《2020版高考数学（福建专用）一轮复习课件：3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（福建专用）一轮复习课件：3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 .pdf（37页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3 3. .2 2 导数与函数的单调性导数与函数的单调性、 极值极值、最值、最值 知识梳理 (2)可导函数f(x)在区间a,b上单调递增,则有 在区间a,b 上恒成立. (3)可导函数f(x)在区间a,b上单调递减,则有 在区间a,b 上恒成立. (4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f(x)在该区间内 . -2- 知识梳理双基自测231 1.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数f(x)在某个区间内可导, 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; 如果f(x)0 f(x)0 f(x)=0 知识梳理 -4- 知识梳理双基自测231 检查方程 的根是否在定义域内,若
2、在,则看根附近 的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得 . f(x)=0 极大值 极小值 知识梳理 3.函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在区间a,b上必有最大值与最 小值. (2)若函数f(x)在区间a,b上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在区间a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值. (3)设函数f(x)在区间a,b上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间 a,b上的最大值和最小值的步骤. 求f(x)在区间(a,b)内的 ; 将f(x)的各极值与 进
3、行比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值. -5- 知识梳理双基自测231 f(a) f(b) f(a) f(b) 极值 f(a),f(b) 知识梳理 2 -6- 知识梳理双基自测3415 1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则一定有f(x)0. ( ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. ( ) (3)导数为零的点不一定是极值点. ( ) (4)函数的极大值不一定比极小值大. ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小 值. ( ) 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5)
4、 6 知识梳理 -7- 知识梳理双基自测23415 2.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图 象可能是( ) 答案解析解析 关闭 设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D. 答案解析 关闭 D 6 知识梳理 -8- 知识梳理双基自测234156 3.函数f(x)=x2-2ln x的单调减区间是( ) A.(0,1)B.(1,+) C.(-,1)D.(-1,1) 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -9- 知识梳理双基自测234156 4.函数f(x)=x3-3x2
5、+2在区间-1,1上的最大值是( ) A.-2B.0C.2D.4 答案解析解析 关闭 f(x)=3x2-6x,令f(x)=0,得x=0或x=2. f(x)在-1,0)上是增函数,在(0,1上是减函数. f(x)max=f(0)=2. 答案解析 关闭 C 知识梳理 -10- 知识梳理双基自测234156 5.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增 函数,则实数a的取值范围为 . 答案解析解析 关闭 函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数, f(x)=3x2+2ax+30在R上恒成立, =4a2-360,解得-3a3. 答案解析 关闭 -3,3 知识
6、梳理 -11- 知识梳理双基自测234156 答案解析解析 关闭 由题意知,只在x=-1处f(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案解析 关闭 1 6.(教材习题改编P32T4)如图是f(x)的导函数f(x)的图象,则f(x)的极 小值点的个数为 . -12- 考点1考点2考点3 考向一 讨论函数的单调性或求单调区间 例1(2018全国,理21)已知函数f(x)= -x+aln x. (1)讨论f(x)的单调性; 思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间? -13- 考点1考点2考点3 -14- 考点1考点2考点3 (2)证明：由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a
7、2. 由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1, 不妨设x11. -15- 考点1考点2考点3 考向二 已知函数单调性求参数的取值范围 思考已知函数单调性求参数的一般思路是什么? -16- 考点1考点2考点3 -17- 考点1考点2考点3 解题心得1.利用导数讨论函数单调性或求单调区间的方法 (1)方法一:确定函数y=f(x)的定义域; 求导数y=f(x); 解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; 解不等式f(x)0(或 f(x)0,则由f(x)=0得x=ln a. 当x(-,ln a)时,f(x)0. 故f(x)在(-,ln a)上单调递减
8、,在(ln a,+)上单调递增. -22- 考点1考点2考点3 (2)若a=1,则f(x)=3x-2x2+ln x的定义域为(0,+), 当x(0,1)时,f(x)0,即函数f(x)=3x-2x2+ln x单调递增; 当x(1,+)时,f(x)0时,函数f(x)在x=a处取得极 小值a-aln a,无极大值. -26- 考点1考点2考点3 解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是 f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是 单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,
9、则函数y=f(x)在 此区间上一定没有极值. 3.利用导数研究函数极值的一般流程: -27- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练2(1)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的 极小值为( ) A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1 A -28- 考点1考点2考点3 解析:由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a- 1ex-1. 因为x=-2是函数f(x)的极值点, 所以f(-2)=0.所以a=-1. 所以f(x)=(x2-x-1)ex-1. 所以f(x)=(x2+x-2)ex-1. 令f(x)=0,解
10、得x1=-2,x2=1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故 选A. -29- 考点1考点2考点3 (2)已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,cR)的导函数f(x)为偶函数,且 曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c. 确定a,b的值; 若c=3,判断f(x)的单调性; 若f(x)有极值,求c的取值范围. 解:对f(x)求导,得f(x)=2ae2x+2be-2x-c, 由f(x)为偶函数,知f(-x)=f(x)恒成立,即2(a-b)(e2x-e-2x)=0
11、,所以a=b. 又f(0)=2a+2b-c=4-c, 故a=1,b=1. 当c=3时,f(x)=e2x-e-2x-3x,则 故f(x)在R上为增函数. -30- 考点1考点2考点3 由(1)知f(x)=2e2x+2e-2x-c, 当且仅当x=0时等号成立. 下面分三种情况进行讨论: 当c0,此时f(x)无极值; 当c=4时,对任意x0,f(x)=2e2x+2e-2x-40,此时f(x)无极值; 当c4时,令e2x=t, 当x0; 当x1x2时,f(x)0,从而f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极 小值. 综上,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+). -32- 考点1考点2
12、考点3 -33- 考点1考点2考点3 解 (1)f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+). 当且仅当x=0时,f(x)=0, 所以f(x)在(-,-2),(-2,+)内单调递增. 因此当x(0,+)时,f(x)f(0)=-1. 所以(x-2)ex-(x+2), 即(x-2)ex+x+20. 由(1)知,f(x)+a在定义域上单调递增. 对任意a0,1),f(0)+a=a-10,f(2)+a=a0. 因此,存在唯一xa(0,2,使得f(xa)+a=0,即g(xa)=0. -34- 考点1考点2考点3 -35- 考点1考点2考点3 解题心得求函数f(x)在a,b上的最值的方法: (1)若函数在区
13、间a,b上单调递增或递减,则f(a)与f(b)一个为最大 值,一个为最小值. (2)若函数在闭区间a,b内有极值,要先求出a,b上的极值,与 f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成. (3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最 大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到. -36- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练3(1)若函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2(0x1)在x=1处取得 最小值,则实数a的取值范围是( ) 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -37- 考点1考点2考点3 (2)已知函数f(x)=excos x-x. 求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; 解：因为f(x)=excos x-x, 所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1. 设h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.