2019年高考数学高考题和高考模拟题分章节汇编专题14坐标系与参数方程理（含解析）.pdf

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1、专题 14 坐标系与参数方程专题 14 坐标系与参数方程 1【2019 年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l 1 3 , 24 xt yt 的距离是 ABCD 1 5 2 5 4 5 6 5 【答案】D 【解析】 由题意， 可将直线 化为普通方程 ：， 即， 即，l 12 34 xy 41320xy4320xy 所以点（1，0）到直线 的距离，故选 Dl 22 |402|6 5 43 d 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、 基本运算能力的考查 2【2019 年高考全国卷理数】在直角坐标系xOy中，

2、曲线C的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t ， （t为参数）以 坐 标 原 点O为 极 点 ，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 2cos3 sin110 （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值 【答案】（1）； 的直角坐标方程为；（2） 2 2 1(1) 4 y xx l23110xy7 【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为 2 2 1 11 1 t t 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t 2 2 1(1) 4 y xx 的直角坐标方程

3、为l23110xy （2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，） cos , 2sin x y C上的点到 的距离为l 4cos11 |2cos2 3sin11|3 77 当时，取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 2 3 4cos11 3 l7 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最 值问题求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求 解问题 3【2019 年高考全国卷理数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上， 000 (,)(0)M :4sinC 直线l过点且与垂直，垂足为P(4,0)AOM （

4、1）当时，求及l的极坐标方程； 0= 3 0 （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程 【答案】（1），l的极坐标方程为； 0 2 3cos2 3 （2）4cos , 4 2 【解析】（1）因为在C上，当时， 00 ,M 0 3 0 4sin2 3 3 由已知得| |cos2 3 OPOA 设为l上除P的任意一点在中，( , )Q RtOPQcos| 2 3 OP 经检验，点在曲线上(2,) 3 P cos2 3 所以，l的极坐标方程为cos2 3 （2）设，在中，即( , )P RtOAP| |cos4cos ,OPOA 4cos 因为P在线段OM上，且，故的取值范围是

5、APOM, 4 2 所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos , 4 2 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型 4【2019 年高考全国卷理数】如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A( 2,) 4 B ( 2,) 4 C (2, )D 弧，所在圆的圆心分别是， 曲线是弧， 曲线是弧， AB BC CD (1,0)(1,) 2 (1, ) 1 M AB2 M BC 曲线是弧 3 M CD （1）分别写出，的极坐标方程； 1 M 2 M 3 M （2）曲线由，构成，若点在M上，且，求P的极坐标M 1 M 2 M 3 M P|3OP 【答案】（1）的极坐标方程

6、为，的极坐标方程为 1 M 2cos0 4 2 M ，的极坐标方程为 3 2sin 44 3 M 3 2cos 4 （2）或或或 3, 6 3, 3 2 3, 3 5 3, 6 【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为， ,AB BC CD2cos2sin 2cos 所以的极坐标方程为，的极坐标方程为， 1 M 2cos0 4 2 M 3 2sin 44 的极坐标方程为 3 M 3 2cos 4 （2）设，由题设及（1）知( , )P 若，则，解得； 0 4 2cos3 6 若，则，解得或； 3 44 2sin3 3 2 3 若，则，解得 3 4 2cos3 5 6 综上，P的极坐

7、标为或或或 3, 6 3, 3 2 3, 3 5 3, 6 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题 5【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为3,2, 42 AB sin3 4 （1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离 【答案】（1）；（2）25 【解析】（1）设极点为O在OAB中，A（3，），B（，）， 4 2 2 由余弦定理，得AB= 22 3( 2)2 32cos()5 24 （2）因为直线l的方程为，sin()3 4 则直线l过点，倾斜角为(3 2,) 2 3 4 又，所以点B到直线l的距离为( 2,)

8、 2 B 3 (3 22) sin()2 42 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力 6【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系中，已知曲线的参xOy 1 C 数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 510cos () 10sin x y 为参数Ox 线的极坐标方程为 2 C4cos （1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程； 1 C 2 C （2）若直线 的极坐标方程为，直线 与轴的交点为，与曲线相交于lsin()2 2 4 l y M 1 C,A B 两点，求的值MAMB 【答案】（1）；（2） 5

