《2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第五章 第三节 等 比 数 列 Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第五章 第三节 等 比 数 列 Word版含答案.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第三节 等 比 数 列 2019 考纲考题考情 1等比数列的有关概念 (1)定义： 文字语言：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于 同一个常数(非零)。 符号语言：q(nN*，q 为非零常数)。 an1 an (2)等比中项 ： 如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 即 ： G 是 a 与 b 的等比中项a， G， b 成等比数列G2 ab。 2等比数列的有关公式 (1)通项公式：ana1qn1。 (2)前 n 项和公式：SnError!Error! 3等比数列的性质 (1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN*)。 (2)对任意的正整数 m，n，
2、p，q，若 mnpq，则 aman apaq。 特别地，若 mn2p，则 amana 。 2 p (3)若等比数列前 n 项和为 Sn，则 Sm，S2mSm，S3mS2m仍 成等比数列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*，公比 q1)。 (4)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p 是常数)也是 等比数列。 (5)在等比数列an中， 等距离取出若干项也构成一个等比数 列，即 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 qk。 (6)若Error!Error!或Error!Error!则等比数列an递增。 若Error!Error!或Error!Error!则等比数列a
3、n递减。 1 若数列an为等比数列， 则数列can(c0)， |an|， a ， 2 n 也是等比数列。 1 an 2由 an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列， 还要验证 a10。 3在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论， 防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失 误。 一、走进教材 1(必修 5P54A 组 T8改编)在 3 与 192 中间插入两个数，使 它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_。 解析 设该数列的公比为 q， 由题意知， 1923q3， q364， 所以 q4。所以插入的两个数分别为 3412,12448。 答案 12,4
4、8 2 (必修 5P62B 组 T2改编)等比数列an的首项 a11， 前 n 项和为 Sn，若，则an的通项公式 an_。 S10 S5 31 32 解析 因为， 所以， 因为 S5， S10S5， S15 S10 S5 31 32 S10S5 S5 1 32 S10成等比数列， 且公比为 q5， 所以 q5， q ， 则 an 1 32 1 2 1 n1n1。 ( 1 2) ( 1 2) 答案 n1 ( 1 2) 二、走近高考 3(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明 代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例， 为这个理论的发展做 出了重要贡献。十二平均律将一个纯八度音程分成十
5、二份，依次 得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前 一个单音的频率的比都等于。若第一个单音的频率为 f，则 12 2 第八个单音的频率为( ) AfBf 3 2 3 22 C.fD.f 12 25 12 27 解析 从第二个单音起， 每一个单音的频率与它的前一个单 音的频率的比都等于，第一个单音的频率为 f，由等比数列 12 2 的概念可知， 这十三个单音的频率构成一个首项为 f， 公比为122 的等比数列，记为an，则第八个单音频率为 a8f()81 12 2 f，故选 D。 12 27 答案 D 4(2017全国卷)设等比数列an满足 a1a21, a1a3 3，则 a4
6、_。 解析 根据等比数列的通项公式可得Error!Error!两式相除可 得 ，由式解得Error!Error!所以 a4a1q3(2)38。 1q 1q2 1 3 答案 8 三、走出误区 微提醒：“G2ab”是“a，G，b”成等比数列的必要不 充分条件；忽视 q1 的特殊情况；对数的运算性质不熟练。 5在等比数列an中，a34，a716，则 a3与 a7的等比中 项为_。 解析 设 a3与 a7的等比中项为 G，因为 a34，a716，所 以 G241664，所以 G8。 答案 8 6 数列an的通项公式是anan(a0)， 则其前n项和为Sn _。 解析 因为 a0，anan，所以an是以
