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1、第三节 圆 的 方 程 2019 考纲考题考情 1圆的定义 (1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。 (2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。 2圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2(r0)， 其中(a， b)为圆心坐标， r 为半径。 3圆的一般方程 x2y2DxEyF0 表示圆的充要条件是 D2E24F 0，其中圆心为，半径 r。 ( D 2 ，E 2) D2E24F 2 4点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种。 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0)， (1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2。 (2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2。
2、(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2r2。 1圆心在坐标原点半径为 r 的圆的方程为 x2y2r2。 2 以 A(x1， y1)， B(x2， y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(x x2)(yy1)(yy2)0。 3二元二次方程表示圆的条件 对于方程 x2y2DxEyF0 表示圆时易忽视 D2E2 4F0 这一条件。 一、走进教材 1(必修 2P124A 组 T1改编)圆 x2y24x6y0 的圆心坐 标是( ) A(2,3) B(2,3) C(2，3) D(2，3) 解析 圆的方程可化为(x2)2(y3)213， 所以圆心坐标 是(2，3)。故选 D。 答案 D 2(必修 2P12
3、0例 3 改编)过点 A(1，1)，B(1,1)，且圆心 在直线 xy20 上的圆的方程是( ) A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 解析 设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r，因为圆心 C 在 直线 xy20 上， 所以 b2a。 因为|CA|2|CB|2， 所以(a1)2 (2a1)2(a1)2(2a1)2。 所以 a1， b1。 所以 r2。 所以方程为(x1)2(y1)24。故选 C。 解析 ： 因为A(1， 1)， B(1,1)， 所以AB的中垂线方程为yx。 由Error!Error!得Error!Error
4、!所以圆心坐标为(1,1)， r 112112 2。则圆的方程为(x1)2(y1)24。 答案 C 二、走近高考 3(2015全国卷)一个圆经过椭圆 1 的三个顶点， x2 16 y2 4 且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_。 解析 设圆心为(t,0)(t0)，则半径为 4t，所以 4t2(4 t)2，解得 t ，所以圆的标准方程为 2y2 。 3 2 (x 3 2) 25 4 答案 2y2 (x 3 2) 25 4 4(2016天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为，则5 45 5 圆 C 的方程为_。 解
5、析 设圆心的坐标为(a,0)(a0)，根据题意得， |2a| 5 45 5 解得 a2(a2 舍去)，所以圆的半径 r 2020 52 3，所以圆的方程为(x2)2y29。 答案 (x2)2y29 三、走出误区 微提醒：忽视表示圆的充要条件 D2E24F0；错用 点与圆的位置关系判定；忽视圆的方程中变量的取值范围。 5若方程 x2y2mx2y30 表示圆，则 m 的取值范围 是( ) A(，)(，)22 B(，2)(2，)22 C(，)(，)33 D(，2)(2，)33 解析 将 x2y2mx2y30 化为圆的标准方程得 2(y1)2 2。 由其表示圆可得20， 解得 m2。22 答案 B 6
6、若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取 值范围是( ) A1a1 B0a1 Ca1 或 a1 Da4 解析 因为点(1,1)在圆内， 所以(1a)2(1a)24， 即1 a1。故选 A。 答案 A 7已知实数 x，y 满足(x2)2y24，则 3x24y2的最大值 为_。 解析 由(x2)2y24，得 y24xx20，得 0x4，所 以 3x2 4y2 3x2 4(4x x2) x2 16x (x 8)2 64(0x4)，所以当 x4 时，3x24y2取得最大值 48。 答案 48 考点一 圆的方程 【例 1】 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 xy10 相
7、切于 点 B(2,1)，则圆 C 的方程为_。 (2)已知圆 C 经过 P(2,4)，Q(3，1)两点，且在 x 轴上截 得的弦长等于 6，则圆 C 的方程为_。 解析 (1)由已知 kAB0，所以 AB 的中垂线方程为 x3。 过 B 点且垂直于直线 xy10 的直线方程为 y1(x2)， 即 xy30，联立，解得Error!Error!所以圆心坐标为(3,0)， 半径r，所以圆C的方程为(x3)2y2 4321022 2。 解析：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，因为点 A(4,1)， B(2,1)在圆上， 故Error!Error!又因为1， 解得 a3， b b1 a2 0