9、cos 2 9 2 【解析】（1）曲线的普通方程为：， 1 C 22 (5)10xy 曲线的普通方程为：，即， 2 C 22 4xyx 22 (2)4xy 由两圆心的距离，所以两圆相交，3( 102, 102)d 所以两方程相减可得交线为，即6215x 5 2 x 所以直线的极坐标方程为 5 cos 2 （2）直线 的直角坐标方程：，则与轴的交点为，l4xy y (0,4)M 直线 的参数方程为，带入曲线得l 2 2 2 4 2 xt yt 1 C 22 (5)10xy 2 9 2310tt 设两点的参数为，,A B 1 t 2 t 所以，所以，同号 12 9 2tt 1 2 31t t 1

10、t 2 t 所以 1212 9 2MAMBtttt 【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题 7【山东省郓城一中等学校 2019 届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数 方程为（为参数）， 在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 点M 3cos sin x y 的极坐标为，直线l的极坐标方程为 3 2 2, 4 sin2 20 4 （1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程； （2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值 【答案】（1），；（2）40xy 2 2 1 3

11、x y 7 2 2 【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为， sin2 20 4 即sincos40由xcos，ysin， 可得直线l的直角坐标方程为xy40 将曲线C的参数方程，消去参数a， 3cos sin x y 得曲线C的普通方程为 2 2 1 3 x y （2）设N（，sin），0，2）3cos 点M的极坐标（，），化为直角坐标为（2，2） 2 2 3 4 则 31 cos1,sin1 22 P 所以点P到直线l的距离， 31 cossin6 sin6 22 37 2 222 d 所以当时，点M到直线l的距离的最大值为 5 6 7 2 2 【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程

12、和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考 查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 8【河南省周口市 20182019 学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系中，直线 的xOyl 参数方程为（ 为参数）， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 4, 2 2 3 2 xt yt tC 的极坐标方程为 22 3sin12（） （1）求直线 的普通方程与曲线的直角坐标方程；lC （2）若直线 与曲线交于两点，且设定点，求的值lCAB，21P （ ， ） PBPA PAPB 【答案】（1） 普通方程为，C直角坐标方程为；（

13、2）l10xy 22 1 43 xy 86 7 【解析】（1）由直线 的参数方程消去 ，得普通方程为 l t10xy 等价于， 22 3sin12（） 222 3sin12 将代入上式，得曲线的直角坐标方程为， 222 sinxyy，C 222 312xyy（） 即 22 1 43 xy （2）点在直线上，所以直线 的参数方程可以写为为参数），21P （ ， ）10xy l 2 2 2 2 1 2 xt t yt ， （ 将上式代入，得 22 1 43 xy 2 720 280tt 设对应的参数分别为，则，AB， 12 tt， 121 2 20 28 77 ttt t ， 所以 22 |PAP

14、B PBPA PAPBPA PB 2 2PAPBPA PB PA PB （） 2 1212 12 2ttt t t t （） 2 1212 12 |2ttt t t t 2 20 28 2 86 77 8 7 7 （） 【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握 直线参数方程中参数的几何意义 9【河南省郑州市第一中学 2019 届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴 已知点P的直角坐标为， 点M的极坐标为若直线l过点P， 且倾斜角为，15（， ） 4 2 （ ，） 3 圆C以M为圆心、4 为半径 （1）求直

15、线l的参数方程和圆C的极坐标方程； （2）试判定直线l和圆C的位置关系 【答案】（1）（ 为参数），；（2）直线 与圆相离 1 1 2 3 5 2 xt yt t8sinlC 【解析】（1）直线 的参数方程（ 为参数）， l 1 11 cos 23 3 5sin 5 3 2 xtxt yt yt t M点的直角坐标为（0，4），圆C的半径为 4， 圆C的方程为，将代入， 22 416xy（） cos sin x y 得圆C的极坐标方程为，即； 222 cos( sin4)168sin （2）直线 的普通方程为，l3530xy 圆心M到 的距离为，l 453 93 4 22 d 直线 与圆C相离

16、l 【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题 10【全国 I 卷 2019 届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系中，直线 的参数方程为xOyl （ 为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐 2 2 2 2 xmt yt tOxC 标方程为，其左焦点在直线 上 2222 cos3sin48Fl （1）若直线 与椭圆交于两点，求的值；lCAB，FAFB （2）求椭圆的内接矩形面积的最大值C 【答案】（1）；（2）4 332 3 【解析】（1）将代入2cos232sin248， cos sin x y 得x23y248，即， 22 1 481

