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1、2.3 函数的应用() 1.会利用一次函数和二次函数及分段函数模型解决简单的实际 问题. 2.理解数学建模的过程,并不断地加强数学的应用意识. 123 1.直线型的函数模型 我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,它们在每个 区间的变化率都一样. 解题时常设为:正比例型:y=kx(k0),一次函数型:y=kx+b(k0). 当k0时两者都是增长型函数,k的值越大增速越快. 如在市场经济大潮中,普遍存在着最优化问题最佳投资、最 小成本等,常常归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数, 确定变量的限制条件.如果一个问题中有两个变量,且这两个变量 之间存在一次函数关系,那么可以用一次函数模
2、型来解决. 名师点拨在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要 注意自变量的取值范围;二是要检验所得结果,必要时运用估算和 近似计算,使结果符合实际问题的要求. 123 【做一做1】 据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆 一次0.5元.若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x 的函数关系式是( ) A.y=0.3x+800(0x2 000) B.y=0.3x+1 600(0x2 000) C.y=-0.3x+800(0x2 000) D.y=-0.3x+1 600(0x2 000) 解析:由题意可知
3、总收入y(单位:元)关于x(单位:辆次)的函数关系 式为y=0.5x+(2 000-x)0.8=-0.3x+1 600,0x2 000. 答案:D 123 现在人们注重对普遍存在的诸如造价成本最低而产出利润最大、 风险决策、最优化等问题的研究,透过实际问题的背景,抓住本质, 挖掘隐含的数量关系,可抽象成二次函数的最值模型. 投物、射击、喷泉灌溉等物体运动的轨迹有某种规律,或者变量 的变化具有二次函数关系时,可以通过直角坐标系由实际问题建立 抛物线的数学模型,利用图象的性质解答. 123 知识拓展在解决应用题时,列出函数的解析式常用的有待定系数 法、归纳法及方程法. (1)待定系数法:已知条件中
4、已给出了含参数的函数关系式,或可 确定函数类型,此种情形下应用待定系数法求出函数表达式中的相 关参数(未知系数)的值,就可以得到确定的函数解析式; (2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中 发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数解析式; (3)方程法:用x表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义, 运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数关系式,此种方法 形式上和列方程解应用题类似,故称为方程法,实际上函数关系式 就是含x,y的二元方程. 123 【做一做2】 如图所示,某单位计划建造一排连续三个相同的矩 形饲养场,现有总长为1的围墙材料,则当每个矩形的长宽之比
5、为 时,能使围成的饲养场的总面积最大. 123 3.分段函数模型 有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不相同,此时 我们可以利用分段函数模型来进行刻画.由于分段函数在不同的区 间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题 中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用. 名师点拨1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏; 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集; 3.分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围,最后比较再下结 论. 123 【做一做3】 已知A,B两地相距150 km.某人开汽车以60 km/h的 速度从A地到达B地,在B地停留1 h后再
6、以50 km/h的速度返回A地. 把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数表达式是( ) 123 答案:D 一、数学建模的一般步骤 剖析:数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步 骤. 识模就是把应用问题的外部信息与自己已有的内部经验相对照, 初步判断问题解决的方向; 析模就是精读问题,做到“咬文嚼字”,抓住关键词,化简、转换问 题,注意已知量,发现未知量,挖掘隐含量; 建模是通过数学符号化,把问题转化为数学模型的过程; 解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解;由于应 用问题本身的繁杂性、开放性,根据自己理解所建立的模型也有局 限性,最后要对模型的解检验,或取或舍,或重新修
7、正模型,直到满意 为止. 归纳总结实际问题的解决步骤还可以用下面的口诀表述: (1)收集数据,画图提出假设; (2)依托图表,理顺数量关系; (3)抓住关键,建立函数模型; (4)精确计算,求解数学问题; (5)回到实际,检验问题结果. 二、教材中的“思考与讨论” 对例2中的“客房问题”你有什么体会?在现实问题中,有没有与它 类似的问题?如果有,请举例说明. 剖析:“客房问题”反映的规律性在实际中有很多典例,实际归结到 最后,“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活中的 “调价问题”与其类似,其模型为: 当某类商品在销售价格为b元时,可售出a件,现欲提价,若单价每 提高m元,则销售
