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1、-1- 3.2 空间向量基本定理 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 空间向量基本定理 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 名师点拨理解空间向量基本定理应注意: (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底,同时 一个基底是一个向量组,而不是单指一个向量. (2)由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量
2、共面,所以三个向量不共面就隐含着它们都不是0. (3)空间向量基本定理说明,用空间不共面的三个已知向量a,b,c可 以线性表示空间的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1 答案:C XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)已知A,B,M,N是空间四点,若
3、 不能构成空间的一个 基底,则A,B,M,N共面. ( ) (2)若a,b,c是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0, 则x=y=z=0. ( ) (3)选用不同的基底,同一向量的表达式不同. ( ) (4)基底中的三个向量可以有零向量. ( ) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 基底的判断基底的判断 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x- y)e3, e1,e2,e3是空间的一个基底
4、,e1,e2,e3不共面, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3) =(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3, e1,e2,e3为空间的一个基底, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟判断三个向量能否作为基底,关键是判断它们是否共面, 若从正面判断难以入
5、手,可以用反证法结合共面向量定理或利用常 见的几何图形帮助进行判断. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练1设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空间的一组基底,给 出下列向量组:a,b,x;x,y,z;b,c,z;x,y,a+b+c.其中可 以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 答案:C XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨
6、析 用基底表示向量用基底表示向量 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟对于基底e1,e2,e3除了知道它们不共面外,还应明确: (1)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一向量, 二者是相关联的不同概念; (2)基底一旦确定,所有向量的表示就唯一确定了. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测
7、DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练2如图,在平行六面体ABCD-ABCD 中, ,P是CA的中点,M是CD的中点,N是CD的 中点,点Q在CA上,且CQQA=41,用a,b,c表示下列向量. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 空间向量基本定理的应用空间向量基本定理的应用 【例3】设A,B,C及A1,B
8、1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而 M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点,求证M,N,P,Q四点共 面. 证明:因为M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟证明空间四点共面的方法:对空间四点P,M,A,B,可通过 证明下列结论成立来证明四点共面. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变
9、式训练变式训练3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中 点,NAC,且ANNC=21,求证A1,B,N,M四点共面. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 对基底的概念理解不透彻而致误 【典例】 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD 易错分析:在用基底表示向量时,其结果中有时还会出现基底以 外的其他向量,应对基底以外的向量继续分解,最后都转化为用基 向量表示. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJ
10、IEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 纠错心得基底可以表示空间内任一向量,用基底表示向量时,最 后结果应只含基向量. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 答案:B XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 ( ) A.O,A,B,C四点共线 B.O,A,B,C四点共面 C.O,A,B,C四点中任意三点共线 D.O,A,B,C四点不共面 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DA
11、NGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 3.如图,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA平面 ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM=2MC,PN=ND,则满足 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 解析:如图所示,取PC的中点E,连接NE,AC, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上, (1)求证:A,E,C1,F四点共面;