17、6 xy 因为c2481632，所以F的坐标为（，0），4 2 又因为F在直线l上，所以4 2m 把直线l的参数方程代入x23y248， 2 4 2 2 2 2 xt yt 化简得t24t80，所以t1t24，t1t28， 所以 2 12121 2 4164 84 3FAFBttttt t （） （2）由椭圆C的方程，可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为（， 22 1 4816 xy 4 3cos 4sin）（）， 0 2 所以内接矩形的面积，8 3cos8sin32 3sin2S 当时，面积S取得最大值 4 32 3 【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方

18、程转化为直 cos sin x y 角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生， 222 tan xy y x 2 cos， 以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，sin 从而利用一元函数求与动点有关的最值问题 11【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l的参数方程为 （t为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度 1cos , 1sin xt yt 0x 单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 4 1 sin （1）当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐

19、标方程； 6 a （2）已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围11P ，PAPB 【答案】（1）；（2） 22 31301 42 xy xy ， 1 1 2 ， 【解析】（1）当时，直线 的参数方程为 6 a l 3 1cos, 1 6 2 1 1sin 1 6 2 xt xt yt yt ， 消去参数t得3130xy 由曲线C的极坐标方程为，得， 2 2 4 1 sin 2 2 sin4 将，及代入得，即； 222 xysiny 22 24xy 22 1 42 xy （2）由直线 的参数方程为（ 为参数，），l 1cos , 1sin xt yt t0 可知直线 是过点P（

20、1，1）且倾斜角为的直线，l 又由（1）知曲线C为椭圆，所以易知点P（1，1）在椭圆C内， 22 1 42 xy 将代入中，整理得 1cos , 1sin xt yt 22 1 42 xy ， 22 1 sin2 2sinc s10tot 设A，B两点对应的参数分别为， 12 tt， 则， 12 2 1 1 sin t t 所以， 12 2 1 1 sin PAPBt t 因为，所以，0 2 sin01， 所以， 12 2 11 1 1 sin2 PAPBt t ， 所以的取值范围为PAPB 1 1 2 ， 【名师点睛】 利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P（x0，y0）， 倾斜

21、角为的直线l 的参数方程为（t为参数）若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为， 0 0 cos sin xxt yyt 12 tt， 线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：（1）；（2） 0 t 12 0 2 tt t ；（3）；（4） 12 0 2 tt PMt 21 ABtt 12 PA PBt t 12【河南省信阳高级中学 20182019 学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系中，以为xOyO 极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为； 直xC2sin2 cos0aa（） 线 的参数方程为（ 为参数）直线 与曲线分别交于两点l 2

22、 2 2 2 2 xt yt tlCMN， （1）写出曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程；Cl （2）若点的极坐标为，求的值P25 2PMPN，a 【答案】（1）曲线的直角坐标方程为 ：，直线 的普通方程为C 22 2 11xayal2yx （2）2a 【解析】（1）由，得，2sin2 cos0aa 2 2 sin2cos0aa 所以曲线的直角坐标方程为，C 22 22xyyax 即，直线 的普通方程为 22 2 11xayal2yx （2）将直线 的参数方程代入并化简、整理，l 2 2, 2 2 2 xt yt 22 22xyyax 得因为直线 与曲线交于两点 2 3 22440ta ta

23、lCMN， 所以，解得 2 3 224 440aa1a 由根与系数的关系，得 121 2 3 2244ttat ta， 因为点的直角坐标为，在直线 上所以，P2 0 ，l 12 3 225 2PMPNtta 解得，此时满足且，故2a 0a 1a 2a 【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参 22 cossin1 数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化， 这类问题一般我们可以先把曲 222 tan cos , sin xy x y x y 线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题

24、13 【河南省豫南九校 （中原名校） 2017 届高三下学期质量考评八数学】 己知直线 的参数方程为l 1 32 xt yt （t为参数）， 曲线C的极坐标方程为， 直线 与曲线C交于A、B两点， 点 2 sin16cos0l13P （， ） （1）求直线 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；l （2）求的值 11 PAPB 【答案】（1），；（2）21yx 2 16yx 8 10 35 【解析】（1）直线l的参数方程为（t为参数）， 1 32 xt yt 消去参数，可得直线l的普通方程，21yx 曲线C的极坐标方程为，即， 2 sin16cos0 22 sin16 cos0 曲线C的直角坐标方

