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1、第五节 指数与指数函数 2019 考纲考题考情 1根式 (1)根式的概念 根式的概念符号表示备注 如果 xna， 那么 x 叫做 a 的 n 次方 根 n1 且 nN* 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是 一个正数，负数的 n 次方根是一个 负数 n a 零的 n 次方根 是零 当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有 两个，这两个数互为相反数 (a0) n a 负数没有偶次 方根 (2)两个重要公式 Error!Error! n an ()na(注意 a 必须使有意义)。 n a n a 2有理数的指数幂 (1)幂的有关概念 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义，0 的 零
2、次幂无意义。 (2)有理数指数幂的运算性质 arasars(a0，r，sQ)。 (ar)sars(a0，r，sQ)。 (ab)rarbr(a0，b0，rQ)。 3指数函数的图象与性质 yaxa10a1 图象 定义域R 值域(0，) 1指数函数图象的画法 画指数函数 yax(a0， 且 a1)的图象， 应抓住三个关键点 ： (1，a)，(0,1)，。 (1， 1 a) 2指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数yax， ybx， ycx， ydx的图象， 底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 cd1ab0。由此我 们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 yax(a0，a1) 的
3、图象越高，底数越大。 3 指数函数 yax(a0， a1)的图象和性质跟 a 的取值有关， 要特别注意应分 a1 与 00，且 a1)的图 象经过点 P，则 f(1)_。 (2， 1 2) 解析 由题意知 a2，所以 a，所以 f(x) x，所 1 2 2 2 ( 2 2 ) 以 f(1) 1 。 ( 2 2 ) 2 答案 2 3(必修 1P59A 组 T7改编)已知 a，b，c ( 3 5) ( 3 5) ( 3 2) ，则 a，b，c 的大小关系是_。 解析 因为 y x是减函数，所以 0，即 ( 3 5) ( 3 5) ( 3 5) ( 3 5) ab1，又 c1， 则 f(x)maxf
4、(1)a2； 若 00，且 a1)的图象可能是( ) 1 a A B C D 解析 当a1时， yax 为增函数， 且在y轴上的截距为0 1) 个单位长度得到的。故选 D。 解析：函数 yax (a0，且 a1)的图象必过点(1,0)， 1 a 故选 D。 答案 D 考点一 指数幂的运算 【例 1】 (1)下列命题中，正确命题的个数为( ) a；aR，则(a2a1)01； x y； n an 3 x4y3 4 3 。 3 5 6 52 A0B1 C2D3 解析 (1)若n是奇数， 则a； 若n是偶数， 则|a| n an n an Error!Error!所以错误 ； 因为 a2a1 恒不为
5、0，所以(a2a1)0有 意义且等于 1，所以正确；不能化简为y，所 3 x4y3 以错误 ； 因为0，所以，所 3 5 6 52 3 5 6 52 以错误。故选 B。 (2)原式1 1 1 1 4 ( 4 9) 1 2 ( 1 100) 1 2 1 4 2 3 1 10 1 6 1 10 。 16 15 答案 (1)B (2) 16 15 2 5 指数幂运算的一般原则 1有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算。 2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。 3底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数； 底数是带分数的，先化成假分数。 【变式训练】 (其 中 a0，b0)_。 (2)
6、化简 a()5的值为_。 1 a 5 a 6 a6 解 析 (1)原 式 21 3101 。 8 5 (2)由题意可得 a1，b1，b0 C00 D00，且 a1)的图象，应抓住三个关 键点：(1，a)，(0,1)，。 (1， 1 a) 2与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数 函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象。 3一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指 数型函数图象数形结合求解。 考点三 指数函数的性质及应用微点小专题 方向 1：指数函数的单调性应用 【例 3】 (1)(2019福建厦门模拟)已知 a 0.3，blog ( 1 2) 1 2 0.3，cab，
