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1、第四节 基本不等式 2019 考纲考题考情 1重要不等式 a2b22ab(a，bR)(当且仅当 ab 时等号成立)。 2基本不等式ab ab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0。 (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时等号成立。 (3)其中叫做正数 a， b 的算术平均数，叫做正数 a， ab 2 ab b 的几何平均数。 3利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x， y(0， )， 且 xyP(定值)， 那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值 2。(简记：“积定和最小”)P (2)如果x， y(0， )， 且xyS(定值)， 那么当且仅当xy 时，xy 有最大值。(简记：“
2、和定积最大”) S2 4 4常用的几个重要不等式 (1)ab2(a0，b0)。ab (2)ab 2(a，bR)。 ( ab 2 ) (3) 2 (a，bR)。 ( ab 2 ) a2b2 2 (4) 2(a，b 同号)。 b a a b 以上不等式等号成立的条件均为 ab。 1应用基本不等式求最值要注意 ： “一正、二定、三相等” 。 忽略某个条件，就会出错。 2 对于公式 ab2， ab 2， 要弄清它们的作用、 ab ( ab 2 ) 使用条件及内在联系， 两个公式也体现了ab和ab的转化关系。 3在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本 不等式。若必须多次使用，则一定要保证它们等
3、号成立的条件一 致。 一、走进教材 1(必修 5P99例 1(2)改编)设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为( ) A80 B77 C81 D82 解析 因为 x0， y0， 所以， 即 xy 281， xy 2 xy ( xy 2 ) 当且仅当 xy9 时，(xy)max81。 答案 C 2(必修 5P100A 组 T2改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一 个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2。 解析 设矩形的一边为 x m， 则另一边为 (202x)(10 1 2 x)m， 所以 yx(10x) 225， 当且仅当 x10x， x10x 2 即 x5 时，ymax25
4、。 答案 25 二、走近高考 3(2018天津高考)已知 a，bR，且 a3b60，则 2a 的最小值为_。 1 8b 解析 由 a3b60，得 a3b6，所以 2a23b6 1 8b 2223 ， 当且仅当 23b6， 即 b1 1 23b 23b6 1 23b 1 4 1 23b 时等号成立。 答案 1 4 4 (2017山东高考)若直线 1(a0， b0)过点(1,2)， 则 2a x a y b b 的最小值为_。 解析 由条件可得 1， 所以 2ab(2ab)4 1 a 2 b ( 1 a 2 b) 428，当且仅当 ，即 b2a 时取等号，所 4a b b a 4 4a b b a
5、 以最小值为 8。 答案 8 三、走出误区 微提醒：基本不等式不会变形使用；用错不等式的性质 以及基本不等式变形错误。 5若 x0，x22，当且仅 1 x 1 当 x1 时，等号成立，所以 x 2。故选 D。 1 x 答案 D 6 若 a0， b0， 且 ab4， 则下列不等式恒成立的是( ) A B 1 1 ab 1 4 1 a 1 b C2 Da2b28ab 解析 4ab2(当且仅当 ab 时，等号成立)，即ab 2， ab4， ， 选项 A， C 不成立 ； 1，ab 1 ab 1 4 1 a 1 b ab ab 4 ab 选项B不成立 ； a2b2(ab)22ab162ab8， 选项D
6、成立。 故选 D。 答案 D 考点一 配凑法求最值 【例 1】 (1)(2019泉州检测)已知 02)在 xa 处取最小值，则 a 等于 1 x2 ( ) A1 B123 C3 D4 解 析 (1)因 为 02， 所以 x20， 所以 f(x)x(x2) 1 x2 1 x2 222224， 当且仅当 x2， 即(x x2 1 x2 1 x2 2)21 时等号成立，解得 x1 或 3。又因为 x2，所以 x3， 即 a 等于 3 时，函数 f(x)在 x3 处取得最小值，故选 C。 答案 (1)B (2)C 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是
7、关 键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧， 以整式为基础， 注意利用系数的变化以及等 式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提。 【 变 式 训 练 】 (1)若 a0， 则 a的 最 小 值 为 8 2a1 _。 (2)已知 x3y1(x0，y0)，则 xy 的最大值是_。 解 析 (1)由 题 意 可 知 a a 2 8 2a1 1 2 4 a1 2 1 2 ，当且仅当 a ，即 a 时等(a 1 2) 4 a1 2 1 2 7 2 1 2 4 a1 2 3 2 号成立。所以
