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1、-1- 4.2 指数函数 首页 课前篇 自主预习 一二 一、指数函数的定义 1.细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个设1个细 胞分裂x次后得到的细胞个数为y. (1)变量x与y间存在怎样的关系? 提示:y=2x,xN*. (2)上述对应关系是函数关系吗?为什么? 提示:是.符合函数的定义. 2.如果xR,等式y=2x还表示y是x的函数吗?如果是,其解析式有 何结构特征? 提示:是.结构特征:等式右边是指数形式,底数为常数,指数是变量. 3.填空: 一般地,函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数,其中指数x是自变量, 定义域是R. 课前篇 自主预习 一二 4.指数函数定义中为什么规定了
2、a0且a1? 提示:将a如数轴所示分为:a1五部分进行 讨论: (3)如果a=1,y=1x=1,是个常数函数,没有研究的必要; (4)如果01,即a0且a1,x可以是任意实数. 课前篇 自主预习 一二 5.做一做 若函数y=(a-2)ax是指数函数,则( ) A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3D.a0且a1 解析:若函数y=(a-2)ax是指数函数, 答案:C 课前篇 自主预习 一二 二、指数函数y=ax(a0,且a1)的图象与性质 课前篇 自主预习 一二 (1)图象分布在哪几个象限?这说明了什么? 提示:图象分布在第一、二象限,说明值域为(0,+). (2)猜想图象的上升、下降与底数
3、a有怎样的关系?对应的函数的 单调性如何? 提示:它们的图象都在x轴上方,向上无限伸展,向下无限接近于x 轴;当底数a大于1时图象上升,为增函数;当底数a大于0小于1时图象 下降,为减函数. (3)图象是否经过定点?这与底数的大小有关系吗? 提示:图象恒过定点(0,1),与a无关. 课前篇 自主预习 一二 (5)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y=ax(a0,且a1)的 哪些性质?(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶 性) 提示:定义域为R,值域为(0,+),过定点(0,1),当a1时在R上是增 函数,当00,且a1)一定经过定点( ) (2)已知函数f(x)=ax(a0且a
4、1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数 y=f(x)的图象大致是( ) 课前篇 自主预习 一二 (2)函数f(x)=ax(a0且a1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则由于指数函 数是单调函数,则有a1,由底数大于1指数函数的图象上升,且在x轴 上面,可知B正确. 答案:(1)C (2)B 课前篇 自主预习 一二 4.判断正误: (1)y=3-x是R上的增函数.( ) 答案:(1) (2) 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 指数函数指数函数的的概念概念 (2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值. 分析:(1)设出指数函数f(x)的解析式,然后
5、代入已知点的坐标求解 参数,从而确定函数解析式,最后代值求解;(2)依据指数函数的形式 定义,确定参数a所满足的条件求解. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 (1)解析:设f(x)=ax(a0,a1), a-2= .a=2.f(4)f(2)=2422=64. 答案:64 反思感悟反思感悟指数函数是一个形式定义,其特征如下: 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 变式训练(1)已知指数函数的图象经过点P(-1,3),则f(3)= . (2)已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a= . 解析:(1)设指数函数为f(x)=ax(a0且a1
6、),由题意得a-1=3, (2)函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数, 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 指数函数指数函数的图象问题的图象问题 例2 (1)如图是指数函数:y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则 a,b,c,d与1的大小关系是( ) A.a0,且a1)的图象一定过点P,则点P的坐 标是 . (3)函数y= 的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和 单调区间吗? 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 分析:(1)作直线x=1,其与函数图象的交点的纵坐标即为指数函数 底数的值;(2)令幂指数等于0,即x+1=0,即可
7、解得;(3)先讨论x,将函数 写为分段函数,再画出函数的图象,然后根据图象写出函数的值域 和单调区间. (1)解析:(方法一)中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底 数越小,图象向下越靠近x轴,故有b0,且a1)的图 象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标 即为底数,由此可得底数的大小. (2)因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数 f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k0,a0,且a1).若g(m)=0,则f(x)的图 象过定点(m,k+b). (3)指数函数y=ax与y= (a0,且a1)的图象关于y轴对称. (4)处理函数图
8、象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二 是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 延伸探究延伸探究若将本例(3)中的函数改为y=2|x|呢? 则原函数的图象关于y轴对称,如图. 由图象可知,函数的值域为1,+),单调递增区间为0,+),单调递 减区间为(-,0). 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 指数指数型型函数函数的性质及其应用的性质及其应用 例3 (1)求下列函数的定义域与值域: (2)比较下列各题中两个值的大小: 2.53,2.55.7; 2.3-0.28,0.67-3.1. 分析:(1)根据解析式
9、有意义的条件求解函数定义域,然后结合指 数函数的单调性求解函数的值域;(2)根据两数的结构特征构造指 数函数,将其转化为指数函数的单调性问题求解,或借助中间值比 较大小. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 解:(1)由x-40,得x4, 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 (2)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x, 而函数y=2.5x在R上是增函数. 又30.670=1,则2.3-0.280,且a1)的定义域、值域: (1)定义域的求法.函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)函数y=af(x
10、)的值域的求法如下. 换元,令t=f(x); 求t=f(x)的定义域xD; 求t=f(x)的值域tM; 利用y=at的单调性求y=at(tM)的值域. 2.比较幂的大小的常用方法: 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 延伸探究延伸探究比较下面两个数的大小: (a-1)1.3与(a-1)2.4(a1,且a2). 解:因为a1,且a2,所以a-10,且a-11, 若a-11,即a2,则y=(a-1)x是增函数, (a-1)1.3(a-1)2.4. 故当a2时,(a-1)1.3(a-1)2.4. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 换元法在求函数值域中的应用 (1
11、)求函数的单调区间; (2)求函数的值域. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 反思感悟 1.定义域、值域的求解思路 形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域. 求形如y=af(x)的函数的值域,应先求出u=f(x)的值域,再结合y=au 的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分 类讨论. 形如y=f(ax)的函数的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的 单调性确定出y=f(ax)的值域. 2.求解技巧 复合函数的值域,往往用换元法解决,但要注意新元和旧元的关 系. 课
12、堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 (1)当m=-2时,求函数f(x)在(-,0)上的值域; (2)若对任意x0,+),总有|f(x)|6成立,求实数m的取值范围. x(-,0),t(1,+), y=g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,图象的对称轴为直线t=1,图象开口向 上, g(t)在t(1,+)时单调递增, g(t)3,即f(x)的值域为(3,+). 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 1.函数y=2-x的大致图象是 ( ) 答案:B 2.已知集合M=yR|y=2x,x0,N=xR|x2-2x
13、21-x,则x的取值范围是( ) 答案:C 4.若a3,则函数f(x)=4(a-2)2x+6-1的图象恒过定点的坐标是 . 解析:a3,a-21.令2x+6=0,得x=-3, 则f(-3)=4(a-2)0-1=3. 故函数f(x)的图象恒过定点的坐标是(-3,3). 答案:(-3,3) 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法随堂演练 5.若指数函数f(x)=ax(a0,且a1)在区间1,2上的最大值等于3a,则 a= . 解析:当a1时,函数f(x)在区间1,2上单调递增,有f(2)=a2=3a,解得 a=3(舍去a=0); 当00的解集为 . 解析:设x0,f(-x)=2-x-4. 又f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=2-x-4. 答案:2-x-4 x|x4 7.解方程:22x+2+32x-1=0. 解:22x+2+32x-1=0, 4(2x)2+32x-1=0. 令t=2x(t0),则方程可化为4t2+3t-1=0,