《2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：1.3.1 函数的单调性与导数 Word版含解析.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：1.3.1 函数的单调性与导数 Word版含解析.pptx（25页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.3.1 函数的单调性与导数,1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).,1.一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. 名师点拨用曲线的切线的斜率来理解单调性与导函数的关系:当导数大于0时,切线的斜率为正,切线的倾斜角小于90,函数曲线呈向上增加状态;当导数小于0时,切线的斜率为负,切线的倾斜角大于90且小于180,函数曲线呈向下减少状态. 【
2、做一做1-1】 若函数f(x)的导数f(x)=x(x-2),则f(x)在区间 内单调递减. 解析:令f(x)=x(x-2)0,解得0x2,所以f(x)在区间(0,2)内单调递减. 答案:(0,2),f(x)0,所以f(x)在(0,1)内单调递增,故选A. 答案:A,2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.,名师点拨通过函数的图象,不仅可以看出函数的单调性,还可以看出函数变化的快慢. “函数变化的快慢与其导数的关系”如下:,【做一做2】 若函数y=f(x)的导函数在区间a,b
3、上单调递增,则函数y=f(x)在区间a,b上的图象可能是( ),解析:因为y=f(x)的导函数在区间a,b上是增函数,所以从左到右函数f(x)图象上的点处的切线斜率是递增的. 答案:A,1.如何理解函数的单调性与导数的关系? 剖析(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时,先要确定函数的定义域,再在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. (2)一般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间. (3)若函数在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)在此区间内为常数函数.如f(x)=3,则f(x)=3=0. (4)利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数在研究曲线变化规律中的一个应用,它充分体现
4、了数形结合思想. 名师点拨对于可导函数f(x)来说,“f(x)0”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充分不必要条件,“f(x)0.,2.利用导数求函数单调区间的步骤及注意的问题是什么? 剖析(1)利用导数求函数单调区间的步骤: 确定函数的定义域; 求导数f(x); 在定义域内,解不等式f(x)0得到函数的递增区间;解不等式f(x)0得到函数的递减区间. (2)注意的问题: 在利用导数求函数单调区间时,首先必须求出函数的定义域,然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间,否则容易导致错误. 当一个函数的递增区间(或递减区间)有多个时,这些区间之间不能用并集符号“”连接,也不能用“或”连接,而
5、只能用“,”或“和”连接.,3.已知函数的单调性,如何求参数的取值范围? 剖析“f(x)0(或f(x)0)”是“函数单调递增(或单调递减)”的充分条件,但这个条件并不是必要的.在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)内单调递增(或单调递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)恒成立,且f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,函数f(x)在区间上的单调性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只是这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.因此,在已知函数f(x)单调递增(或单调递减)的条件下求参数的取值范围时,应令f(x)0(或f(
6、x)0)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解),然后检验参数的取值能否使f(x)在所给区间的任何一个子区间内不恒为零,从而求得参数的取值范围.,4.利用导数证明不等式的一般形式和步骤是什么? 剖析(1)常见形式:已知x(a,b),求证:u(x)v(x). (2)证明步骤: 将所给的不等式移项,构造函数f(x)=u(x)-v(x),转化为证明函数f(x)0; 当x(a,b)时,判断f(x)的符号; 若f(x)0,说明f(x)在区间(a,b)内是增函数,只需将所给的区间的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)0;若f(x)0时,exx+1. 证明:令f(x
7、)=ex-(x+1),则f(x)=ex-1. 因为x0,所以f(x)0,即函数f(x)在(0,+)内单调递增,所以f(x)f(0)=0,故exx+1.,题型一,题型二,题型三,利用导数信息判别函数图象 【例1】 已知函数y=f(x)与其导数f(x)满足如下条件:,f(x)有唯一的一个负零点. 试画出函数y=f(x)的大致图象. 分析:根据函数y=f(x)在某个区间上导数f(x)的符号,可以得到函数y=f(x)的单调性,即函数y=f(x)图象的“上升下降”趋势,从而画出函数y=f(x)的大致图象.,题型一,题型二,题型三,由f(x)有唯一的一个负零点,可知f(x)=0有唯一的一个负实根. 综上可
8、知,函数f(x)图象的大致形状如图所示. 反思在研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时,要注意抓住各自的关键要素.对原函数,我们重点考察其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.f(x)在区间(-3,1)内单调递增 B.f(x)在区间(1,3)内单调递减 C.f(x)在区间(2,4)内单调递减 D.f(x)在区间(3,+)内单调递增 解析:由f(x)的
9、增减性与f(x)的正负之间的关系进行判断,当x(2,4)时,f(x)0,故f(x)在区间(2,4)内单调递减,其他判断均错,故选C. 答案:C,题型一,题型二,题型三,求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-x; (2)f(x)=3x2-2ln x; (3)f(x)=ex+kx(kR). 分析:解答本题需先确定函数的定义域,再对函数求导,求解不等式f(x)0,f(x)0,并与定义域求交集得到相应的单调区间.,题型一,题型二,题型三,解:(1)函数f(x)的定义域为R,题型一,题型二,题型三,(2)函数f(x)的定义域为(0,+),题型一,题型二,题型三,(3)
10、f(x)=ex+k. 当k0时,f(x)0,函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)无递减区间; 当k0,解得xln(-k);由f(x)=ex+k0(或f(x)0)直接得到函数f(x)的单调递增(或递减)区间. 2.当函数解析式中含有参数时,应注意对参数进行分类讨论求得函数的单调区间.,题型一,题型二,题型三,解:f(x)=-ax2+2x. 当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+).,综上所述,当a=0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+),单调递减区间为(-,0);,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,已知函数的单调性求参数的取值范
11、围,(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间1,4上单调递减,求a的取值范围. 分析:解答本题首先确定h(x)的定义域为(0,+). (1)h(x)存在单调递减区间,则h(x)0在区间(0,+)内有解. (2)h(x)在区间1,4上单调递减,即h(x)0在区间1,4上恒成立.,题型一,题型二,题型三,所以a-1.,题型一,题型二,题型三,(2)因为h(x)在区间1,4上单调递减,题型一,题型二,题型三,反思求解这类问题时,先由函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(递减)推出f(x)0(f(x)0)在区间(a,b)内恒成立,再利用分离参数或函数的性质求解恒成立问题,对等号成立可单独验证说明.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 若函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增,求a的取值范围. 解:f(x)=3ax2-2x+1. f(x)在R上单调递增, f(x)0在R上恒成立, 即3ax2-2x+10在R上恒成立.,