8、量减少n件,求提高多少元时销售的总收入最高? 设将商品售价提高x个m元,则总收入为y=(b+xm)(a-xn)=- mnx2+(am-bn)x+ab. 它是一个自变量为自然数的二次函数,且其二次项系数小于零, 根据二次函数的知识知它有最大值. 题型一题型二题型三题型四 【例1】 某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有 某型号电脑6台,乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向 该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的 电脑8台.已知甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元, 乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元,设甲地调运x 台至
9、B地,该公司运往A地和B地的总运费为y元. (1)求y关于x的函数关系式; (2)若总运费不超过1 000元,则有几种调运方案? (3)求总运费最低的调运方案及最低运费. 分析:解答本题首先表示出从甲、乙两地分别运至A,B两地的电 脑台数,求得函数的解析式,再利用函数的单调性求出最低运费. 题型一题型二题型三题型四 解:(1)设甲地调运x台到B地,则剩下(6-x)台电脑调运到A地;乙地 应调运(8-x)台电脑至B地,运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑 (0x6,xN), 则总运费y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960, 故y=20x+960(xN,且
10、0x6). (2)若使y1 000,即20x+9601 000,得x2. 因为0x6,xN,所以0x2,xN. 所以x=0,1,2,即有3种调运方案. (3)因为y=20x+960是R上的增函数, 且0x6,xN, 所以当x=0时,y有最小值,为960. 所以总运费最低的调运方案为从甲地运6台到A地,从乙地运8台 到B地、运4台到A地,运费最低为960元. 题型一题型二题型三题型四 反思通过对本题的求解,我们可得到以下启发: (1)读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背 景中概括出来的数学实质.本题涉及电脑台数与运费的关系,解答 的关键在于表示出运往A,B两地的电脑台数; (2
11、)根据已知条件建立函数关系式,将实际问题数学化,注意标注 自变量的取值范围,如本题中0x6,且xN; (3)本题通过一次函数的解析式,利用单调性,讨论了最值问题. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练1】 某服装厂现有甲种布料42米,乙种布料30米,现计 划用这两种布料生产M,L两种型号的校服共40件.已知做一件M型 号的校服需用甲种布料0.8米,乙种布料1.1米,可获利45元;做一件L 型号的校服需用甲种布料1.2米,乙种布料0.5米,可获利30元.设生产 M型号的校服件数为x,用这批布料生产这两种型号的校服所获的 利润为y(单位:元). (1)写出y(单位:元)关于x(单位:件)的函数解析
12、式,并求出自变量x 的取值范围; (2)该厂在生产这批校服时,当M型号的校服为多少件时,能使该 厂所获的利润最大?最大利润为多少? 题型一题型二题型三题型四 解:(1)生产M型号的校服为x件时,生产L型号的校服为40-x件,因 此生产两种型号的校服所获利润y=45x+30(40-x), 即y=15x+1 200. 所以自变量x的取值为15或16. (2)因为y=15x+1 200,y随x的增大而增大,所以当x=16时,y取最大 值1516+1 200=1 440,即工厂安排生产M型号的校服16件时,工厂 能获最大利润1 440元. 题型一题型二题型三题型四 【例2】 一位篮球运动员在距篮下4
13、m处跳起投篮,球运行的路 线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度为3.5 m, 然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式; (2)该篮球运动员身高1.9 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m 处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少? 分析:解决此类问题需以顶点坐标、对称轴、特殊点为突破口. 题型一题型二题型三题型四 解:(1)由于抛物线的顶点是(0,3.5),故可设其解析式为 y=ax2+3.5(a0). 因为抛物线过点(1.5,3.05), 所以a1.52+3.5=3.05, 解得a=-0
14、.2. 所以抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5. (2)当x=-2.5时,y=2.25. 故球出手时,他跳离地面的高度是2.25-1.9-0.25=0.10(m). 题型一题型二题型三题型四 反思解这类问题一般分为以下四个步骤: (1)建立适当的平面直角坐标系(若题目中给出,不用重建). (2)根据给定的条件,找出抛物线上已知的点,并写出坐标. (3)利用已知点的坐标,求出抛物线的解析式.当已知三个点的 坐标时,可用一般式y=ax2+bx+c(a0)求其解析式;当已知顶点坐 标为(h,k)和另外一点的坐标时,可用顶点式y=a(x-h)2+k(a0)求其解 析式;当已知抛物线与x轴的两个交