8、 a的最小值为 。 8 2a1 7 2 (2)因为 x0，y0，所以 xy x3y 2 ，当且 1 3 1 3( x3y 2 ) 1 12 仅当 x3y 时， 等号成立，故 xy 的最大值是。 1 2 1 12 答案 (1) (2) 7 2 1 12 考点二 常数代换法求最值 【例 2】 若直线 2mxny20(m0，n0)过点(1，2)， 则 的最小值为( ) 1 m 2 n A2 B6 C12 D322 解析 因为直线 2mxny20(m0，n0)过点(1，2)， 所以 2m2n20， 即 mn1， 所以 (mn)3 1 m 2 n ( 1 m 2 n) 32， 当且仅当 “ ， 即 nm
9、” 时取等号， n m 2m n 2 n m 2m n 2 所以 的最小值为 32。故选 D。 1 m 2 n 2 答案 D 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为 1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构 造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值。 【变式训练】 (2019大庆质检)若 ， 则 y (0， 2) 1 sin2 的取值范围为( ) 9 cos2 A6，) B10，) C12，) D16，) 解析 因为， 所以sin2， cos2(0,1)， 所以y (0， 2) 1 sin2 (sin
10、2cos2)1010 9 cos2 ( 1 sin2 9 cos2) cos2 sin2 9sin2 cos2 2 16，当且仅当，即 时等号 cos2 sin2 9sin2 cos2 cos2 sin2 9sin2 cos2 6 成立，所以 y的取值范围为16，)。故选 D。 1 sin2 9 cos2 答案 D 考点三 消元法求最值 【例 3】 若正数 x，y 满足 x26xy10，则 x2y 的最 小值是( ) A B 22 3 2 3 C D 3 3 23 3 解析 因为正数 x，y 满足 x26xy10，所以 y。 1x2 6x 由Error!Error!即Error!Error!解
11、得00， 所以 00，故 1828，当且仅当 x5 时等号成立，此时 y x 25 年平均利润最大，最大值为 8 万元。 答案 8 Error!Error! 1(配合例 1 使用)设等差数列an的公差是 d，其前 n 项和 是 Sn(nN*)，若 a1d1，则的最小值是_。 Sn8 an 解析 ana1(n1)dn，Sn，所以 n1n 2 Sn8 an ，当且仅当 n4 n1n 2 8 n 1 2(n 16 n 1) 1 2(2 n16 n 1) 9 2 时取等号。所以的最小值是 。 Sn8 an 9 2 答案 9 2 2(配合例 2 使用)已知直线 axbyc10(b，c0)经过 圆 x2y
12、22y50 的圆心，则 的最小值是( ) 4 b 1 c A9 B8 C4 D2 解析 圆x2y22y50化成标准方程为x2(y1)26， 所以圆心为 C(0,1)。因为直线 axbyc10 经过圆心 C，所 以 a0b1c10，即 bc1。因此 (bc) 4 b 1 c ( 4 b 1 c) 5，因为 b，c0，所以 2 4，当且仅当 4c b b c 4c b b c 4c b b c 2 时等号成立。 由此可得当 b2c， 即 b 且 c 时， 4c b b c 2 3 1 3 4 b 5 的最小值为 9。 1 c 4c b b c 答案 A 3(配合例 3 使用)已知函数 f(x)|l
13、gx|，ab0，f(a)f(b)， 则的最小值等于_。 a2b2 ab 解析 由函数 f(x)|lgx|，ab0，f(a)f(b)，可知 a1b0， 所以 lgalgb， b ， aba 0， 则a 1 a 1 a a2b2 ab a2(1 a) 2 a1 a 2 1 a 2 a1 a 2 。 ( 当且仅当a1 a 2 a1 a ，即a 26 2 时，等号成立) 答案 22 利用均值定理连续放缩求最值 【典例】 已知 ab0，那么 a2的最小值为 1 bab _。 【思路点拨】 先将代数式中第 2 项的分母利用基本不等 式进行变换，再根据结构特征利用基本不等式可求得结果。 【解析】 因为 ab
14、0，所以 ab0，所以 b(ab) 2 ，所以 a2a224，当且 ( bab 2 ) a2 4 1 bab 4 a2 a2 4 a2 仅当 bab 且 a2， 即 a且 b时取等号， 所以 a2 4 a2 2 2 2 的最小值为 4。 1 bab 【答案】 4 利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证 等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注 意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性， 因此在利用基本不等式处理问题时， 列出等号成立的条件不仅是 解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法。 【变式训练】 设 ab0，则 a2的最小值是 1 ab 1 aab ( ) A1 B2 C3 D4 解析 因为 ab0， 所以 ab0， 所以 a2(a2 1 ab 1 aab ab)ab22 1 a 2 ab 1 ab a 2ab 1 a 2 ab 1 ab ab 4 (当且仅当a 2ab 1 a2ab且 1 abab，即a 2，b 2 2 时取等号) 。故选 D。 答案 D