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1、1.2 充分条件与必要条件,1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义. 2.会判断p是不是q的充分条件、必要条件、充要条件.,1.一般地,“若p,则q”为真命题,即由pq,就说p是q的充分条件,q是p的必要条件. 名师点拨根据充分条件与必要条件的定义,以下几种说法是等价的:(1)pq;(2)p是q的充分条件;(3)q是p的必要条件;(4)q的充分条件是p;(5)p的必要条件是q.,2.一般地,如果既有pq,又有qp,就记作pq. 此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件. 概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件. 名师点拨1.p与q互为充要条件可以理解为“p成立当且仅当q成立”或
2、者“p等价于q”. 2.p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”. 3.要判断p是不是q的充要条件,需要进行两次判断:一是看p能否推出q,二是看q能否推出p.若p能推出q,q也能推出p,就可以说p是q的充要条件.否则,不能说p是q的充要条件.,【做一做1】 “|x|=|y|”是“x=y”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若x=1,y=-1,则|x|=|y|,但xy;而x=y|x|=|y|. 答案:B 【做一做2】 已知a,b是实数,则“a0,且b0”是“a+b0,且ab0”的( ) A.充分不必要条件
3、 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:对于“a0,且b0”可以推出“a+b0,且ab0”,反之也是成立的. 答案:C,答案:充分不必要,1.从逻辑关系和集合关系上看充分条件、必要条件和充要条件的意义 剖析:(1)从逻辑关系上看:,例如,“若x0,则x20”,即由x0可推出x20,记作x0x20,我们说“x0”是“x20”的充分条件,即只要“x0”成立,就一定有“x20”成立. p是q的充分条件,“充分”的意思是:要使q成立,条件p成立就足够了,即有p成立,可充分保证q成立. 由x0x20, 则说“x20”是“x0”的必要条件,即如果要“x0”成立,就必须“x20”
4、成立.如果缺少“x20”就不会有x0,换句话说,如果“x20”不成立,即“x2=0”成立,就不会有“x0”成立. qp的逆否命题是p q,即“若p不成立,则q就不成立”,换句话说,缺少了p,q是不会成立的.这更能从字面的意思上理解必要条件.,(2)从集合与集合之间的关系上看: 如果命题p,q分别以集合A=x|p(x),集合B=x|q(x)的形式出现,那么p,q之间的关系可借助集合知识来判断.,例如,A=中学生,B=学生,AB,即某人是中学生,必是学生,故“某人是中学生”是“某人是学生”的充分条件,若“某人是学生”,则他不一定是中学生,而“某人不是学生”,则他一定不是中学生,所以“某人是学生”是
5、“某人是中学生”的必要条件,如图所示.,2.两种不同叙述形式下条件、结论与推出关系的对比 剖析,3.判断充分条件、必要条件、充要条件的方法和应注意的问题 剖析:(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要采用以下方法: 确定条件p是什么,结论q是什么; 尝试从条件推结论,若pq,则充分性成立,p是q的充分条件; 考虑从结论推条件,若qp,则q是p的充分条件,即p是q的必要条件,必要性成立; 要证明命题的条件是充要的,既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题成立即证明条件是结论成立的充分条件,证
6、明逆命题成立即证明条件是结论成立的必要条件.,(2)对于充要条件,要熟悉它的同义词语 在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言,对理解和把握数学知识十分重要.,题型一,题型二,题型三,题型四,充分条件、必要条件和充要条件的判断,A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解,答案:A,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.判断p是q的什么条件,主要是判断pq及qp这两个命题是否成立,若pq成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条
7、件;若qp成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件. 2.关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断pq及qp的真假时,也可以从集合角度去判断.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 若a,bR,则“(a-b)a20,则ab. 因此,充分性成立. 综上可得“(a-b)a20”是“ab”的充分不必要条件. 答案:A,题型一,题型二,题型三,题型四,充分条件、必要条件、充要条件的应用,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,常利用命题的等价性进行转化,从集合的
8、包含、相等关系来考虑制约关系.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 把例2(2)中“且p是q的充分条件”改为“且p是q的必要条件”,求实数m的取值范围. 解:|f(x)-m|2, m-2f(x)m+2. 又p是q的必要条件,题型一,题型二,题型三,题型四,充要条件的证明 【例3】 已知ab0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 证明:必要性: a+b=1,a+b-1=0, a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2) =(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 充分性: a3+b3+ab-a2-b2=0, (a+b-
9、1)(a2-ab+b2)=0. 又ab0,a0,且b0.,a+b-1=0,即a+b=1. 综上可知,当ab0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件.由“条件”“结论”是证明命题的充分性,由“结论”“条件”是证明命题的必要性.证明过程要分两个环节:一是证明充分性;二是证明必要性,要搞清它的叙述格式,避免在论证时将充分性错当必要性证明或将必要性错当充分性证明.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是
10、a+b+c=0. 证明:必要性: 方程ax2+bx+c=0有一个根为1, x=1满足方程ax2+bx+c=0. a12+b1+c=0,即a+b+c=0. 充分性: a+b+c=0, c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0, 即(x-1)(ax+a+b)=0. 故方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 综上可知,方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点 混淆充分性与必要性致错,A.m0,n0 B.mn0,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析p的必要不充分条件是q,即q是p的必要不充分条件,则q p,且pq,故本题应是题干选项,而选项 题干,选项A为充要条件.,由题意可得,m0,n0可以推出选项条件,而反之不成立,所以选D. 答案:D,