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1、第四节 二次函数与幂函数 2019 考纲考题考情 1幂函数 (1)定义：一般地，函数 yx叫做幂函数，其中底数 x 是自 变量， 是常数。 (2)幂函数的图象比较： 2二次函数 (1)解析式： 一般式：f(x)ax2bxc(a0)。 顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)。 两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)。 (2)图象与性质： 与二次函数有关的不等式恒成立的条件 (1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是Error!Error! (2)ax2bxc1，所以函数 y2x26x3 在1,1上为单调递减函 3 2 数，所以 ymin2631。 答案 1 二、走近高考 3(2017
2、浙江高考)若函数 f(x)x2axb 在区间0,1上的 最大值是 M，最小值是 m，则 Mm( ) A与 a 有关，且与 b 有关 B与 a 有关，但与 b 无关 C与 a 无关，且与 b 无关 D与 a 无关，但与 b 有关 解析 设 x1，x2分别是函数 f(x)在0,1上的最小值点与最大 值点，则 mx ax1b，Mx ax2b。所以 Mmx x 2 12 22 22 1 a(x2x1)，显然此值与 a 有关，与 b 无关。故选 B。 答案 B 三、走出误区 微提醒：二次函数解析式形式选择不恰当，致使运算量偏 大；幂函数定义不清晰，导致出错；二次函数在给定区间上 的恒成立问题忽视给定区间
3、的作用致误。 4 已知某二次函数的图象与函数 y2x2的图象的形状一样， 开口方向相反，且其顶点为(1,3)，则此函数的解析式为( ) Ay2(x1)23 By2(x1)23 Cy2(x1)23 Dy2(x1)23 解析 设所求函数的解析式为 ya(xh)2k(a0)，由题 意可知 a2，h1，k3，故 y2(x1)23。故选 D。 答案 D 5已知幂函数 yf(x)的图象过点，则此函数的解 (2， 2 2 ) 析式为_；在区间_上递减。 解析 设 yf(x)x，因为图象过点，代入解析式 (2， 2 2 ) 得 ，则 yx ，由性质可知函数 yx 在(0，)上 1 2 1 2 1 2 递减。
4、答案 yx (0，) 1 2 6 已知函数f(x)x2x1， 在区间1,1上不等式f(x)2x m 恒成立，则实数 m 的取值范围是_。 解析 f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1 m0，令 g(x)x23x1m，要使 g(x)x23x1m0 在 1,1上恒成立，只需使函数 g(x)x23x1m 在1,1上的最 小值大于0即可。 因为g(x)x23x1m在1,1上单调递减， 所以 g(x)ming(1)m1。由m10，得 m0)， 又 f(0)0， 得 a 1，所以 f(x)(x1)21x22x。 (2)由 f(x)是偶函数知 f(x)的图象关于 y 轴对称，所以a ， 即
5、b2， 所以 f(x)2x22a2， 又 f(x)的值域为(， ( 2a b) 4，所以 2a24，故 f(x)2x24。 答案 (1)x22x (2)2x24 考点三 二次函数的图象和性质微点小专题 方向 1：二次函数的图象 【例 3】 对数函数 ylogax(a0 且 a1)与二次函数 y(a 1)x2x 在同一坐标系内的图象可能是( ) A B C D 解析 当 01 1 2a1 时，ylogax 为增函数，y(a1)x2x 的图象开口向上，其对 称轴为直线 x0，排除 B。故选 A。 1 2a1 答案 A 确定二次函数的图象从三方面入手 1开口方向；2.对称轴；3.特殊点。 方向 2：
6、二次函数的单调性 【例 4】 函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1，)上 是递减的，则实数 a 的取值范围是( ) A3,0) B(，3 C2,0 D3,0 解析 当 a0 时，f(x)3x1，在1，)上递减， 满足题意。 当 a0 时， f(x)的图象的对称轴为直线 x， 由 f(x) 3a 2a 在1，)上递减知Error!Error!解得3a0)，求函数 f(x)在区间 0,2上的最小值。 解 因为 a0，所以 f(x)ax22x 的图象的开口方向向上， 且对称轴为直线 x 。 1 a 当 时， (0,2)， 1 a 1 2 1 a 所以 f(x)在上单调递减，在上单调递增， 0，
7、 1 a ( 1 a，2 所以 f(x)minf 。 ( 1 a) 1 a 2 a 1 a 当 2，即 00，则函数 yax2bx 的大致 图象是_(填序号)。 解析 函数图象的开口向下，对称轴方程为 x0，且 b 2a 过原点，故大致图象是。 答案 2(方向 2)若函数 ymx2x5 在2，)上是增函数， 则 m 的取值范围是_。 解析 当m0时， 函数在给定区间上是增函数 ； 当m0时， 函数是二次函数， 图象对称轴为x2， 得m ， 又m0， 1 2m 1 4 因此 00， 即函数图象的开口向上，所以 f(0)f(2)，则当 f(m)f(0)时，有 0m2。故选 D。 答案 D Erro
8、r!Error! 1 (配合例 2 使用)已知二次函数 f(x)ax2bxc 满足条件 ： f(3x)f(x)； f(1)0； 对任意实数 x，f(x) 恒成立， 1 4a 1 2 则其解析式为 f(x)_。 解析 依题意可设 f(x)a 2k，由 f(1) ak0， (x 3 2) 1 4 得 k a， 从而 f(x)a 2 恒成立， 则 1 4 (x 3 2) a 4 1 4a 1 2 a 4 1 4a ， 且 a0， 即 0， 即0， 且 a0， 所以 a1。 1 2 1 4a a 4 1 2 a22a1 4a 从而 f(x) 2 x23x2。 (x 3 2) 1 4 答案 x23x2
9、2(配合例 3 使用)设 b0，二次函数 yax2bxa21 的 图象为下列之一，则 a 的值为( ) A B 15 2 15 2 C1 D1 解析 因为 b0，故对称轴不可能为 y 轴，由给出的图可知 对称轴在 y 轴右侧，故 a0，所以二次函数的图象为第三个图， 图象过原点， 故 a210， a1， 又 a0， 所以 a1。 故选 D。 答案 D 3 (配合例 4 使用)函数 f(x)2x2mx3， 当 x2， ) 时，f(x)是增函数，当 x(，2时，f(x)是减函数，则 f(1) 的值为( ) A3 B13 C7 D5 解析 函数 f(x)2x2mx3 图象的对称轴为直线 x ， m 4 由函数 f(x)的单调区间可知 2， 所以 m8， 即 f(x)2x28x m 4 3，所以 f(1)28313。故选 B。 答案 B 4(配合例 5 使用)若函数 f(x)x2axa 在区间0,2上的 最大值为 1，则实数 a 的值为_。 解析 函数的图象是开口向上的抛物线，所以函数 f(x)的最 大值在区间的端点处取得。因为 f(0)a，f(2)43a，所以 Error!Error!或Error!Error!解得 a1。 答案 1