2019年高考数学高考题和高考模拟题分章节汇编专题09不等式、推理与证明文（含解析）.pdf

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1、专题 09 不等式、推理与证明专题 09 不等式、推理与证明 1【2019 年高考全国 I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度 之比是（0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人 51 2 51 2 体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿 51 2 长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A165 cmB175 cm C185 cmD190 cm 【答案】B 【解析】方法一：如下图所示. 依题意可知： ， 5151 , 22 ACAB CDBC 腿长为

2、 105 cm 得，即，105CD ， 51 64.89 2 ACCD ，64.89 105169.89ADACCD 所以AD169.89. 头顶至脖子下端长度为 26 cm， 即ABb2ababab4ab ，解得，充分性成立；24abab4ab 当时， 满足， 但此时， 必要性不成立， 综上所述， “” 是 “”=1, =4ab4ab =54a+b4ab4ab 的充分不必要条件. 【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋 值法” ，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果., a b 8 【2019 年高考全国 II 卷文数】 若变量x

3、，y满足约束条件则z=3xy的最大值是_. 2360 30 20 xy xy y ， ， ， 【答案】9 【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示， 阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线30xyz z 过点时，取最大值为 93zxy3,0C （ z 【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取图 解法，利用数形结合思想解题搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截 距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值 9 【2019 年高考全国 II 卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文

4、化的代表之一印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）半正多面 体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数 为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多 面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 【答案】26， 21 【解析】 【答案】26， 21 【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有 9 个面，计 18 个面，第二层共有 8 个面，所以该半正多面体共有个面18826 如图，设该半正多面体的棱

5、长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于 x ABBExCBFEGBC ，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，HBGE ， 22 ,2( 21)1 22 BGGECHxGHxxx ， 1 21 21 x 即该半正多面体棱长为 21 【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实 很简单，稳中求胜是关键立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形 10 【2019 年高考北京卷文数】若x，y满足则的最小值为_，最大值为 2, 1, 4310, x y xy yx _ 【答案】；13 【解析】根据题中所给约束条件作出可行域，如图中

6、阴影部分所示. 设，则，求出满足在可行域范围内z的最大值、最小值即可，zyx= +y x z 即在可行域内，当直线的纵截距最大时，z有最大值，当直线的纵截距最小时，z有最= +y x z= +y x z 小值. 由图可知，当直线过点A时,z有最大值，= +y x z 联立， 2 4310 x xy 可得，即， 2 3 x y (2,3)A 所以； max 321z 当直线过点时，z有最小值，= +y x z(2, 1)B 所以. min 1 23z 【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大， 注重了基础知识、基本技能的考查. 11 【2019

7、年高考天津卷文数】设，则的最小值为_.0,0,24xyxy (1)(21)xy xy 【答案】 9 2 【解析】. (1)(21)22125 2 5xyxyyxxy xyxyxyxy 因为，0,0,24xyxy 所以，2422xyxy 即，当且仅当时取等号成立.22,02xyxy22xy 又因为 19 225 5 = 22xy ， 所以的最小值为. (1)(21)xy xy 9 2 【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立. 12 【2019 年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒

8、、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促 销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支 付款的 80% 当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 _ 【答案】130 ；15. 【解析】 （1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.10x 608010130 （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元, y 元时,李明得到的金额为,符合要求.120y 80%y 元时,有恒成立,即,即元.120y 80%70%yxy

9、87 , 8 y yxy x min 15 8 y x 所以的最大值为. x15 【名师点睛】 本题主要考查不等式的概念与性质数学的应用意识数学式子变形与运算求解能力,以实际 生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 13 （四川省棠湖中学 2019 届高三高考适应性考试数学（理)试题）已知集合，(1)(4)0Ax xx ，则 2 log2BxxAB AB2,41, CD0,42, 【答案】C 【解析】，(1)(4)01,4Ax xx 2 log20,4Bxx 故，故选 C. 0,4AB 【名师点睛】本题考查集合的交集，属于基础题，解题时注意对数不等式的等价转化.

