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1、第四节 数系的扩充与复数的引入 2019 考纲考题考情 1复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的 实部和虚部。若 b0，则 abi 为实数；若 b0，则 abi 为虚 数；若 a0 且 b0，则 abi 为纯虚数。 (2)复数相等：abicdiac 且 bd(a，b，c，dR)。 (3)共轭复数 ： abi 与 cdi 共轭ac， bd(a， b， c， d R)。 (4)复平面 ： 建立直角坐标系来表示复数的平面， 叫做复平面。 x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数 ； 除原点外， 虚轴上的点都表示纯虚数；各象限
2、内的点都表示非纯虚数。 (5)复数的模：向量的模 r 叫做复数 zabi(a，bR)的模， 记作|z|或|abi|，即|z|abi|。a2b2 2复数的几何意义 (1)复数 zabi 复平面内的点 Z(a，b)(a，bR)。 (2)复数 zabi 平面向量(a，bR)。 3复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)则： 加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i。 减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i。 乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i。 除法： (cdi0)。 z1 z2 abi cdi
3、 acbdbcadi c2d2 (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3C， 有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)。 1复数 abi(a，bR)数系表 复数Error!Error! 2i 的乘方具有周期性 inError!Error!(kZ)。 3复数的模与共轭复数的关系： z|z|2|2。 一、走进教材 1(选修 22P106A 组 T2改编)若复数(a23a2)(a1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( ) A1B2 C1 或 2D1 解析 依题意，有Error!Error!解得 a2。故选 B。 答案 B 2(选修 22P112
4、A 组 T5(3)改编)复数 2的共轭复数是 ( 5 2i) ( ) A2iB2i C34iD34i 解析 22(2i)234i，所以其共 ( 5 2i) 52i 2i2i 轭复数是 34i。故选 C。 答案 C 二、走近高考 3(2018全国卷)( ) 12i 12i A iB i 4 5 3 5 4 5 3 5 C iD i 3 5 4 5 3 5 4 5 解析 因为 i。故选 D。 12i 12i 12i2 5 34i 5 3 5 4 5 答案 D 4(2018全国卷)(1i)(2i)( ) A3iB3i C3iD3i 解析 (1i)(2i)2i2ii23i。 答案 D 三、走出误区 微
5、提醒：复数的几何意义不清致误；复数的运算方法不 当致使出错；z 与 的不清致误。 z 5 在复平面内， 复数 65i， 23i 对应的点分别为 A， B。 若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( ) A48iB82i C24iD4i 解析 因为 A(6,5)，B(2,3)，所以线段 AB 的中点 C(2,4)， 则点 C 对应的复数为 z24i。故选 C。 答案 C 6若 a 为实数，且3i，则 a( ) 2ai 1i A4B3 C3D4 解析 由3i， 得 2ai(3i)(1i)24i， 即 ai 2ai 1i 4i，因为 a 为实数，所以 a4。故选 D。 答案 D 7已知
6、(12i)43i，则 z_。 解析 因为2i，所以 z 43i 12i 43i12i 12i12i 105i 5 2i。 答案 2i 考点一 复数的有关概念 【例1】 (1)(2019河北衡水中学模拟)已知i为虚数单位， a 为实数，复数 z 满足 z3iaai，若复数 z 是纯虚数，则( ) Aa3Ba0 Ca0Da0 (2)(2019山东枣庄模拟)设复数 z(其中 i 为虚数单位)， 5 2i 则复数 z 的实部为_，虚部为_。 解析 (1)由 z3iaai，得 za(a3)i，又因为复数 z 是纯虚数，所以Error!Error!解得 a0。故选 B。 (2)z2i，所以复数 z 的实部
