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1、第十一章第十一章 计数原理计数原理 1111. .1 1 分类加法计数原理与分分类加法计数原理与分 步乘法计数原理步乘法计数原理 知识梳理 -3- 知识梳理双基自测21 1.两个计数原理 n类不同的方案 n个步骤 知识梳理 -4- 知识梳理双基自测21 2.两个计数原理的区别与联系 知识梳理 2 -5- 知识梳理双基自测3415 1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同. ( ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件 事. ( ) (3)在分步乘法计数原理中,只有各个步骤都完成后,这件事情才 算完成. ( )
2、(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各 不相同的. ( ) (5)如果完成一件事情有n个不同的步骤,在每一步中都有若干种 不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成这件事共有m1m2m3mn种方 法. ( ) 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) 知识梳理 -6- 知识梳理双基自测23415 2.在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有( ) A.45个B.36个C.30个D.50个 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -7- 知识梳理双基自测23415 3.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位 于G处的老
3、年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的 最短路径条数为( ) A.24 B.18C.12 D.9 答案解析解析 关闭 由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处 的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 63=18,故选B. 答案解析 关闭 B 知识梳理 -8- 知识梳理双基自测23415 4.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分 法共有( ) A.4种 B.5种 C.6种D.7种 答案解析解析 关闭 用分类加法计数原理,分三类: 三堆中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5,每堆至少1个,只有2种分 法,即1和4,
4、2和3. 三堆中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,每堆至少1个,只有2种分 法,即2和4,3和3. 三堆中“最多”的一堆为3个,那是不可能的. 所以不同的分法共有2+2=4(种). 答案解析 关闭 A 知识梳理 -9- 知识梳理双基自测23415 5.有4部车床,需加工3个不同的零件,其不同的安排方法有( ) 答案解析解析 关闭 以“每个零件”分步,共3步.而每个零件能在4部车床中的任一台上加工,所 以有4种方法,于是安排方法为444=43(种). 答案解析 关闭 B -10- 考点1考点2考点3 A.6个 B.8个 C.12个D.16个 (2)如图,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4
5、,若焊接点脱落导致断路,则 电路不通.今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有( ) A.9种 B.11种C.13种D.15种 思考使用分类加法计数原理遵循的原则是什么? 答案解析解析 关闭 (1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以当m=4时,n=1,2,3; 当m=3时,n=1,2; 当m=2时,n=1.故满足条件的椭圆共有3+2+1=6(个). (2)按照焊接点脱落的个数进行分类. 若脱落1个,则有(1),(4),共2种; 若脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6种; 若脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,
6、3,4),共4种; 若脱落4个,有(1,2,3,4),共1种. 由分类加法计数原理,知共有2+6+4+1=13(种)焊接点脱落的情况. 答案解析 关闭 (1)A (2)C -11- 考点1考点2考点3 解题心得使用分类加法计数原理遵循的原则:分类的划分标准可 能有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不 漏”的原则,且完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类. -12- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练1(1)把甲、乙、丙三名志愿者安排在周一至周五参加 某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求 甲安排在另外两名前面,不同的安排方案共有( ) A.20种B
7、.30种 C.40种D.60种 (2)如图,从A到O有 种不同的走法(不重复过一点). 答案 答案 关闭 (1)A (2)5 -13- 考点1考点2考点3 (2)分三类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点, 有ABO和ACO 2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有 ABCO和ACBO 2种不同的走法,由分类加法计数原理 可得共有1+2+2=5种不同的走法. -14- 考点1考点2考点3 例2(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共 有多少种报名方法? (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有多少种可能的 结果? 思考应用分步乘法计数原理解决问题时
8、如何分步?对分步有何要 求? -15- 考点1考点2考点3 解：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这 件事,因为每人必报一项,四人都报完才算完成,于是应按人分步,且 分为四步. 又每人可在三项中选一项,选法为3种,所以共有 3333=34=81(种)报名方法. (2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事,因为每项冠军只能 有一人获得,三项冠军都有得主,这件事才算完成,于是应以“确定三 项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人,有4 种可能情况,于是共有444=43=64(种)可能的结果. 解题心得利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件发生的过 程合理分步,
9、并且分步必须满足两个条件:一是完成一件事的各个 步骤是相互依存的,二是只有各个步骤都完成了,才算完成这件事. -16- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练2(1)6名选手依次演讲,其中选手甲不在第一个,也不在 最后一个演讲,则不同的演讲次序共有 ( ) A.240种B.360种 C.480种D.720种 (2)在运动会比赛中,8名男运动员参加100 m决赛.其中甲、乙、 丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8 名运动员比赛的方式共有 种. 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -17- 考点1考点2考点3 例3(1)某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年
10、级学生平均分 配给甲、乙两家公司,其中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一 个公司;另3名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配 方案有( ) A.36种B.38种 C.108种D.114种 (2)如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻 的矩形涂色不同,则不同的涂法有( ) A.72种B.48种 C.24种D.12种 答案 答案 关闭 (1)A (2)A -18- 考点1考点2考点3 解析：(1)由题意可得,有2类分配方案,第1类方案:甲公司要2名电 脑特长学生有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生有2种情况;再从 剩下的3个人中选一人,有3种情况.故共有323=1
11、8种分配方案. 第2类方案:甲公司要1名电脑特长学生有3种情况;要1名英语成绩 优秀的学生有2种情况;再从剩下的3个人中选2个人,有3种情况,故 共323=18种分配方案.由分类计数原理,可得不同的分配方案 共有18+18=36(种),故选A. -19- 考点1考点2考点3 (2)方法一:首先涂A有4种涂法,则涂B有3种涂法,C与A,B相邻,则 C有2种涂法,D只与C相邻,则D有3种涂法,所以共有 4323=72(种)涂法. 方法二:按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都 用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有 4321=24(种)涂法;二是用3种颜
12、色,这时A,B,C的涂法有 432=24(种),D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的 涂法共有24+242=72(种). 解题心得在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步. 分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分 步时可能又用到分类加法计数原理. -20- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练3(1)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平 面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线 与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( ) A.48 B.18 C.24D.36 (2)如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分
13、,现用5种不同 颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异, 则共有 种不同的涂色方法. 答案 答案 关闭 (1)D (2)260 -21- 考点1考点2考点3 解析：(1)第一类,对于每一条棱,都可以与两个面构成“正交线面 对”,这样的“正交线面对”有212=24个;第二类,对于每一条面对角 线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有 12个. 所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个). (2)区域A有5种涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方 法可分为两类:若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不 同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法.故共有 544+5433=260(种)涂色方法.