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1、第五节 合情推理与演绎推理 2019 考纲考题考情 1合情推理 (1)归纳推理 定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事 物的全部对象都具有这些特征的推理， 或者由个别事实概括出一 般结论的推理。 特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。 (2)类比推理 定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某 些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。 特点：是由特殊到特殊的推理。 2演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把 这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推 理。 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 大前提已知的一般
2、原理。 小前提所研究的特殊情况。 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断。 1合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不 一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。 2在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面 现象去类比，就会犯机械类比的错误。 3应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提， 如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或 小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。 一、走进教材 1(选修 12P35A 组 T4改编)对于任意正整数 n,2n与 n2的 大小关系为( ) A当 n2 时，2nn2 B当 n3 时，2nn2 C当 n4 时，
3、2nn2 D当 n5 时，2nn2 解析 当n2时， 2nn2； 当n3时， 2nn2；当 n6 时，2nn2；归纳判断，当 n5 时，2nn2。故选 D。 答案 D 2 (选修 12P35A 组 T6改编)在等差数列an中， 若 a100， 则有 a1a2ana1a2a19n(nb0)外，过 P0作椭圆的 x2 a2 y2 b2 两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是 x0x a2 y0y b2 1。 那么对于双曲线则有如下命题 ： 若 P0(x0， y0)在双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)外，过 P0作双曲线的两条切线，切点为 P1，P2， 则切 点弦
4、 P1P2所在直线的方程是_。 解析 (1)由题意得， 二维空间中， 二维测度的导数为一维测 度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度。由此归纳，在四 维空间中，四维测度的导数为三维测度，故 W2r4。故选 A。 (2)由椭圆与双曲线类比可得，切点弦 P1P2所在的直线方程 为1。 x0x a2 y0y b2 答案 (1)A (2)1 x0x a2 y0y b2 1进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、 联想进行类比，提出猜想。其中找到合适的类比对象是解题的关 键。 2类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维 的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比； 圆锥曲
5、线间的类比等。 【变式训练】 (2019桂林模拟)我国古代数学名著 九章算 术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至 于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”它体现了一种无限与有 限的转化过程。比如在表达式 1中“”即代表无限 1 1 1 1 次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 1 x 求得 x 1 x 。 类比上述过程， 则 51 2 2 0182 0172 0182 017 _。 解析 由题意可得x(x0)，整理得(x2 0182 017x 1)(x2 018)0(x0)，解得 x2 018，即 2 018。 2 0182 0172 0182 017 答案 2 018 考点
6、三 演绎推理 【例 3】 (1)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函 数 f(x)，若 f(x0)0，则 xx0是函数 f(x)的极值点，因为 f(x)x3 在 x0 处的导数值为 0，所以 x0 是 f(x)x3的极值点，以上 推理( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确 (2)(2019湖南模拟)天干地支纪年法源于中国， 中国自古便有 十天干与十二地支。十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、 壬、癸 ； 十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、 戌、亥。天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配， 排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支
7、由“子” 起，例如，第一年为“甲子” ，第二年为“乙丑” ，第三年为“丙 寅” ，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重 新开始，即“甲戌”“乙亥” ，然后地支回到“子”重新开始， 即“丙子” ，以此类推。已知 1949 年为“己丑”年，那么到中华 人民共和国成立 80 年时为_年( ) A丙酉 B戊申 C己申 D己酉 解析 (1)大前提是 “对于可导函数 f(x)， 若 f(x0)0， 则 xx0 是函数 f(x)的极值点” ，不是真命题，因为对于可导函数 f(x)，如 果 f(x0)0， 且满足在 x0附近左右两侧导函数值异号， 那么 xx0 才是函数 f(x)的极值点，所以大前提错
8、误。故选 A。 (2)天干以 10 循环， 地支以 12 循环， 从 1949 年到 2029 年经 过 80 年，且 1949 年为“己丑”年，以 1949 年的天干和地支分 别为首项，80108，则 2029 年的天干为己；801268， 则 2029 年的地支为酉。故选 D。 答案 (1)A (2)D 演绎推理的推证规则 1演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论， 应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提， 如果前提是显然的，则可以省略。 2在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由 几个三段论才能完成。 【变式训练】 (1)用“三段论”推理 ： 任何实数的
9、绝对值大 于 0，因为 a 是实数，所以 a 的绝对值大于 0。你认为这个推理 ( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D是正确的 (2)在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下 关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读 量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之 和。那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为_。 解析 (1)实数 0 的绝对值等于 0，不大于 0，大前提错误。 (2)因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅 读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读 量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙
10、、丙阅 读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、 丙。 答案 (1)A (2)甲、丁、乙、丙 Error!Error! 1(配合例 1 使用)(1)给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) 记第 i 行的第 j 个数对为 aij，如 a43(3,2)，则 anm( ) A(m，nm1) B(m1，nm) C(m1，nm1) D(m，nm) (2)观察下列式子：1,121,12321,12343 21，由以上可推测出一个一般性结论 ： 对于 nN*，则 1 2n21_。 解析 (1)由前
11、4 行的特点， 归纳可得 ： 若 anm(a， b)， 则 a m，bnm1，所以 anm(m，nm1)。 (2)由 112,121422,12321932,123 43211642， 归纳猜想可得 12n2 1n2。 答案 (1)A (2)n2 2(配合例 2 使用)如图，在ABC 中，O 为其内切圆圆心， 过O的直线将三角形面积分为相等的两部分， 且该直线与AC， BC 分别相交于点 F，E，则四边形 ABEF 与CEF 的周长相等。试 将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题 的正确性。 解 如图，截面 AEF 经过四面体 ABCD 的内切球(与四个面 都相切的球)的球心
12、 O，且与 BC，DC 分别交于点 E，F，若截面 将四面体分为体积相等的两部分， 则四棱锥 ABEFD 与三棱锥 A EFC 的表面积相等。 下面证明该结论的正确性： 设内切球半径为 R， 则VABEFD (SABDSABESADFS四边形BEFD)RVA 1 3 EFC (SAECSACFSECF)R， 1 3 即 SABDSABESADFS四边形 BEFDSAECSACFS ECF，两边同加 SAEF可得结论。 3 (配合例3使用)数列an的前n项和记为Sn， 已知a11， an 1 Sn(nN*)。证明： n2 n (1)数列是等比数列； Sn n (2)Sn14an。 证明 (1)因为 an1Sn1Sn，an1Sn， n2 n 所以(n2)Snn(Sn1Sn)， 即 nSn12(n1)Sn。 故2，(小前提) Sn1 n1 Sn n 故是以 2 为公比，1 为首项的等比数列。(结论) Sn n (大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知数列是等比数列，(大前提) Sn n 所以4(n2)， Sn1 n1 Sn1 n1 即 Sn14(n1)4Sn14an(n2)。 Sn1 n1 n12 n1 又 a23S13，S2a1a21344a1，(小前提) 所以对于任意正整数 n，都有 Sn14an。(结论)