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1、-1- 3.1.1 函数的概念函数的概念 首页 课前篇 自主预习 一二 一、函数的概念 1.(1)初中我们已经学习过函数的概念,它是如何用函数描述变量 之间的依赖关系的呢? 提示:在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值,相 应地就确定唯一的一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变 量,y是因变量. (2)教材P60中的问题1,你能得出列车运行0.1 h,0.2 h,0.5 h时列车 行进的路程吗?t的变化范围是多少?变量t与变量S之间有什么关系? 提示:列车运行0.1 h,0.2 h,0.5 h时列车行进的路程分别为35 km,70 km,175 km. 其中t的变化范围
2、是0t0.5.在t的变化范围内,任给一个t,按照 给定的关系式,都有唯一的一个路程S与之对应. 三 课前篇 自主预习 一二 (3)教材P61中的问题2与问题1有什么区别? 提示:两个问题中自变量的取值范围不同,从而因变量取值也不 相同. (4)教材P61中的问题3,你能从图中看出大约哪个时刻空气质量最 差吗?哪个时刻AQI的值大约为50? 提示:从图中可以看出,大约10:00时空气质量最差.大约8:00和 15:00这两个时刻AQI的值大约为50. (5)教材P61中的问题4,自变量的取值集合是什么? 提示:2 006,2 007,2 008,2 009,2 010,2 011,2 012,2
3、 013,2 014,2 015.这是一个数集. 三 课前篇 自主预习 一二 (6)由初中函数定义可知上述问题14都是函数,它们有哪些共同 特征? 提示:(1)每个问题中的变量均涉及两个非空数集,用A,B来表示; (2)两个数集间都有一种确定的对应关系,在此关系下,对于数集A 中任意一个x,数集B中都有唯一确定的数y和它对应. 2.填表 三 课前篇 自主预习 一二 3.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么? 提示:定义域A、对应关系f和值域f(x)|xA,共三个要素.起决定 作用的是函数对应关系和定义域,因为函数的值域由函数的定义域 和对应关系确定,当两个函数的定义域和对应关系
4、相同时,值域一 定相同. 4.在函数的定义中,值域与集合B有怎样的关系? 提示:值域是集合B的子集. 5.新的函数定义与传统的函数定义有什么异同? 提示:两个定义中的定义域与值域的意义完全相同;两个定义中 的对应关系实际上也一样,只不过叙述的出发点不同,初中的定义 是从运动变化的观点出发,新定义的对应关系是从集合与对应的观 点出发. 三 课前篇 自主预习 一二 6.判断正误: (1)对应关系与值域都相同的两个函数是相等函数.( ) (2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应. ( ) 答案:(1) (2) 三 课前篇 自主预习 一二 二、区间的概念及表示 1.阅读教材P64相关内
5、容,关于区间的概念,请填写下表: 设a,bR,且aa,xa,x1,且x2用区间表示为 ; (3)x|x1,且x2用区间表示为(1,2)(2,+). 答案:(1)(2,4 (2)(1,2)(2,+) (3)(-,-3)10,+) 三 课前篇 自主预习 一二三 三、同一个函数 1.(1)一个函数有自变量和因变量两个变量,两个变量和对应关系 可以用任意的字母表示,如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2a等,那么,不同的字 母表示对两个函数是否为同一个函数有影响吗? 提示:自变量、因变量和对应关系用什么字母表示与函数无关, 不影响两个函数的关系. 如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2
6、a,只要自变量取值范围相同,它们就是同 一个函数. 课前篇 自主预习 一二三 (2)如何理解“当两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致 时,两个函数才是同一个函数”这句话? 提示:这句话说明:(1)定义域不同,两个函数也就不同;(2)对应关系 不同,两个函数也就不相同;(3)即使定义域和值域都分别相同的两 个函数,它们也不一定是同一个函数.例如:函数y=2x和函数y=x-1, 其定义域都是R,值域都是R.但它们的对应关系是不同的,因此这两 个函数不是同一个函数. 2.填空 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的 自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 课前
7、篇 自主预习 一二三 3.做一做 已知函数f(x)=|x|,则下列哪个函数与y=f(x)表示同一个函数( ) 答案:B 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 函数函数的定义的定义 例例1下列对应是实数集R到R上的一个函数的是 .(只 填序号) 答案: 反思感悟反思感悟 结合函数的定义,对集合A中任意一个x,判断在集合B 中是否有唯一确定的y值与之对应. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 变式训练 1集合A=x|0x4,B=y|0y2,下列不表示从A 到B的函数的是( ) 答案:C 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四思想方法 区间区间 例3
8、已知集合A=x|5-x0,集合B=x|x|-30,则AB用区间可 表示为 . 解析:A=x|5-x0,A=x|x5. B=x|x|-30,B=x|x3. AB=x|x0对xR恒成立,有a=b=0,c0或a0 时,=b2-4ac0. (2)ax2+bx+c0对xR恒成立,有a=b=0,c0或a0时,=b2-4ac0. (3)ax2+bx+c=0无实根,有a=0时,b=0,c0或a0时,0. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 解析:原问题化为ax2-x+a0对xR恒成立问题. (1)当a=0时,显然不合题意. (2)当a0时,只需0即可,即(-1)2-4a20,解得 答案
9、:B 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 A.(-,+)B.(-,-1 C.(-1,+)D.-1,0)(0,+) 解析:要使函数有意义,则 解得f(x)的定义域为- 1,0)(0,+).故选D. 答案:D 2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是( ) 解析:对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应 关系不同. 答案:ACD 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 3.(1)函数y=2x+1,x(-1,1的值域是 .(用区间表示) (2)函数y=x2+x+2,xR的值域是 .(用区间表示) (1)求f(x)的定义域; (2)求f(-1),f(2)的值; (3)当a-1时,求f(a+1)的值. 解:(1)要使函数f(x)有意义,必须使x0, 故f(x)的定义域是(-,0)(0,+).