小、求最值或值域、解不等式. 2.初步掌握对数函数在生活中的应用. 3.知道对数函数和指数函数互为反函数.,1.对数函数的图象和性质 对数函数y=logax(a0,且a1)的图象和性质如下表所示:,【做一做1-1】 已知函数f(x)=logax在区间(0,+)内是减函数,则a的取值范围是( ) A.(0,+) B.(-,1) C.(0,1) D.(1,+) 答案:C 【做一做1-2】 函数f(x)=log2x在区间1,8上的值域是( ) A.R B.0,+) C.(-,3 D.0,3 解析:函数f(x)=log2x在区
2、间1,8上是增函数,故f(1)f(x)f(8),即0f(x)3. 答案:D,2.对数函数的反函数 对数函数y=logax(a0,且a1)的反函数是y=ax(a0,且a1). 【做一做2】 函数y=3x的反函数是( ) A.y=x3 B.y=logx3 C.y=log3x D.y=lg x 答案:C,2.底数对对数函数图象的影响 剖析在同一平面直角坐标系中画出以下各组函数的图象,观察并写出你的发现. (1)y=log2x,y=log3x,y=log4x,y=lg x,如图所示.,观察结果:对于第一组:y=log2x,y=log3x,y=log4x,y=lg x,其图象的共同特征是上升的;对于第二
3、组,其图象的共同特征是下降的. 结论:当a1时,从左往右看图象是上升的,自变量x越大,函数值y就越大;当x(0,1)时,y0;自变量取同一值时,底数a越大,图象就越接近x轴,即当k1时,有log2klog3klog4klg k;当00,当x(1,+)时,y0;自变量取同一值时,底,题型一,题型二,题型三,比较大小 【例1】 比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32; (3)loga,loga3.141(a0,且a1). 分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较; (2)分别比较两对数与0的大小; (3)分类讨论底数a的取
4、值范围.,题型四,题型一,题型二,题型三,解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在区间(0,+)内是增函数,由于1.9log21=0,log0.32log0.32. (3)(分类讨论)当a1时,函数y=logax在定义域上是增函数,则有logaloga3.141; 当01时,logaloga3.141; 当0a1时,logaloga3.141.,题型四,题型一,题型二,题型三,反思比较两个对数值大小的方法:(1)单调性法:当底数相同时,构造对数函数利用其单调性来比较大小;(2)中间量法:当底数和真数都不相同时,通常借助中间量(如-1,0,1)来比较大小;(3)分类讨论法:当底数与1的大
5、小关系不确定时,要对底数分类讨论.,题型四,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 已知实数a=log0.23,b=log0.30.2,c=log32,则a,b,c的大小关系为( ) A.blog0.30.3=1, c=log32log31=0.acb. 答案:D,题型四,题型一,题型二,题型三,解不等式 【例2】 (1)解不等式:log2(2x-1)log2(-x+5).,分析:利用对数函数的单调性,将对数的大小比较转化为真数的大小比较,注意真数大于0.,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思对数不等式有三种常见类型: (1)形如logaxlogab(a
6、0,且a1,b0)的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0b(a0,且a1)的不等式,应将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解. (3)形如logaf(x)logbg(x)的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值,利用对数函数的单调性来去掉对数符号,同时应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 (1)不等式log2x1的解集为 ;,解析:(1)log2x1,log2xlog22,原不等式的解集为(0,2).,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,对
7、数型函数的值域与最值 【例3】 求下列函数的值域:,分析:先求出函数的定义域,再求出真数的范围,根据对数函数的单调性求出函数的值域. 解:(1)y=log2(x2+4)的定义域是R. 因为x2+44,所以log2(x2+4)log24=2. 所以y=log2(x2+4)的值域为2,+).,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)设u=3+2x-x2=-(x-1)2+44. 因为u0,所以0u4.,反思求函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响,结合函数的单调性求解,当函数中含有参数时,需讨论参数的取值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易混易错题 易错点 忽略对底
8、数的讨论致错 【例4】 已知函数y=logax(a0,且a1)在区间2,4上的最大值与最小值的差是1,求a的值. 错解因为函数y=logax(a0,且a1)在区间2,4上的最大值是loga4,最小值是loga2,错因分析:错解中误以为函数y=logax(a0,且a1)在区间2,4上是增函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:当a1时,函数y=logax在区间2,4上是增函数, 所以loga4-loga2=1,当0a1时,函数y=logax在区间2,4上是减函数, 所以loga2-loga4=1,反思在解决底数中含字母的对数函数问题时,要注意对底数进行分类讨论,一般考虑a1与00,且a1)的单调性的影响就会出现漏解或错解.,题型一,题型二,题型三,题型四,答案:A,