10、 14 【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月)数学试题】若，满足约束条件，则 xy 2 220 1 yx xy y 的最大值为 zxy AB 3 5 - - 1 2 C5D6 【答案】C 【解析】变量，满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示： xy 目标函数是斜率等于 1、纵截距为的直线， zxy z 当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，Az 则此时目标函数取得最大值， z 由可得， 1 220 y xy (4, 1)A 目标函数的最大值为：5 zxy 故选：C 【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用 15 【山东省实验中学等四校 2019

11、 届高三联合考试理科数学试题】已知实数，满足约束条件 xy ，则目标函数的最小值为 20 220 1 xy xy x 2 1 y z x AB 2 3 5 4 CD 4 3 1 2 【答案】B 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 目标函数的几何意义为动点到定点的斜率， 2 1 y z x ,M x y1,2D 当位于时，此时的斜率最小，此时M 1 1, 2 A DA min 1 2 5 2 1 14 z 故选 B 【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通 过数形结合是解决本题的关键 16 【黑龙江省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四

12、次模拟（最后一卷)考试数学试题】设不等式组 ，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式 20 0 0 x xy xy ,P x yP 的概率为 22 2xy AB 8 4 CD 1 2 1 2 【答案】A 【解析】画出所表示的区域如图中阴影部分所示，易知， 20 0 0 x xy xy 2,2 ,2, 2AB 所以的面积为，AOB4 满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为， 22 2xy 2 1 42 由几何概型的公式可得其概率为， 2 = 48 P 故选 A. 【名师点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题. 17 【山西省 201

13、9 届高三高考考前适应性训练（三)数学试题】设，则 0.32 1 log0.6,log 0.6 2 mn ABmnmnmnmnmnmn CDmnmnmnmnmnmn 【答案】A 【解析】， 0.30.3 log0.6log 10,m 22 11 log 0.6log 10, 22 n 0mn ,即，故. 0.60.6 11 log0.3log4 mn 0.60.6 log 1.2log0.611 mn mn mnmn 又，所以. 20mnmnn mnmn 故，所以选 A.mnmnmn 【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简 求值的能力，属中档题

14、. 18 【陕西省 2019 年高三第三次教学质量检测数学试题】若正数满足，则的最小值 ,m n 12nm 11 mn 为 AB 22332 CD3 22 2 【答案】A 【解析】由题意，因为，12nm 则， 111122 () (2)33232 2 nmnm mn mnmnmnmn 当且仅当，即时等号成立， 2nm mn 2nm 所以的最小值为，故选 A. 11 mn 223 【名师点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不等式 准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 19 【浙江省三校 2019 年 5 月份第二次联考数学卷】已知，

15、则取到log2(a - 2) + log2(b - 1) 12a + b 最小值时，ab = AB34 CD69 【答案】D 【解析】由，可得，且.log2(a - 2) + log2(b - 1) 1a - 2 0b - 1 0(a - 2)(b - 1) 2 所以，2a + b = 2(a - 2) + (b - 1) + 5 22(a - 2)(b - 1)+ 5 22 2 + 5 = 9 当且时等号成立，解得.2(a - 2) = b - 1(a - 2)(b - 1) = 2a = b = 3 所以取到最小值时.故选 D.2a + bab = 3 3 = 9 【名师点睛】本题考查基本

16、不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件 要同时满足. 20 【北京市东城区 2019 届高三第二学期综合练习（一)数学试题】某校开展“我身边的榜样”评选活动， 现对 3 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这 3 名候选人的得票数（不考虑是否 有效）分别为总票数的 , ,，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可88%70%46% 能为 AB68%88% C96%D98% 【答案】C 【解析】设投 1 票的有x,2 票的y,3 票的z，则,则,即, 23204 100 , , xyz xyz x y z N 4zx4zx 由题投票有效率越高

17、z越小，则x=0 时，z=4,故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高 可能为 96%.故选：C. 【名师点睛】本题考查推理的应用，考查推理与转化能力，明确有效率与无效票之间的关系是解题关键, 是中档题. 21 【西南名校联盟重庆市第八中学 2019 届高三 5 月高考适应性月考卷数学试题】甲、乙、丙、丁四个人 参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测： 甲说：获奖者在乙丙丁三人中； 乙说：我不会获奖，丙获奖； 丙说：甲和丁中的一人获奖； 丁说：乙猜测的是对的. 成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则 获奖的是 A甲和丁B甲和丙 C