7、为 2，虚 5 2i 52i 2i2i 部为 1。 答案 (1)B (2)2 1 复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复 数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时， 需把所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR)的形式，再根据 题意列方程(组)求解。 【变式训练】 (1)已知复数 z1i，则下列说法中正确说 法的个数为( ) |z|； 1i；z 的虚部为 i；z 在复平面上对2 z 应的点在第一象限。 A1 B2 C3 D4 (2)复数 z的共轭复数是( ) 4i i A14iB14i C14iD14i (3)若复数(1ai)22i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实
8、数 a ( ) A0 B1 C1 D1 解析 (1)因为复数 z1i，所以|z|， 1i，z 的虚2 z 部为 1，z 在复平面上对应的点(1,1)在第一象限，即中的 说法正确，中的说法错误。故选 C。 (2)z14i，所以复数 z的共 4i i 4ii i2 4i i 轭复数是14i。故选 A。 (3)(1ai)22i1a22ai2i， 因为(1ai)22i是纯虚数， 所以Error!Error!即 a1。故选 D。 答案 (1)C (2)A (3)D 考点二 复数的几何意义 【例 2】 (1)复数 z(i 为虚数单位)， z 在复平面 i 2i2 内所对应的点在( ) A第一象限B第二象限
9、 C第三象限D第四象限 (2)设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概率 为( ) A B 3 4 1 2 1 2 1 C. D. 1 2 1 1 4 1 2 解析 (1)因为 z i 2i2 i 44i1 i 34i i34i 25 i， 所以 z 在复平面内所对应的点在第一象限。 故 4 25 3 25 ( 4 25， 3 25) 选 A。 (2)由|z|1 知复数 z 在复平面内对应的点构成的区域是以 (1,0)为圆心，1 为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆 内(包括边界)且满足 yx 的区域，该区域的面积为 11 1 4 1 2 ，故满足 yx 的概率为
10、。故选 D。 1 4 1 2 1 4 1 2 12 1 4 1 2 答案 (1)A (2)D 1 复数 z、 复平面上的点 Z 及向量一一对应， 即 zabi(a， b R)Z(a，b)。 2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此 可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合 的方法，使问题的解决更加直观。 【变式训练】 (1)如图，若向量对应的复数为 z，则 z 表 4 z 示的复数为( ) A13iB3i C3iD3i (2)已知复数 zxyi(x，yR，x0)且|z2|，则 的3 y x 取值范围是_。 解析 (1)由题图可得 Z(1， 1)， 即 z1i， 所以
11、z 1i 4 z 1i1i1i22i3i。 4 1i 41i 1i1i 44i 2 故选 D。 (2)因为|z2|x2yi|，|z2|，所以(x2)2y23。3 设 k，则 ykx。联立Error!Error!化简为(1k2)x24x10。因为 y x 直线 ykx 与圆有公共点， 所以 164(1k2)0， 解得3 k，所以 的取值范围为，。3 y x 33 答案 (1)D (2)，33 考点三 复数的运算 【例 3】 (1)(2018全国卷)设 z2i，则|z|( ) 1i 1i A0 B C1 D. 1 2 2 (2)(2018天津高考)i 是虚数单位，复数_。 67i 12i (3)(
12、2018江苏高考)若复数 z 满足 iz12i，其中 i 是虚数 单位，则 z 的实部为_。 解析 (1)因为 z2i2i2ii， 1i 1i 1i2 1i1i 2i 2 所以|z|1。故选 C。012 解析 ： 因为 z2i， 所以|z| 1i 1i 1i2i1i 1i 1i 1i 1，故选 C。 1i 1i |1i| |1i| 2 2 (2)4i。 67i 12i 67i12i 12i12i 205i 5 (3)复数 z(12i)(i)2i 的实部是 2。 12i i 答案 (1)C (2)4i (3)2 1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算。 2复数除法运算的关键是分子、分母
13、同乘分母的共轭复数， 解题中要注意把 i 的幂写成最简形式。 【变式训练】 (1)若复数 z 满足(2i)z|12i|，则 z 的虚 部为( ) A Bi C1 Di 5 5 5 5 (2)(2019昆明质检)设复数 z 满足1i， 则 z( ) 1i2 z A1iB1i C1iD1i (3)已知复数 z， 则复数 z 在复平面内对 ii2i3i2 018 1i 应点的坐标为_。 解析 (1)由题意可知 z |12i| 2i 52i 2i2i 52i 5 i，故其虚部为。故选 A。 25 5 5 5 5 5 (2)由题意得 z1i。 1i2 1i 2i 1i 2i1i 1i1i (3)因为 i4n1i4n2i4n3i4n4ii2i3i40， 而 2018 45042，所以 z ii2i3i2 018 1i ii2 1i 1i 1i i，对应的点为(0,1)。 1i1i 1i1i 2i 2 答案 (1)A (2)C (3)(0,1)