7、则 a，b，c 的大小关系是( ) Aa1 且 a2)在区间(0， ) 上具有不同的单调性， 则 M(a1)0.2与 N 0.1的大小关系是 ( 1 a) ( ) AMN BMN CMN 解析 (1)blog 0.3log1a 0.3，cab1 且 a2)在区间(0，) 上具有不同的单调性，所以 a2，所以 M(a1)0.21，N(1 a) 0.1N。故选 D。 答案 (1)B (2)D 比较指数式的大小的方法 1能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大 小。 2不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小。 方向 2：复合函数的单调性应用 【例 4】 (1)已知函数 f(x)2|
8、2xm|(m 为常数)，若 f(x)在区 间2，)上是增函数，则 m 的取值范围是_。 (2)函数 f(x)的单调递减区间 为_。 解析 (1)令 t|2xm|，则 t|2xm|在区间上单 m 2 ，) 调递增， 在区间上单调递减。 而 y2t为 R 上的增函数， (， m 2 所以要使函数 f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有 2， m 2 即 m4，所以 m 的取值范围是(，4。 (2)设 ux22x1，因为 y u在 R 上为减函数，所以 ( 1 2) 函数 f(x)的减区间即为函数 u x22x1 的增区间。 又 ux22x1 的增区间为(， 1， 所以 f(x)的减区间为(，
9、1。 答案 (1)(，4 (2)(，1 求解与指数函数有关的复合函数问题， 首先要熟知指数函数 的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构 成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减” 这一性质分析判断。 方向 3：指数函数性质的综合问题 【例 5】 (1)函数 f(x)a(a，bR)是奇函数，且图 b ex1 象经过点，则函数 f(x)的值域为( ) (ln3， 1 2) A(1,1)B(2,2) C(3,3)D(4,4) (2)若不等式 12x4xa0 在 x(，1时恒成立，则实 数 a 的取值范围是_。 解析 (1)函数 f(x)为奇函数，定义域是 R，则 f
10、(0)a 0 b 2 ，函数图象过点，则 f(ln3)a 。结合可 (ln3， 1 2) b 4 1 2 得 a1，b2，则 f(x)1。因为 ex0，所以 ex11， 2 ex1 所以 0。因 ( 1 4) x(1 2) x 为函数y x和yx在R上都是减函数， 所以当x(， 1 ( 1 4) ( 1 2) 时， x ，x ，所以xx ，从而得 ( 1 4) 1 4 ( 1 2) 1 2 ( 1 4) ( 1 2) 1 4 1 2 3 4 。故实数 a 的取值范围为 a 。 ( 1 4) x(1 2) x 3 4 3 4 答案 (1)A (2)(3 4，) 指数函数性质的重点是其单调性， 解
11、题中注意利用单调性实 现问题的转化。 【题点对应练】 1 (方向 1)已知 a， b(0,1)(1， )， 当 x0 时， 10 时，11。因为 x0 时，bx0 时， x1。 所以 1， 所以 ab。 所以 10，且 a1)，满足 f(1) ， 1 9 则 f(x)的单调递减区间是( ) A(，2B2，) C2，)D(，2 解析 由 f(1) ，得 a2 ，解得 a 或 a (舍去)， 1 9 1 9 1 3 1 3 即 f(x) |2x4|。 由于 y|2x4|在(， 2上递减， 在2， ) ( 1 3) 上递增， 所以 f(x)在(， 2上递增， 在2， )上递减。 故选 B。 答案 B
12、 4(方向 3)当 x(，1时，不等式(m2m)4x2x0， a1)对应的图象如图所示，则 g(x)( ) A x B x ( 1 2) ( 1 2) C2xD2x 解析 由图象可知， 当 x0 时， 函数 f(x)单调递减， 则 00， 1 2 1 2 ( 1 2) 则f(x) xg(x)， 即g(x)x2x， 故g(x)2x， ( 1 2) ( 1 2) x0 在区间(1，)内恒成立。所以 Error!Error!所以8a6，即 a 的取值范围是8，6。 答案 8，6 3(配合例 5 使用)已知定义在 R 上的函数 f(x)2x 。 1 2x (1)若 f(x) ，求 x 的值； 3 2 (2)若 2tf(2t)mf(t)0 对任意 t1,2恒成立， 求实数 m 的取 值范围。 解 (1)由 f(x) 2x 2(2x)232x20(2x 3 2 1 2x 3 2 2)(22x1)0。 因为 2x0，所以 2x2，所以 x1。 (2)由 2tf(2t)mf(t)02tm0m(2t (2 2t 1 22t) (2 t1 2t) 2t)2t(22t22t)。 又 t1,22t2t0m2t(2t2t)， 即 m22t1，只需 m(22t1)max。 令 y22t1，t1,2， 可得 ymax2215，故 m5。