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1、第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法 2019 考纲考题考情 1数列的有关概念 (1)数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列。 数列中的每一个数叫 做这个数列的项。 (2)数列的分类 (3)数列的表示法 数列有三种表示法， 它们分别是列表法、 图象法和解析式法。 2数列的通项公式 (1)数列的通项公式 如果数列an的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子 来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 (2)已知数列an的前 n 项和 Sn，则 an Error!Error! 1数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数， 即数列是一个定义在正整数集或其 子集1,2,3，n上
2、的函数，当自变量依次从小到大取值时所 对应的一列函数值。 2 在数列an中， 若 an最大， 则Error!Error!若 an最小， 则Error!Error! 3递推关系求通项公式的三种方法： (1)叠加法 ： 对于 an1anf(n)型，若 f(1)f(2)f(n)的 和是可求的，可用多式相加法求得 an。 (2)叠乘法：对于f(n)型，若 f(1)f(2)f(n)的积是可求 an1 an 的，可用多式相乘法求得 an。 (3)构造法：对 an1panq 型，构造一个公比为 p(p1)的 等比数列，求得 an。 a n q p1 一、走进教材 1 (必修 5P33A 组 T4改编)在数列
3、an中， a11， an11 n an1 (n2)，则 a5等于( ) AB 3 2 5 3 C.D. 8 5 2 3 解析 a212， a31 ， a41 12 a1 13 a2 1 2 14 a3 3，a51 。 15 a4 2 3 答案 D 2(必修 5P33A 组 T5改编)根据下面的图形及相应的点数， 写出点数构成的数列的一个通项公式 an_。 答案 5n4 二、走近高考 3 (2018全国卷)记 Sn为数列an的前 n 项和。 若 Sn2an 1，则 S6_。 解析 根据 Sn2an1， 可得 Sn12an11， 两式相减得 an 12an12an，即 an12an，当 n1 时，
4、S1a12a11，解 得 a11， 所以数列an是以1 为首项， 2 为公比的等比数列， 所以 S663。 1 126 12 解析 ： 因为Sn2an1， 所以当n1时， a12a11， 解得a1 1； 当n2时， a1a22a21， 解得a22； 当n3时， a1a2 a32a31， 解得 a34； 当 n4 时， a1a2a3a42a4 1，解得 a48；当 n5 时，a1a2a3a4a52a51，解 得 a516；当 n6 时，a1a2a3a4a5a62a61，解 得 a632。所以 S61248163263。 答案 63 三、走出误区 微提醒 ： 忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数
5、集 N* 或其子集1,2，n； 求数列前 n 项和 Sn的最值时忽视项为 零的情况；根据 Sn求 an时忽视对 n1 的验证。 4在数列1,0，中，0.08 是它的第_ 1 9 1 8 n2 n2 项。 解析 依题意得，解得 n10 或 n (舍)。 n2 n2 2 25 5 2 答案 10 5在数列an中，ann26n7，当其前 n 项和 Sn取最 大值时，n_。 解析 由题可知 nN*，令 ann26n70，得 1n7(nN*)，所以该数列的第 7 项为零，且从第 8 项开始 an0，即 an1an； 当 n9 ( 10 11) 9n 11 时， an1an0， 即 an1an； 当 n9
6、 时， an1an0)，求导得 f(x)1。令 f(x)0，解得 x； 令 33 x2 33 f(x)0 或 an1)的最大值为_。 an an1 解析 因为 Snan， 所以当 n1 时， anSnSn1 n1 2 n1 2 an an1， 即， 因为数列单调递减， 所以当 n n 2 an an1 n n1 n n1 2 时，2 最大。 an an1 答案 2 Error!Error! 1 (配合例 2 使用)若数列an是正项数列， 且a1a2 n2n，则_。an a1 1 a2 2 an n 解析 当 n1 时，1212， a14。 当 n2 时，a1a1 (n 1)2 (n 1)， a
7、2an1a1a2 n2n， 两式相减可得2n， 即an4n2， 又a1an1anan 4 也符合该式， 所以 an4n2， 则4n， 则41 an n a1 1 a2 2 an n 424n2n22n(nN*)。 答案 2n22n(nN*) 2(配合例 4 使用)若 a11，对任意的 nN*，都有 an0， 且 na(2n1)an1an2a 0。设 M(x)表示整数 x 的个位数 2n12 n 字，则 M(a2 019)_。 解析 由已知得(nan1an)(an12an)0，因为 an0，所 以 an12an0，则2，因为 a11，所以数列an是以 1 an1 an 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an12n12n1(nN*)。 所以 a22，a34，a48，a516，a632，a764，a8 128，所以 n2 时，M(an)依次构成以 4 为周期的数列。所 以 M(a2 019)M(a3)4，故答案为 4。 答案 4 3 (配合例5使用)已知数列an满足nan2(n2)an(n2 2n)，其中 a11，a22，若 an2，若 n1， n2n 2 n122n1 2 则R， 若n1， 则， 所以0。 当n为偶数时， 由an2， 所以 n22n 2 n12n1 2 ，即 0。综上，实数 的取值范围为0，)。 2 3n 答案 0，)