8、，r，故所求圆的方程为(x3)2y22。2 (2)设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 将 P， Q 两点的坐标分别代入得Error!Error!又令 y0， 得 x2DxF 0。 设 x1， x2是方程的两根， 由|x1x2|6， 得 D24F36， 联立， 解得D2， E4， F8， 或D6， E8， F 0。 故所求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y 0。 答案 (1)(x3)2y22 (2)x2y22x4y80 或 x2 y26x8y0 求圆的方程时， 应根据条件选用合适的圆的方程 一般来说， 求圆的方程有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质进
9、而求出 圆的基本量。确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心 在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。(2)代数法 ： 即设 出圆的方程，用待定系数法求解。 【变式训练】 (1)(2019珠海联考)已知圆 C 与直线 xy 0 及 xy40 都相切，圆心在直线 xy0 上，则圆 C 的标 准方程为( ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 (2)(2019河南豫西五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，以 点(0,1)为圆心且与直线 xby2b10 相切的所有圆中，半径
10、 最大的圆的标准方程为( ) Ax2(y1)24 Bx2(y1)22 Cx2(y1)28 Dx2(y1)216 解析 (1)由题意设圆心坐标为(a，a)，则有 |aa| 2 即|a|a2|，解得 a1。故圆心坐标为(1，1)， |aa4| 2 半径 r，所以圆 C 的标准方程为(x1)2(y1)22。 2 2 2 故选 B。 (2)直线 xby2b10 过定点 P(1,2)，如图。所以圆与 直线 xby2b10 相切于点 P 时，圆的半径最大，为，2 此时圆的标准方程为 x2(y1)22。故选 B。 答案 (1)B (2)B 考点二 与圆有关的轨迹问题 【例 2】 已知圆 x2y24 上一定点
11、 A(2,0)，B(1,1)为圆内 一点，P，Q 为圆上的动点。 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程。 解 (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y)。 因为 P 点在圆 x2y24 上， 所以(2x2)2(2y)24。 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21，(x2)。 (2)设 PQ 的中点为 N(x，y)。 在 RtPBQ 中，|PN|BN|。 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以 x2y2(x1)2(y1)2
12、4。 整理得 x2y2xy10， 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10。 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同，常采用以 下方法： 1直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。 2定义法：根据圆、直线等定义列方程。 3几何法：利用圆的几何性质列方程。 4代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足 的关系式等。 【变式训练】 自圆 C： (x3)2(y4)24 外一点 P(x，y) 引该圆的一条切线，切点为 Q，PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的 距离，则点 P 的轨迹方程为( ) A8x6y210 B8x6y210 C6x8y210 D6x8y210 解析 由题意得，
13、圆心 C 的坐标为(3，4)，半径 r2，如 图。 因为|PQ|PO|， 且PQCQ， 所以|PO|2r2|PC|2， 所以x2y2 4(x3)2(y4)2， 即 6x8y210， 所以点 P 的轨迹方程 为 6x8y210，故选 D。 答案 D 考点三 与圆有关的最值问题微点小专题 方向 1：借助几何性质求最值 【例 3】 已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则(1) 的最大值和最小值分别为_和_； y x (2)yx 的最大值和最小值分别为_和_； (3)x2y2的最大值和最小值分别为_和_。 解析 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心， 为半径的圆。3 (1)
14、的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设 k， y x y x 即 ykx。当直线 ykx 与圆相切时(如图)，斜率 k 取最大值或最 小值，此时，解得 k。所以 的最大值为， |2k0| k21 33 y x 3 最小值为。3 (2)令 yxb， 则 yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截 距。如图所示，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大 值或最小值，此时，解得 b2，所以 yx |20b| 2 36 的最大值为2，最小值为2。66 (3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方。 由平面几何知 识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小 值。 又圆心到原
