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1、2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法二 分法 1.了解函数零点的概念,并会求简单函数的零点. 2.掌握一元二次方程根的存在性定理及会判断一元二次方程根 的个数的方法. 3.了解二分法的定义及其原理. 4.了解函数的零点与方程根的联系,能根据具体函数的图象,借助 计算器用二分法求相应方程的近似解. 1234 1.函数的零点 (1)概念. 一般地,如果函数y=f(x)在实数处的值等于零,即f()=0,则叫做 这个函数的零点. (2)意义. 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数 y=f(x)有零点. 1234 名师点拨1.并
2、不是每一个函数都有零点.例如,函数 都没有零点.当函数有零点时,可能不止一个.例如,函数y=x2-9有 两个零点. 2.函数零点的求法主要有两种: (1)代数法:求f(x)的零点,就是求方程f(x)=0的根; (2)几何法:求f(x)的零点,就是求f(x)图象与x轴交点的横坐标. 1234 【做一做1-1】 函数f(x)=2x+6的零点是( ) A.(0,6)B.(-3,0) C.3D.-3 解析:令f(x)=2x+6=0,解得x=-3, 故所求零点是-3. 答案:D 【做一做1-2】 下列函数中存在零点的是( ) C.f(x)=-x2D.f(x)=4 解析:在C选项中,令f(x)=-x2=0
3、,解得x=0, 故f(x)=-x2存在零点,其余选项中f(x)=0均无解,不存在零点. 答案:C 1234 2.二次函数的零点 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点的个数. 当0时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,二次函数的 图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点; 当=0时,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根(重根),二次函 数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重的零点或说有二 阶零点; 当0,f(1)=40,f(2)=130, 所以f(-1)f(0)0,则零点位于区间x0,b0中,令a1=x0,b1=b0. 第三步 取区间a1,b1的中点,则此中点
4、对应的坐标为 1243 计算f(x1)和f(a1),并判断: (1)如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止; (2)如果f(a1)f(x1)0,则零点位于区间x1,b1中,令a2=x1,b2=b1. 继续实施上述步骤,直到区间an,bn,函数的零点总位于区间an,bn 中,当区间的长度bn-an不大于给定的精度时,这个区间an,bn中的任 何一个数都可以作为函数y=f(x)的近似零点,计算终止. 1243 归纳总结1.用二分法求函数的零点的近似值的方法仅适用于函 数的变号零点,对函数的不变号零点不适用. 2.利用二分法求得的函数零点可能是近似值,也可能是准确值.用 二分法求函数
5、零点时,一次只能求出一个近似值. 记忆口诀函数连续值两端,相乘为负有零点, 区间之内有一数,方程成立很显然. 要求方程近似解,先看零点的区间, 每次区间分为二,分后两端近零点. 1243 1243 【做一做4-2】 用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次 经计算f(0)0,可得其中一个零点x0 ,第二次 计算 .以上横线应填的内容分别是( ) A.(0,0.5),f(0.25) B.(0,1),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.125) 解析:因为f(0)0,所以函数f(x)的一个零点x0(0,0.5), 答案:A 一、函数的零点
6、是实数值而不是几何中的点 剖析:我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点,因此函 数的零点不是点,是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标,即零点是一 个实数.当函数的自变量取这个实数时,其函数值为零.函数f(x)的零 点实际上就是方程f(x)=0的实根,方程f(x)=0有几个实根,函数f(x)就 有几个零点.例如,函数f(x)=x+1,当f(x)=x+1=0时仅有一个实根x=-1, 所以函数f(x)=x+1有一个零点-1,由此可见函数f(x)=x+1的零点是 一个实数-1,而不是一个点. 二、判断函数零点存在性应注意的问题 1.若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是连续曲
