《2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3课件：2.3.2 离散型随机变量的方差 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3课件：2.3.2 离散型随机变量的方差 .pptx（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.3.2 离散型随机变量的方差,1.理解离散型随机变量的方差以及标准差的意义,会根据分布列求方差和标准差. 2.掌握方差的性质,两点分布、二项分布的方差的求解公式,会利用公式求它们的方差.,1,2,1.离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小. (3)D(aX+b)=a2D(X).,1,2,知识拓展离散型随机变量的分布列、均值和方差都是从整体上描述随机变量的.离散型随机变量的分布列反映了随机变量取各个值的可能性的大小,均值则反映了随机变量取值的平均水平.
2、在实际问题中仅靠均值还不能完善地说明随机变量的特征,还必须研究变量取值的集中与分散状况,即要研究其偏离平均值的离散程度,这就需要求出方差.,1,2,【做一做1-1】 已知的分布列为 则D()等于( ) A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0 解析:E()=-10.5+00.3+10.2=-0.3,则D()=(-1+0.3)20.5+(0+0.3)20.3+(1+0.3)20.2=0.245+0.027+0.338=0.61. 答案:B 【做一做1-2】 若随机变量的方差D()=1,则D(2+1)的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:D(2+1)=4D()=4. 答案:C,
3、1,2,【做一做1-3】 已知随机变量X的分布列如下表所示,则X的方差为 . 解析:由条件知,x=0.5. E(X)=10.4+30.1+50.5=3.2, 所以D(X)=(1-3.2)20.4+(3-3.2)20.1+(5-3.2)20.5=3.56. 答案:3.56,1,2,2.两点分布、二项分布的方差 (1)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p). (2)若XB(n,p),则D(X)=np(1-p).,求离散型随机变量的方差的步骤是什么 剖析求离散型随机变量的方差常分为以下三步:列出随机变量的分布列;求出随机变量的均值;求出随机变量的方差. 【示例】 编号为1,2,3的三位学生随意入
4、座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设学生编号与其所坐座位编号相同的学生的个数是X,求D(X).,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.表示所取球的标号. (1)求的分布列、均值和方差; (2)若=a+b,E()=1,D()=11,试求a,b的值. 分析(1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列,再利用均值、方差的公式求解. (2)运用E()=aE()+b,D()=a2D()求a,b.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题
5、型二,题型三,题型四,反思求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布或二项分布):直接利用定义求解,具体如下: 求均值;求方差. (2)已知分布列是两点分布或二项分布型:直接套用公式求解,具体如下: 若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p). 若XB(n,p),则D(X)=np(1-p). (3)未知分布列型:求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列,再转化成(1)中的情况.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数. (1)求X的分布列; (2)求X的均值和方差; (3)求
6、“所选3人中女生人数X1”的概率. 解:(1)X的可能取值为0,1,2,X的分布列为,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)由(1)得,X的均值与方差为,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 已知的分布列为,(1)求的方差及标准差; (2)设Y=2-E(),求D(Y).,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)Y=2-E(), D(Y)=D(2-E() =22D()=4384=1 536. 反思对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(a+b)=a2D(),这样处理既避免了求随机变量=a+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程.,题型一,题型二,题型三,题型四
7、,【变式训练2】 已知随机变量的分布列为,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 有A,B两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下: A种:,B种: 其中XA,XB分别表示A,B两种钢筋的抗拉强度,在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120,试比较A,B两种钢筋哪一种质量好.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:由题意,得0.1+a+2a+0.1+0.2=1,0.1+0.2+0.4+0.1+b=1,解得a=0.2,b=0.2. 则XA,XB的分布列分别为,题型一,题型二,题型三,题型四,先比较它们的均值: E(XA)=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.
8、2=125, E(XB)=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125, 所以,它们的均值相同,再比较它们的方差: D(XA)=(110-125)20.1+(120-125)20.2+(125-125)20.4+(130-125)20.1+(135-125)20.2=50, D(XB)=(100-125)20.1+(115-125)20.2+(125-125)20.4+(130-125)20.1+(145-125)20.2=165. 因为D(XA)D(XB),所以A种钢筋质量较好. 反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.若均值相等,再比较方差
9、,方差较小的数据较稳定,质量较好.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量与,且,的分布列分别为 (1)求a,b的值; (2)计算,的均值与方差,并依此分析甲、乙的技术状况. 分析本题考查分布列性质,均值与方差的应用,比较技术水平、机器性能、产品质量,通常要同时考虑均值和方差.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:(1)由离散型随机变量分布列的性质,得a+0.1+0.6=1,解得a=0.3; 同理0.3+b+0.3=1,解得b=0.4. (2)E()=10.3+20.1+30.6=2.3, E()=10.3+20.4+30.3=2
10、; D()=(1-2.3)20.3+(2-2.3)20.1+(3-2.3)20.6=0.81, D()=(1-2)20.3+(2-2)20.4+(3-2)20.3=0.6. 由于E()E(),说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但D()D(),说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点:对方差性质掌握不准确致错 【例4】 已知随机变量X的分布列为 求E(X),D(X),D(-2X-3). 错解:E(X)=00.2+10.2+2a+30.2+40.1=1.2+2a, D(X)=0-(1.2
11、+2a)20.2+1-(1.2+2a)20.2+2-(1.2+2a)2a+3-(1.2+2a)20.2+4-(1.2+2a)20.1=(1.2+2a)20.2+(0.2+2a)20.2+(0.8-2a)2a+(1.8-2a)20.2+(2.8-2a)20.1,D(-2X-3)=-2D(X). 错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:0.2+0.2+a+0.2+0.1=1, a=0.3. E(X)=00.2+10.2+20.3+30.2+40.1=1.8. D(X)=(0-1.8)20.2+(1-1.8)20.2+(2-1.8)20.3+(3-1.8)20.2+(4-1.8)20.1=1.56. D(-2X-3)=4D(X)=6.24. 反思在求均值、方差时,要注意对随机变量分布列的性质及均值、方差性质的应用.,