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1、-1- 第第4课时课时 圆锥曲线中最值、定点综合问题圆锥曲线中最值、定点综合问题 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 一、圆锥曲线中的最值与范围问题 在解决与圆锥曲线有关的最值问题时,常规的处理策略是: (1)若具备定义的最值问题,则可用定义转化为几何问题来处理. (2)一般问题可先由条件建立目标函数,再利用函数求最值的方法 进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法,利用函数的单 调性,亦可利用基本不等式等求解. 二、圆锥曲线中的定点、定值问题 解决定点、定值问题的常规处理策略: (1)从特殊情况入手,先求含有变量的定点、定值,再证明这个点 (值
2、)与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点 (值). 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)“设而不求”法是解决圆锥曲线综合问题的基本方法. ( ) (2)直线与圆锥曲线的综合问题中,可设直线方程为y=kx+b. ( ) (3)最值问题中,必须考虑函数关系式中变量的取值范围. ( ) 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 专题一 范围与最值问题 【例1】 已知椭圆G: +y2=1.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交 椭圆G于A,B两点. (1)求椭圆G的焦点坐标和离
3、心率; (2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 反思感悟在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方 面考虑: (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是 在两个参数之间建立等量关系; (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值 范围; (4)利用基本不等式求出参数的取值范围; (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验
4、 变式训练变式训练1设圆C与两圆(x+ )2+y2=4,(x- )2+y2=4中的一个 内切,另一个外切. (1)求圆C的圆心轨迹L的方程; 解:(1)设圆C的圆心坐标为(x,y),半径为r. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)由图知|MP|-|FP|MF|, 当M,P,F三点共线,且点P在线段MF延长线上时, |MP|-|FP|取得最大值|MF|, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 专题二 定值定点问题 【例2】在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.设椭圆 C2:4x2+y2=1.若M,N分别是C1,C2上的动点
5、,且OMON,求证:O到直 线MN的距离是定值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 反思感悟圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的一个难点. 解决这个难点的基本思想是函数思想,可以用变量表示问题中的直 线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系 中不受变量影响的某个值,就是要求的定值.具体地说,就是将要证 明或要求解的量表示为某个合适变量的函数,化简消去变量即得定 值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (1)求C的方程; (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段 AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 课堂探究
6、案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 【例3】 已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两 点P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点. 解:(1)如图,设动圆圆心O1(x,y), 由题意,知|O1A|=|O1M|, 当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,则H是MN的中点, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 又当O
7、1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x, 动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)如图,由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 将y=kx+b代入y2=8x中,化简得k2x2+(2bk-8)x+b2=0, 其中=-32kb+640. 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 即2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0, 将代入,化简,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,k=-b,此时 0,
8、 直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0). 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 反思感悟定点的探索与证明问题: (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件 建立b,k的等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 变式训练变式训练3若直线l:y=kx+m与椭圆C: =1相交于A,B两点 (A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点. 求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标. 证明:设点A(x1,y1),B(x2,y2), 课堂探究案课前预习
9、案 专题归纳高考体验 以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D(2,0), kADkBD=-1. y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0. 7m2+16mk+4k2=0. 当m=-2k时,l的方程为y=k(x-2),则直线过定点(2,0),与已知矛盾. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解:(1)设所求抛物线的方程为y2=2px(p0), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2(1+p),x1x2=1. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 假设在x轴上存在满足条件的点C(x0,0), ABC为正三角形, 在x轴上不存在点C,使
10、ABC为正三角形. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 反思感悟存在性问题的解决方法: 首先假设所探究的问题结论成立或存在符合题意的点、直线,在 这个假设下进行推理论证,如果得到了一个合理的推理结果,就肯 定假设,对问题作出正面回答;如果得到一个矛盾的结果,就否定假 设,对问题作出反面回答.利用这个解题思想解决存在性问题与解 决具有明确结论的问题就没有什么差别了. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (1)求椭圆E的方程; (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线 x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为 直径的圆恒过点M?若存在,
11、求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解:(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 而|AF1|+|AF2|=|F1B|+|BF2|=2a, 所以4a=8,解得a=2. 消去y,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0), 所以m0,=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 即4k2-m2+3=0. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 考点一:直线与圆锥曲线的位置关
12、系 1.(2017课标高考)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相 垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则 |AB|+|DE|的最小值为( ) A.16B.14C.12 D.10 解析:方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意. 设直线l1方程为y=k1(x-1), 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 方法二:如图所示, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 即|AB|+|DE|最小值为16,故选A. 答案:A 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归
13、纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 3.(2016全国乙高考)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点 M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON 并延长交C于点H. (2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)直线MH与C除H以外没有其他公共点. 理由如下: 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个 公共点, 所以除H以外直线MH与C没有其他公共点. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解:(1)设F的坐标为(-c,0
14、). 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)设直线AP的方程为x=my+1(m0),与直线l的方程x=-1联立, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 考点二:圆锥曲线中的最值与范围问题 答案:A 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 6.(2016课标乙高考)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0) 且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直 线与圆A交于
15、P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围. 解:(1)因为|AD|=|AC|,EBAC, 故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|, 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16, 从而|AD|=4, 所以|EA|+|EB|=4. 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为 y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2), 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 故四边形MPNQ的面积 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 |M
16、C|AB|=23,M的半径为|MC|,OS,OT是M的两条切线,切 点分别为S,T,求SOT的最大值并求取得最大值时直线l的斜率. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 由题意可知圆M的半径r为 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 考点三:圆锥曲线中的定点与定值问题 (1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B 的斜率的和为-1,证明l过定点. 解:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验
17、(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2, 如果l与x轴垂直,设l:x=t, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 由题设k1+k2=-1, 故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA. (1)当t=4,|AM|=|AN|时,求AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围. 解:(1)设M(x1,y1),则由题意知y10. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 即(k3-2)t=3k(2k-1). 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验