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1、2.2.3 待定系数法 1.了解待定系数法的概念. 2.掌握用待定系数法求函数的解析式. 3.理解待定系数法的适用范围及注意事项. 12 1.待定系数法的概念 一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把 所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出 这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法 叫做待定系数法. 12 归纳总结利用待定系数法解题的关键是依据已知条件,正确列出 含有未知系数的等式.运用待定系数法,就是把具有某种确定形式 的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决.要判 断一个问题是否能用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问
2、题 是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法 求解,其基本步骤如下: (1)设出含有待定系数的解析式; (2)根据恒等条件,列出含待定系数的方程或方程组; (3)解方程或方程组求出待定系数,从而使问题得到解决. 12 【做一做1-1】 若正比例函数f(x)的图象经过点(-2,6),则f(x)的解 析式为 . 解析:依题意设f(x)=kx(k0), 则6=k(-2),解得k=-3, 故f(x)=-3x. 答案:f(x)=-3x 【做一做1-2】 已知6x2-x-1=(2x-1)(ax+b),则a= ,b= . 解析:因为(2x-1)(ax+b)=2ax2+(2b-a)x-b,
3、所以6x2-x-1=2ax2+(2b-a)x-b, 答案:3 1 12 12 【做一做2-1】 已知抛物线经过点(-3,2),顶点是(-2,3),则抛物线 的解析式为( ) A.y=-x2-4x-1 B.y=x2-4x-1 C.y=x2+4x-1 D.y=-x2-4x+1 解析:设所求解析式为y=a(x+2)2+3(a0). 因为抛物线过点(-3,2),所以2=a+3, 解得a=-1.所以y=-(x+2)2+3=-x2-4x-1. 答案:A 12 【做一做2-2】 已知二次函数的图象过(0,1),(2,4),(3,10)三点,则 这个二次函数的解析式为 . 解析:根据题意设这个二次函数的解析式
4、为y=ax2+bx+c(a0),然 后将图象所经过的三个点的坐标分别代入方程, 确定二次函数解析式所需要的条件 剖析:二次函数解析式的求法有以下几种情况: (1)已知三点坐标,求解析式.可将函数解析式设为 y=ax2+bx+c(a0).将点的坐标分别代入所设解析式,列出关于a,b,c 的三元一次方程组,解出a,b,c即可; (2)已知顶点坐标为(m,n),可设y=a(x-m)2+n,再借助其他条件求a; (3)已知对称轴方程为x=m,可设y=a(x-m)2+k,再借助其他条件求a 与k; (4)已知最大值或最小值为n,可设y=a(x-h)2+n,再借助其他条件求 a和h; (5)已知二次函数的
5、图象与x轴只有一个交点,可设y=a(x-h)2,再借 助其他条件求a和h; (6)已知二次函数图象与x轴有两个交点x1,x2,可设y=a(x-x1)(x-x2), 再借助其他条件求a. 题型一题型二 【例1】 求下列函数的解析式: (2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x). (3)已知二次函数y=f(x)的图象过A(0,-5),B(5,0)两点,它的对称轴 为直线x=2,求这个二次函数的解析式. 分析:对于(1)小题,可设 对于(2)小题,可设出一次函 数f(x)=ax+b(a0);对于(3)小题,可设出二次函数的顶点式或一般式, 利用待定系数
6、法求出解析式. 题型一题型二 题型一题型二 题型一题型二 反思利用待定系数法求函数的解析式的具体做法是先根据题目 中给出的函数类型设出解析式的一般形式,再由已知条件列方程或 方程组,然后求出待定系数即可. 当已知函数的类型,如二次函数、一次函数、反比例函数等,可 以设出所求函数的一般形式.例如,y=ax2+bx+c(a0),y=kx+b(k0), 等.设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行,注意简化解 题过程. 题型一题型二 【变式训练1】 (1)若一次函数f(x)的图象经过P(3,-2)和Q(-1,2)两 点,求其解析式; (2)二次函数f(x)的图象与x轴相交于点(-2,0)和(4,0),且
7、其最小值为 -18,求f(x)的解析式. 题型一题型二 题型一题型二 【例2】 如图所示,函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组 成,求函数的解析式. 分析:由图象可知: 函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成; 当x1或x3时,函数解析式可设为y=kx+b(k0); 当1x3时,函数解析式可设为y=a(x-2)2+2(a0),则 f(g(x)=g2(x)=(kx+b)2=k2x2+2kbx+b2=4x2-20x+25,比较系数可得 k=2,b=-5.故g(x)=2x-5. 答案:2x-5 1 2 3 4 5 6 5已知抛物线y=ax2(a0)与直线y=kx+1(k0)交于两点,其中一个交 点为(1,4),则另一个交点为 . 1 2 3 4 5 6 6已知二次函数f(x)图象的对称轴是直线x=-1,并且经过点(1,13)和 (2,28),求二次函数f(x)的解析式. 解:设f(x)=a(x+1)2+k(a0). 由题意,得f(1)=13,f(2)=28, 解得a=3,k=1,故f(x)=3(x+1)2+1.