7、 a 为首项，a 为公 比的等比数列。当 a1 时，Snn；当 a1 时 Sn。 a1an 1a 答案 Error!Error! 7若等比数列an的各项均为正数，且 a10a11a9a122e5， 则 lna1lna2lna20_。 解析 因为数列an为等比数列，且 a10a11a9a122e5，所 以 a10a11a9a122a10a112e5，所以 a10a11e5，所以 lna1lna2 lna20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10lne5050。 答案 50 考点一 等比数列的基本运算 【例 1】 (1)(2018福建泉州一模)已知等比数列an是递增 数列，
8、a1a765，a2a664，则公比 q( ) A4B4 C2D2 (2)(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3。 求an的通项公式； 记 Sn为an的前 n 项和。若 Sm63，求 m。 (1)解析 由Error!Error!得Error!Error!又等比数列an是递增数列， 所 以Error!Error!所以 q2。故选 D。 6 64 答案 D (2)解 设an的公比为 q，由题设得 anqn1。 由已知得 q44q2，解得 q0(舍去)，q2 或 q2。 故 an(2)n1或 an2n1。 若 an(2)n1，则 Sn。 12n 3 由 Sm63 得(2)m188，此方程
9、没有正整数解。 若 an2n1，则 Sn2n1。 由 Sm63 得 2m64，解得 m6。 综上，m6。 1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题， 等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二” ， 通过列方程(组)便可迎刃而解。 2 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论， 当q 1 时， an的前 n 项和 Snna1； 当 q1 时， an的前 n 项和 Sn 。 a11qn 1q a1anq 1q 【变式训练】 (1)(2019赣州摸底)Sn是等比数列an的前n 项和，若 S4，S3，S5成等差数列，则an的公比 q 的值为( ) AB2 1 2 C
10、D2 1 2 (2)(2019安徽质量检测)中国古代数学名著 九章算术 中有 这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主 曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之， 问各出几何？此问题的译文是 ： 今有牛、马、羊吃了别人的禾苗， 禾苗主人要求赔偿 5 斗粟。羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有 马的一半。”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半。” 打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人 各应偿还粟 a 升，b 升，c 升，1 斗为 10 升，则下列判断正确的 是( ) Aa，b，c 成公比为 2 的等比数列，且 a50 7 Ba，b，c 成公比为
11、2 的等比数列，且 c50 7 Ca，b，c 成公比为 的等比数列，且 a 1 2 50 7 Da，b，c 成公比为 的等比数列，且 c 1 2 50 7 解析 (1)由S4， S3， S5成等差数列， 得2S3S5S4， 即2(a1a2 a3)2(a1a2a3a4)a5，整理得 a52a4，所以2， a5 a4 即 q2。故选 D。 (2)由题意可得，a，b，c 成公比为 的等比数列，b a，c 1 2 1 2 b，三者之和为 50 升，故 4c2cc50，解得 c。故选 D。 1 2 50 7 答案 (1)D (2)D 考点二 等比数列的判定与证明 【例 2】 设数列an的前 n 项和为
12、Sn，已知 a12a23a3 nan(n1)Sn2n(nN*)。 (1)求 a2，a3的值； (2)求证：数列Sn2是等比数列。 解 (1)因为 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)， 所以当 n1 时，a1212； 当 n2 时，a12a2(a1a2)4， 所以 a24； 当 n3 时，a12a23a32(a1a2a3)6， 所以 a38。 综上，a24，a38。 (2)证明：因为 a12a23a3nan(n1)Sn2n(n N*)， 所以当 n2 时，a12a23a3(n1)an1 (n2)Sn12(n1)。 ，得 nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn 2Sn
13、12nanSn2Sn12。 所以Sn2Sn120，即 Sn2Sn12， 所以 Sn22(Sn12)。 因为 S1240，所以 Sn120， 所以2， Sn2 Sn12 故Sn2是以 4 为首项，2 为公比的等比数列。 1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其 他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比 数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。 2利用递推关系时要注意对 n1 时的情况进行验证。 【变式训练】 已知数列an的首项 a10，an1(n 3an 2an1 N*)，且 a1 。 2 3 (1)求证：是等比数列，并求出an的通项公式； 1 an1 (2)求数