25、程为， 2 16yx （2）直线的参数方程改写为（t为参数）， 5 1 5 2 5 3 5 xt yt 代入， 22 121 2 44 535 16705 554 yxttttt t ， 12 1 2 118 10 35 tt PAPBt t 【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标 222 cos sin x y xy 的相互转化 14【河南省开封市 2019 届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系中，直线 的参数方程是xOyl （t为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非 1 xt yt C 22cos 2sin x y Ox 负半轴

26、为极轴建立极坐标系 （1）求直线 和曲线的极坐标方程；lC （2）已知射线（其中）与曲线交于两点，射线与直 1 OP： 0 2 COP， 2 2 OQ： 线 交于点，若的面积为 1，求的值和弦长lQOPQOP 【答案】（1），；（2）cossin10 4cos 2 2 4 OP， 【解析】（1）直线 的普通方程为，极坐标方程为，l10xy cossin10 曲线的普通方程为，极坐标方程为C 22 24xy（）4cos （2）依题意， 0 2 （ ，）4cosOP ， 1 sincos 22 OQ （）（） 1 sincos ， 12cos 1 2cossin OPQ SOP OQ ， tan1

27、0 2 ，（ ，） 2 2 4 OP， 【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标 方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 15【四川省成都市第七中学 2019 届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系中，曲线的参数标xOyC 方程为（其中 为参数），在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标 ee ee tt tt x y tOx 系的单位长度相同）中，直线 的极坐标方程为l sin2 3 （1）求曲线的极坐标方程；C （2）求直线 与曲线的公共点的极坐标lCP 【答案】（1）（2） 2 co

28、s24 44 2 2 6 ， 【解析】（1）消去参数 ，得曲线的直角坐标方程 tC 22 42xyx 将代入，得cossinxy， 22 4xy 222 cossin4 所以曲线的极坐标方程为C 2 cos24 44 （2）将 与的极坐标方程联立，消去得lC 2 4sin2cos2 3 展开得 2222 3cos2 3sin cossin2 cossin 因为，所以cos0 2 3tan2 3tan10 于是方程的解为，即 3 tan 3 6 代入可得，所以点的极坐标为 sin2 3 2 2P 2 2 6 ， 【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方

29、程联 立求交点的问题，考查计算能力 16【黑龙江省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 的参数方程为（O x l 2 2 xt yt t 为参数），曲线的极坐标方程为C 2 cos8sin （1）求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；C （2）若直线 与曲线的交点分别为，求lCMNMN 【答案】（1）曲线方程为，表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线；（2）10C 2 8xy0,2 y 【解析】（1）因为，所以，即， 2 cos8sin 22 cos8 sin 2 8xy 所以

30、曲线表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线C0,2 y （2）设点，点 11 ,M x y 22 ,N xy 直线 过抛物线的焦点，则直线参数方程为化为一般方程为，代入曲线l0,2 2 2 xt yt 1 2 2 yxC 的直角坐标方程，得， 2 4160xx 所以 1212 4,16xxx x 所以 222 2 121212 1MNxxyykxx 2 2 1212 14kxxx x 2 21 1441610 2 【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于 简单题 17【河北省石家庄市 2018 届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系中，曲线

31、的方xOy 1 C 程为，直线 的参数方程（ 为参数），若将曲线上的点的横坐标不变， 22 4xyl 2 3 33 xt yt t 1 C 纵坐标变为原来的倍，得曲线 3 2 2 C （1）写出曲线的参数方程； 2 C （2）设点，直线 与曲线的两个交点分别为，求的值2 3 3P （，）l 2 CAB， 11 PAPB 【答案】（1）（为参数）；（2） 2cos 3sin x y 1 2 【解析】（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的， 1 C 3 2 则曲线的直角坐标方程为，整理得， 2 C 22 2 4 3 xy（） 22 1 49 xy 曲线的参数方程（为参数） 2 C 2cos 3si

32、n x y （2）将直线的参数方程化为标准形式为（为参数）， 1 2 2 3 3 3 2 xt yt t 将参数方程带入得 22 1 49 xy 22 13 ( 2)(3 3) 22 1 49 tt 整理得 2 7 18360 4 tt（ ） ， 121 2 72144 77 PAPBttPA PBt t ， 72 111 7 144 2 7 PAPB PAPBPA PB 【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与 化归能力遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直 角坐标方程后求解， 或者直接利用直线参数的几何意义求解 要结合题目本身特点， 确定选择何种方程