15、点的距离为 2， 所以 x2y2的最大值是(2)23 74，x2y2的最小值是(2)274。333 答案 (1) (2)2 23366 (3)74 7433 借助几何性质求与圆有关的最值问题， 根据代数式的几何意 义，借助数形结合思想求解。 1形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的 yb xa 最值问题或转化为线性规划问题。 2 形如 taxby 形式的最值问题， 可转化为动直线截距的 最值问题或转化为线性规划问题。 3形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到 定点的距离的平方的最值问题。 方向 2：建立函数关系求最值 【例 4】 (2019厦门模拟)设点 P(x， y)是圆
16、 ： x2(y3)21 上的动点， 定点 A(2,0)， B(2,0)， 则的最大值为_。 PA PB 解析 由题意，知(2x，y)，(2x，y), PA PB 所以x2y24，由于点 P(x，y)是圆上的点，故其坐标 PA PB 满足方程 x2(y3)21， 故 x2(y3)21， 所以(y PA PB 3)21y246y12。由圆的方程 x2(y3)21，易知 2y4， 所以， 当 y4 时，的值最大， 最大值为 6412 PA PB 12。 答案 12 根据题中条件列出相关的函数关系式， 再根据函数知识或基 本不等式求最值。 【题点对应练】 1 (方向1)已知两点A(0， 3)， B(4
17、,0)， 若点P是圆C： x2y2 2y0 上的动点，则ABP 的面积的最小值为( ) A6 B11 2 C8 D21 2 解析 x2y22y0可化为x2(y1)21， 则圆C为以(0,1) 为圆心，1 为半径的圆。如图，过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆 于点 P，连接 BP，AP，这时ABP 的面积最小，直线 AB 的方 程为 1， 即 3x4y120， 圆心 C 到直线 AB 的距离 d x 4 y 3 ，又|AB|5，所以ABP 的面积的最小值为 5 16 5 3242 1 2 。 ( 16 5 1) 11 2 答案 B 2 (方向 2)已知实数 x， y 满足(x2)2(y1)21
18、， 则 zy1 x 的最大值与最小值分别为_和_。 解析 由题意， 得表示过点 A(0， 1)和圆(x2)2(y y1 x 1)21 上的动点(x，y)的直线的斜率。当且仅当直线与圆相切时， 直线的斜率分别取得最大值和最小值。设切线方程为 ykx1， 即 kxy10，则1，解得 k，所以 zmax |2k2| k21 4 7 3 ，zmin。 47 3 47 3 答案 47 3 47 3 3 (方向 2)已知圆 O： x2y29， 过点 C(2,1)的直线 l 与圆 O 交于 P， Q 两点， 当OPQ 的面积最大时， 直线 l 的方程为( ) Axy30 或 7xy150 Bxy30 或 7
19、xy150 Cxy30 或 7xy150 Dxy30 或 7xy150 解析 当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x2， 则 P， Q 的坐标为(2，)， (2， )， 所以 SOPQ 222。55 1 2 55 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y1k(x2)， (k 1 2) 则圆心到直线 PQ 的距离 d， 由平面几何知识得|PQ|2 |12k| 1k2 ， S OPQ |PQ|d2d 9d2 1 2 1 2 9d29d2 d 2 ，当且仅当 9d2d2，即 d2 时，SOPQ取 ( 9d2d2 2 ) 2 9 2 9 2 得最大值 。因为 20)的焦点为 F，直线 y
20、 4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF| |PQ|。 5 4 (1)求抛物线 C 的方程； (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分 线 l与 C 相交于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上， 求 l 的方程。 【解】 (1)设 Q(x0,4)，代入 y22px，得 x0 ，又 P(0，4)， 8 p 所以|PQ| 。又|QF| x0 ，且|QF| |PQ|，所以 8 p p 2 p 2 8 p 5 4 p 2 8 p ，解得 p2(p2 舍去)，所以，抛物线 C 的方程为 y24x。 5 4 8 p (2)因为 A，M，
21、B，N 四点在同一圆上，弦 AB 的垂直平分线 必过圆心，又 MN 垂直平分 AB，所以 MN 是圆的直径，则 MN 的中点 E 就是这个圆的圆心，所以|AE|BE| |MN|。 1 2 依题意可知， 直线 l 与坐标轴不垂直， 故可设 l 的方程为 x my1。 由Error!Error!得 y24my40。 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1y24m，y1y24。 故线段 AB 的中点为 D(2m21,2m)， |AB|y1y2|4(m21)。m21 又 l与 l 垂直，故可得直线 l的方程为 x y2m23， 1 m 与 y24x 联立可得： y2 y4(2m23)0。
22、4 m 设 M(x3，y3)，N(x4，y4)， 则 y3y4 ，y3y48m212。 4 m 故线段 MN 的中点为 E， ( 2 m22m 23，2 m) |MN|y3y4|。 1 1 m2 4m2 1 2m21 m2 在直角ADE 中，由勾股定理得 |AD|2|DE|2|AE|2， 所以|AB|24|DE|2|MN|2，即 4(m21)2 22 (2m 2 m) ( 2 m22) ， 4m2 1 2 2m 2 1 m4 解得 m1。 故所求直线 l 的方程为 xy10 或 xy10。 本题中， MN 的中点 E 就是 A， M， B， N 四点所在圆的圆心， 故可将四点共圆的条件转化为圆心 E 到四点的距离相等， 从而得 到|AE|BE| |MN|，进而把问题转化为先求线段 AB 的中点 D、 1 2 线段 MN 的中点 E 的坐标以及|AB|和|MN|，这是解析几何中的常 规问题，通常是联立方程组后结合韦达定理来处理，但计算量较 大。