14、列的前 n 项和 Tn。 1 an 解 (1)记 bn 1， 则 1 an bn1 bn 1 an11 1 an1 2an1 3an 1 1 an1 ， 2an13an 33an 1an 31an 1 3 又 b11 1 ， 1 a1 3 2 1 2 所以是首项为 ，公比为 的等比数列。 1 an1 1 2 1 3 所以1 n1， 1 an 1 2( 1 3) 即 an。 23n1 123n1 所以数列an的通项公式为 an。 23n1 123n1 (2)由(1)知，1 n1， 1 an 1 2( 1 3) 即 n11。 1 an 1 2( 1 3) 所以数列的前 n 项和 1 an Tnnn
15、。 1 2(1 1 3n) 11 3 3 4(1 1 3n) 考点三 等比数列的性质及应用微点小专题 方向 1：等比数列项的性质应用 【例 3】 (1)(2019洛阳市第一次联考)在等比数列an中， a3，a15是方程 x26x20 的两根，则的值为( ) a2a16 a9 AB 22 2 2 C.D或222 (2)等比数列an的各项均为正数，且 a1a54，则 log2a1 log2a2log2a3log2a4log2a5_。 解析 (1)设等比数列an的公比为q， 因为a3， a15是方程x2 6x20 的根，所以 a3a15a 2，a3a156，所以 a31， 所以3。 S8 S4 S8
16、 S4 S8 S4 S8 S4 解析：因为 S127S4，显然 q1， 所以7， a11q12 1q a11q4 1q 即 q8q460，解得 q42。 又1q43，所以3。 S8 S4 1q8 1q4 S8 S4 答案 3 Error!Error! 1 (配合例 1 使用)等比数列an的各项均为正数， 且 2a13a2 1，a 9a2a6。 2 3 (1)求数列an的通项公式； (2)设 bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前 n 项 1 bn 和 Tn。 解 (1)设数列an的公比为 q， 由 a 9a2a6得 a 9a ，所以 q2 ， 2 32 32 4 1 9 由条件可
17、知 an0，故 q 。 1 3 由 2a13a21 得 2a13a1q1，所以 a1 ， 1 3 故数列an的通项公式为 an n(nN*)。 ( 1 3) (2)bnlog3a1log3a2log3an(12n) (nN*)。 1nn 2 故2(nN*)， 1 bn 2 nn1 ( 1 n 1 n1) 则Tn2 1 b1 1 b2 1 bn (nN*)。 (1 1 2)( 1 2 1 3)( 1 n 1 n1) 2n n1 所以数列的前 n 项和 Tn(nN*)。 1 bn 2n n1 2(配合例 2 使用)设数列an的前 n 项和为 Sn，nN*。已 知 a11， a2 ， a3 ， 且当
18、 n2 时， 4Sn25Sn8Sn1Sn1。 3 2 5 4 (1)求 a4的值； (2)证明：为等比数列。 a n11 2a n 解 (1)当 n2 时，4S45S28S3S1， 即 4581， 解得 (1 3 2 5 4a 4) (1 3 2) (1 3 2 5 4) a4 。 7 8 (2)证明：因为 4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)， 所以 4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)， 即 4an2an4an1(n2)。 又因为 4a3a14 164a2， 5 4 所以 4an2an4an1(nN*)， 所以 an21 2a n1 an11 2a n 4an22an1 4an
19、12an ， 4an1an2an1 4an12an 2an1an 22an1an 1 2 所以数列是以a2 a11为首项， 为公比的等 a n11 2a n 1 2 1 2 比数列。 3 (拓展型)已知首项为 的等比数列an的前 n 项和为 Sn(n 3 2 N*)，且2S2，S3,4S4成等差数列。 (1)求数列an的通项公式； (2)证明：Sn(nN*)。 1 Sn 13 6 解 (1)设等比数列an的公比为 q， 因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以 2S34S42S2， 即 S32S4S2，即 S4S3S2S4， 可得 2a4a3，于是 q 。 a4 a3 1 2 又 a1 ，所以等比数列an的通项公式为 3 2 an n1(1)n1 。 3 2 ( 1 2) 3 2n (2)由(1)知，Sn1 n， ( 1 2) Sn1 n 1 Sn ( 1 2) 1 1(1 2) n Error!Error! 当 n 为奇数时，Sn随 n 的增大而减小， 1 Sn 所以 SnS1。 1 Sn 1 S1 13 6 当 n 为偶数时，Sn随 n 的增大而减小， 1 Sn 所以 SnS2。 1 Sn 1 S2 25 12 故对于 nN*，有 Sn。 1 Sn 13 6