18、乙和丙D乙和丁 【答案】D 【解析】乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若乙、丁的预测成立，则甲、丙 的预测不成立，可知矛盾，故乙、丁的预测不成立，从而获奖的是乙和丁，故选 D. 【名师点睛】本题考查了逻辑推理能力，假设法是解决此类问题常用的方法. 22 【广东省深圳市深圳外国语学校 2019 届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知实数，满足 xy ，则的最大值是_34 2 yx xy x 3zxy 【答案】8 【解析】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示： 其中，2, 2A 1,1B2,2C 又，可知的几何意义为可行域中的点到直线距离的倍 3 10 10 xy z z3

19、0xy 10 可行域中点到直线距离最大的点为.30xy2, 2A ， max 3228z 故填.8 【名师点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义， 利用数形结合来进行求解 23【天津市和平区 2018-2019 学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】 已知， 且0x 1y ，则最小值为_1 yx 22 3 1 xy xy 【答案】23 【解析】， 22 331 1 11 xy xy xyxy 结合可知原式，1 yx 31 1xy 且 13131311 () (4) 112221 yyxx xyxyxy ， 311 4223 21 yx xy 当

20、且仅当时等号成立. 33,23xy 即的最小值为. 22 3 1 xy xy 23 【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为 正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得” ，若忽略了某个条件，就会出现错误 24 【天津市河北区 2019 届高三二模数学试题】 已知首项与公比相等的等比数列中， 若 ， 满足 an mn N ，则的最小值为_aman2= a42 2 m + 1 n 【答案】1 【解析】设等比数列公比为 ，则首项 an qa1= q， 由得：，ama2n= a24a1qm - 1(a1qn - 1)2=(a1q3)2 则：，qm + 2n=

21、 q8 m + 2n = 8 ， 2 m + 1 n = 1 8 (2 m + 1 n)(m + 2n) = 1 8 (2 + 4n m + m n + 2)= 1 8 (4 + 4n m + m n) ，.,m n N 4n m 0, m n 0 则（当且仅当，即时取等号） 4n m + m n 2 4n m m n = 4 4n m = m n 2n = m .( 2 m + 1 n)min = 1 8 (4 + 4) = 1 故填 .1 【名师点睛】本题考查基本不等式求解和最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系， 通过等比数列基本量得到满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形

22、式，利用基本不等式求得结m,n 果. 25 【山东省实验中学等四校 2019 届高三联合考试数学试题】观察下列式子， 1 ln2 3 11 ln3 35 ，根据上述规律，第个不等式应该为_ 111 ln4 357 n 【答案】 111 ln1 3521 n n 【解析】根据题意，对于第一个不等式，则有， 1 ln2 3 1 ln 1 1 2 1 1 对于第二个不等式，则有， 11 ln3 35 11 ln 21 3221 对于第三个不等式，则有， 111 ln4 357 111 ln 31 35231 依此类推： 第个不等式为：， n 111 ln1 3521 n n 故答案为： 111 ln

23、1 3521 n n 【名师点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律 26 【陕西省延安市 2019 届高考模拟试题数学】甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学 里教不同的学科，已知：A，B，C 甲不在延安工作，乙不在咸阳工作； 在延安工作的教师不教 学科；C 在咸阳工作的教师教 学科；A 乙不教 学科.B 可以判断乙工作的地方和教的学科分别是_、_ 【答案】宝鸡，C 【解析】由得在咸阳工作的教师教A学科；又由得乙不在咸阳工作，所以乙不教A学科； 由得乙不教B学科，结合乙不教A学科，可得乙必教C学科， 所以由得乙不在延安工作，由得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作， 综上，乙工作地方和教的学科分别是宝鸡和C学科 故答案为：宝鸡，C 【名师点睛】本题考查简单的合理推理，考查逻辑推理能力，是基础题