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1、2.1 曲线与方程,1.了解曲线与方程的对应关系,理解曲线的方程、方程的曲线的概念. 2.了解解析几何研究的主要问题,掌握求曲线的方程的方法与步骤.,1.曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 名师点拨如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0. 【做一做1】 已知圆C:(x-2
2、)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,则点M(4,-1)( ) A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上 C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上 答案:C,2.解析几何所研究的主要问题 (1)根据已知条件,求出表示曲线的方程. (2)通过曲线的方程,研究曲线的性质. 【做一做2】 曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=0与x轴的交点坐标是 . 解析:由题意知y=0,则x2-3x-4=0,解得x1=4,x2=-1. 故交点坐标为(4,0),(-1,0). 答案:(4,0),(-1,0),3.求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系,用
3、有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件p的点M的集合P=M|p(M); (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 【做一做3】已知动点P到点(1,-2)的距离为3,则动点P的轨迹方程是( ) A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9 C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3 解析:根据圆的定义可知,点P轨迹为以(1,-2)为圆心,以3为半径的圆. 答案:B,1.对曲线与方程的定义的理解 剖析:(1)定
4、义中的第一条“曲线上点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性). (2)定义中的第二条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,阐明符合条件的以方程的解为坐标的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性). (3)定义的实质是平面曲线的点集M|p(M)和方程f(x,y)=0的解集(x,y)|f(x,y)=0之间的一一对应关系.由曲线和方程的这一对应关系,既可以求出曲线的方程,又可以通过方程研究曲线的性质.,2.求曲线方程的常用方法 剖析:(1)直接法:建立适当的平面直角坐标系后,设动点坐标为(x,y),根据几何条件寻求x,y
5、之间的关系式. (2)定义法:若所给几何条件正好符合圆等曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. (3)相关点法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,用所求动点的坐标(x,y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得动点坐标(x,y)所满足的关系式,从而确定曲线方程.,题型一,题型二,题型三,曲线的方程与方程的曲线的概念辨析 【例1】已知设方程f(x,y)=0的解集非空,若命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下列命题正确的是( ) A.坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐
6、标都不满足方程f(x,y)=0 C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上 D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足方程f(x,y)=0 解析:命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,即“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的,“不都在”包括“都不在”和“有的在,有的不在”这两种情况,故选项A,C错;而选项B显然错;故选D. 答案:D,题型一,题型二,题型三,反思本题一是要正确理解“不都在”的含义,二是要把握曲线与方程的关系.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 判断下列命题的正误,并说明理由: (1)过点A(2,0)且平行
7、于y轴的直线l的方程为|x|=2; (2)到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是y=x. 解:(1)不正确.过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程是x=2.直线l上的点的坐标都是方程|x|=2的解,而以|x|=2的解为坐标的点不全在直线l上. (2)不正确.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹是第一、第三象限的角平分线(y=x)和第二、第四象限的角平分线(y=-x).以方程y=x的解为坐标的点都在到两坐标轴的距离相等的直线上,而到两坐标轴的距离相等的点的坐标不全是方程y=x的解.,题型一,题型二,题型三,求曲线的方程 【例2】 已知圆C:x2+(y-3)2=9,过原点作圆C的弦OP,求OP的中点Q
8、的轨迹方程. 分析:解答本题可用三种方法:直接法,定义法,代入法.在解题过程中,应注意自变量的取值范围. 解法一:(直接法)如图,因为Q是OP的中点, 所以OQC=90. 设Q(x,y)(y0),由题意,得|OQ|2+|QC|2=|OC|2, 即x2+y2+x2+(y-3)2=9,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思求曲线的方程的常用方法有三种:一是直接法;二是定义法;三是相关点法(又称为代入法).在解题时,我们可以根据题目的不同特点选择最合适的方法.求曲线方程的过程中要特别注意题目中隐含的限制条件.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 已知一曲线是到两个点O(0,0),A
9、(3,0)距离之比为12的点的轨迹,求这条曲线的方程.,化简,得x2+2x+y2-3=0. 故这条曲线的方程为x2+2x+y2-3=0.,题型一,题型二,题型三,点M的轨迹方程是x2+y2=a2. 错因分析:上述解法中思路是正确的,但忽视了斜率kMA,kMB存在的前提xa.,易错点 忽视斜率存在的前提致错 【例3】 设A,B两点的坐标分别是(-a,0),(a,0),若动点M满足kMAkMB=-1,求动点M的轨迹方程. 错解设M(x,y),kMAkMB=-1,题型一,题型二,题型三,正解:设M(x,y).kMA和kMB存在, xa. 整理得x2+y2=a2, 故点M的轨迹方程是x2+y2=a2(xa).,