15、点的坐标分别为(x1,0),(x2,0)时, 可设y=a(x-x1)(x-x2)(a0)求其解析式. (4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标,从而使问题得 到解决. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练2】 某商场购进一批单价为16元的日用品,销售一段 时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格,经试验发现, 若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格 销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(单位:件)是价格x(单位: 元/件)的一次函数. (1)试求y与x之间的函数关系式; (2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多 少时,才能使
16、每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润= 总收入-总成本) 题型一题型二题型三题型四 解:(1)依题意设y=kx+b(k0), 故y=-30x+960(16x32). (2)每月获得利润p=(-30x+960)(x-16) =30(-x2+48x-512) =-30(x-24)2+1 920. 故当x=24时,p有最大值,最大值为1 920. 故销售价格定为每件24元时,每月获得的利润最大,最大利润是1 920元. 题型一题型二题型三题型四 【例3】 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营 状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有 5万元无息贷款没
17、有偿还的小型残疾人企业乙,并约定在该店经营 的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:这种消 费品的进价为每件14元;该店月销售量Q(单位:百件)与销售价格 P(单位:元)之间的关系如图所示;每月需各种开支2 000元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利 润余额最大?并求最大余额. (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年 后脱贫? 题型一题型二题型三题型四 分析:解答本题首先要仔细阅读,读懂题意,明确各种数据之间的 关系式,然后建立函数关系式,解答相应问题. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 反思
18、1.本题经过了三次建模:(1)根据月销量与销售价格之间的关 系图建立Q与P的函数关系;(2)建立利润余额函数;(3)建立脱贫不等 式. 2.本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数,在实际问题中, 由于在不同的背景下解决的问题发生变化,因此在不同范围中,建 立函数模型也不一样,因此分段函数应用很广泛. 3.在构造分段函数时,要力求准确、简捷,做到分段合理,不漏不 重. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练3】 某地区的农产品A第x天(1x20)的销售价格 p=50-|x-6|(单位:元/百斤).一农户在第x天(1x20)农产品A的销 售量q=40+|x-8|(单位:百斤). (1)求该农户在第
19、7天销售农产品A的收入; (2)问:这20天中该农户在哪一天的销售收入最大? 题型一题型二题型三题型四 解:(1)由已知得第7天的销售价格p=49,销售量q=41. 故第7天的销售收入W7=4941=2 009. (2)设第x天的销售收入为Wx元, 当1x6时,Wx=(44+x)(48-x)=-x2+4x+2 112=-(x-2)2+2 116, 故当x=2时,Wx取最大值W2=2 116; 当8x20时,Wx=(56-x)(32+x)=-x2+24x+1 792=-(x-12)2+1 936, 故当x=12时,Wx取最大值W12=1 936. 因为W2W7W12, 所以这20天中该农户在第2
20、天的销售收入最大. 题型一题型二题型三题型四 易错点:忽视问题中变量的实际意义致误 【例4】 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(ab),在 AB,AD,CB,CD上分别截取AE=AH=CF=CG=x(x0),设四边形 EFGH的面积为y. (1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式; (2)求当x为何值时,y取得最大值,最大值是多少? 题型一题型二题型三题型四 错因分析:(1)问中没有注意实际问题中x的取值范围; (2)问中没有讨论对称轴与区间的关系,从根本上是由(1)问中没 明确定义域而造成最后的错误. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 反思对实
21、际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受实际问 题的约束,看似一个细节失误,它将会造成严重问题.例如,本题就直 接造成了第(2)问的错误解法,因此大家不要因小失大. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练4】 用一根长为12 m的细铁丝围成一个矩形,要求围 成的矩形的长边与短边之比最小为2.求围成矩形的最大面积. 1 2 3 4 5 6 1一段导线,在0 时的电阻为2欧,温度每增加1 ,电阻增加0.008 欧,那么电阻R(单位:欧)表示为温度t(单位:)的函数关系式为( ) A.R=0.008t B.R=2+0.008t C.R=2.008t D.R=2t+0.008 解得a=0.008,b=2, 故R=0.008t+2. 答案:B 1 2 3 4 5 6 2一等腰三角形的周长是20,则底边长y是关于腰长x的函数,其解析 式为( ) A.y=20-2x(x10) B.y=20-2x(x5时,只能售出500台, 故利润y关于年产量x之间的函数关系为y=R(x)-(0.5+0.25x) (2)当0x5时,y=-0.5x2+4.75x-0.5, 当x=4.75时,ymax=10.781 25(万元). 当x5时,y12-1.25=10.75(万元), 因此当年产量为475台时,该厂所得利润最大.