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1、本章整合,统计案例,专题一,专题二,专题一 回归分析的基本思想及其应用 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤是先画出两个变量的散点图,然后利用常见的函数模型去拟合样本点,拟合的效果如何常借助于R2去分析(或利用残差图去分析).,专题一,专题二,应用1下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据. (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,
2、预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:32.5+43+54+64.5=66.5),专题一,专题二,提示:画出散点图,再进行回归分析. 解:(1)由题意,作散点图如图.,专题一,专题二,专题一,专题二,应用2为研究质量x(单位:g)对弹簧长度y(单位:cm)的影响,对不同质量的6个物体进行测量,数据如表所示: (1)作出散点图并求回归直线方程; (2)求出R2并说明回归模型拟合的程度; (3)进行残差分析. 提示:本题考查残差分析,一般从以下几方面予以说明: (1)散点图;(2)相关系数;(3)R2;(4)残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄.,专题一,
3、专题二,专题一,专题二,(2)列表如下: (3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大,需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误,如果有的话,需要纠正数据,重新建立回归模型;由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中,说明选用的线性回归模型的精度较高.由以上分析可知,弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系.,专题一,专题二,专题二 独立性检验的思想及应用 独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法,要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造的随机变量K2应该很小,如果由
4、观测数据计算得到的K2的观测值k很大,那么在一定程度上说明假设不合理,根据随机变量K2的含义,可以通过概率P(K2k0)来评价该假设不合理的程度,由实际计算出的k,说明该假设不合理的程度,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度.,专题一,专题二,应用1某学校对高三学生作了一项调查发现:在平时的模拟考试中,性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张,性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张.作出等高条形图,利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系. 提示:本题考查独立性检验,作出22列联表,根据列联表数据作出等高条形图,对比乘积的差距判断两个分类变量是否有关系.,解:作
5、列联表如下:,专题一,专题二,相应的等高条形图如图所示: 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例,从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高,可以认为考前紧张与性格类型有关.,专题一,专题二,应用2考察小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系,经试验观察,得到数据如下表: 试分析能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为种子灭菌与小麦是否发生黑穗病有关.,专题一,专题二,提示:求出随机变量K2的观测值k进行判断. 解:由列联表所示数据可求K2的观测值为 由此可知,在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为种子灭菌与小麦是否发生黑穗病
6、有关系.,2,3,1,4,1(2017山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散,A.160 B.163 C.166 D.170,答案:C,2,3,1,4,2(2018全国高考)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.,2,3,1,4,为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量,(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?
7、并说明理由.,2,3,1,4,解:(1)利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为,利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为,2,3,1,4,(2)利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下: (i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋
8、势,利用2010年至,2,3,1,4,(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠. (以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可),2,3,1,4,3(2018全国高考改编)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎
9、叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.,2,3,1,4,(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:,(3)根据(2)中的列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两种生产方式的效率有差异?,2,3,1,4,解:(1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下: 由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成
10、生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.,2,3,1,4,由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任
11、务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可.,2,3,1,4,列联表如下:,2,3,1,4,4(2017全国高考改编)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:,2,3,1,4,(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为
12、箱产量与养殖方法有关; (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01). 附:,2,3,1,4,解:(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”. 由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C). 旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为 (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62, 故P(B)的估计值为0.62. 新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为 (0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66. 故P(C)的估计值为0.66. 因此,事件A的概率估计值为0.620.66=0.409 2.,2,3,1,4,(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表,由于15.7056.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为箱产量与养殖方法有关.,2,3,1,4,(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为 (0.004+0.020+0.044)5=0.340.5, 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为,