《2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修一课件：3.2.1 第2课时 函数的最大（小）值 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修一课件：3.2.1 第2课时 函数的最大（小）值 .pdf（28页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、-1- 第2课时 函数的最大(小)值 首页 课前篇 自主预习 一二 一、函数的最大(小)值的定义 1.(1)如图所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x-1,+)、y=f(x)的图 象,这三个函数的图象上有没有最高点? 提示:都有最高点,分别为点A、B、C. (2)从点的坐标角度,如何理解函数图象的最高点? 提示:图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的 最大值. 课前篇 自主预习 一二 (3)如图所示,图象上最高点C的坐标为(x0,f(x0),在图象上任取 一点A(x,f(x),f(x)与f(x0)有什么关系? 提示:点C是图象的最高点,即对定义域内任意x,均有f(x)f(x
2、0)成 立. (4)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对 xI,都有f(x)M; x0I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值. 其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标. (5)类比函数最大值的定义,请你给出最小值的定义及其几何意义. 提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: xI,都有f(x)M; x0I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值. 函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标. 课前篇 自主预习 一二 (6)是否每个函数都有最大值、最小值?如果有最值,取最值的点
3、有几个?举例说明. 提示:一个函数不一定有最值,例如y= 在定义域内没有最大值也 没有最小值.有的函数可能只有一个最大(或小)值,例如y=- 2x+1,x-1,+).如果一个函数存在最值,那么函数的最大值和最 小值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个,如y=x2,x-2,2, 最大值只有一个为4,而取最大值的x有x=2两个. 课前篇 自主预习 一二 2.做一做 已知函数f(x)在-2,2上的图象如图所示,则该函数的最小值、最 大值分别是( ) A.f(-2),0B.0,2 C.f(-2),2D.f(2),2 解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2. 答案:C 课
4、前篇 自主预习 一二 二、函数的单调性与最大(小)值 1.(1)若函数y=f(x)在区间a,b上是增函数或减函数,它一定有最 值吗?如果有,最值是什么? 提示:若函数y=f(x)在区间a,b上是增函数,则函数的最小值为 ymin=f(a),最大值为ymax=f(b);若函数y=f(x)在区间a,b上是减函数, 则函数的最小值为ymin=f(b),最大值为ymax=f(a). (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上是增(或减)函数,这个函数有最值 吗? 活动方案:启发学生画一个符合条件的函数草图,注意端点不在 区间内,然后回答. 提示:不存在最值,但可以说函数y=f(x)在区间(a,b)上的
5、值域为 (f(a),f(b)或(f(b),f(a). 课前篇 自主预习 一二 (3)已知函数y=f(x)的定义域是a,b,a0,1f(x2),即f(x)在区间1,2上是减函数. (2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值为f(1). f(1)=1+4=5,f(x)的最小值为4,最大值为5. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 反思反思感悟感悟 1.利用单调性求函数最值的一般步骤: (1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值. 2.函数的最值与单调性的关系: (1)若函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,则f(x)在区间a,b上
6、的 最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,在区间(b,c上是减(增) 函数,则f(x)在区间a,c上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c) 中较小(大)的一个. (3)若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,则函 数f(x)在区间a,b上一定有最值. (4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定 有最大(小)值. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 延伸探究延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间1,3上的单调性,并 求f(x)在区间1,3上的最值. 当1x1
7、f(x2),f(x)在区间1,2上为减函数; 当20,40,f(x1)400时,f(x)=60 000-100x是减函数, f(x)2时,0,2是函数的递减区间,如图. 函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a. 综上,当a2时,函数在区间0,2上的最小值为3-4a,最大值为-1. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 方法方法点睛点睛 1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先 作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次 函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已 知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴
8、与所给区间 的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在 所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间m,n上的最值可作如 下讨论: 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中xt,t+1,tR)的最小值为g(t), 求g(t)的表达式. 解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面 分三种情况讨论: 图 当t+11,即t0时,如图所示,此时函数f(x)在t,t+1上为减函 数,
9、g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 如图所示,此时,函数f(x)在t,1上为减函数, 在(1,t+1上为增函数, g(t)=f(1)=1. 当t1时,如图所示,此时,函数f(x)在t,t+1上为增函数, g(t)=f(t)=t2-2t+2. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 答案:A 2.函数y=|x+1|+2的最小值是( ) A.0B.-1C.2D.3 解析:y=|x+1|+2的图象如图所示. 由图可知函数的最小值为2. 答案:C 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 3.函数y=x2-2x,x0,3的值域为( ) A.0,3B.-1,0 C.-1,+)D.-1,3 解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x0,3,当x=1时,函数y取得最小值 为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为-1,3,故选D. 答案:D 解析:当x1,2时,f(x)为增函数,其最大值为f(2)=10;当x-4,1 时,f(x)为减函数,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11. 答案:11 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 5.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个 正方形面积之和的最小值.