7、线,且满足 f(a)f(b)0. 3.若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象不是连续曲线,则当 f(a)f(b)0,f(b)0,则函数f(x)在区 间(a,b)内( ) A.一定有零点 B.一定没有零点 C.可能有两个零点 D.至多有一个零点 题型一题型二题型三题型四题型五 解析:由于二次函数f(x)=x2+mx+n中的二次项系数大于0,因此该 函数的图象大致如图所示. 结合上述图象可知应选C. 答案:C 题型一题型二题型三题型四题型五 【变式训练2】 下列图象表示的函数中没有零点的是 ( ) 答案:A 题型一题型二题型三题型四题型五 分析:可以直接解方程f(x)=0进行判断,也可以结合函数
8、图象判断. 题型一题型二题型三题型四题型五 反思判断函数零点的个数常用以下方法: (1)解方程f(x)=0,方程根的个数就是函数f(x)的零点的个数; (2)画出函数f(x)的图象,该图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零 点的个数; (3)将方程f(x)=0变形为g(x)=h(x),在同一坐标系中画出函数g(x) 和h(x)的图象,两个图象交点的个数就是原函数f(x)零点的个数. 题型一题型二题型三题型四题型五 题型一题型二题型三题型四题型五 题型一题型二题型三题型四题型五 【例4】 当a取何值时,关于x的方程ax2-2x+1=0的一个根在区间 (0,1)内,另一个根在区间(1,2)内? 分
9、析:对a分a=0,a0,a0,f(x)的开口向上,如图所示. 题型一题型二题型三题型四题型五 题型一题型二题型三题型四题型五 【例5】 求方程x5-x3-3x2+3=0的无理根.(精确到0.1) 分析:求方程的无理根问题可以通过因式分解,发现其有理根,然 后转化为求另一个方程的无理根问题.方程x5-x3-3x2+3=0的无理根 是x3-3=0的根,只需求出g(x)=x3-3的零点即可. 解:令f(x)=x5-x3-3x2+3, 则f(x)=(x2-1)(x3-3),显然无理根就是x3-3=0的根. 令g(x)=x3-3,以下用二分法求函数g(x)的零点. 因为g(1)=-20,可以确定区间1,
10、2作为计算的初始区 间,列表如下: 题型一题型二题型三题型四题型五 取区间1.437 5,1.445 312 5两个端点精确到0.1的近似值1.4,所以 原方程的无理根的近似值为1.4. 题型一题型二题型三题型四题型五 反思利用二分法求方程近似解的步骤:(1)构造函数,转化为求函 数的零点;(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(通常区间的左 右端点相差);(3)利用二分法求函数的零点;(4)归纳结论. 题型一题型二题型三题型四题型五 题型一题型二题型三题型四题型五 用二分法逐次计算,列表如下: 题型一题型二题型三题型四题型五 易错点:混淆函数零点存在的条件致误 【例6】 若函数y=f(x)在
11、区间-2,2上的图象是连续的,且方程 f(x)=0在-2,2上仅有一个实根0,则f(-2)f(2)的值( ) A.大于0B.小于0C.等于0D.无法判断 错解:由于函数f(x)在区间-2,2上有实根,因此必有f(-2)f(2)0.错解中混淆了函数零点存在的条件. 正解:当f(x)=|x|时,f(x)在-2,2上有零点0,但f(-2)f(2)0;当f(x)=x 时,f(x)在-2,2上有零点0,但f(-2)f(2)0,f(1.75)0,则该方程的根 落在区间 ( ) A.(1,1.25)B.(1.25,1.5) C.(1.5,1.75)D.(1.75,2) 解析:因为f(1)0, 所以方程的根在
12、(1,1.5)内. 又因为f(1.25)0; f(0)f(1)=-13=-30; f(2)f(3)=1335=4550. 故f(x)在(0,1)内一定有零点. 答案:B 1 2 3 4 5 6 7 5已知函数y=x2+ax+3有一个零点为2,则a的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 6下面是连续函数f(x)在1,2上一些点的函数值: 由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为 .(精确到0.1) 解析:由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间(1.406 5,1.438)上,由精确度可知近似解为1.4. 答案:1.4 7求函数y=x3-4x的零点,并画出它的图象. 解:因为x3-4x=x(x2-4)=x(x-2)(x+2), 所以函数y=x3-4x的零点为0,-2,2,这三个零点把x轴分成4个区间: (-,-2,(-2,0,(0,2,(2,+),在这4个区间内,取x的一些值(包括零点). 列出这个函数的对应值表: 1 2 3 4 5 6 7 在平面直角坐标系中描点作图,图象如图所示.