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1、课后限时集训(四十一) 空间向量的运算及应用课后限时集训(四十一) 空间向量的运算及应用 (建议用时：60 分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD 的位置关系是( ) A垂直 B平行 C异面 D相交但不垂直 B 由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，AB CD 3，与共线，AB CD AB CD 又与没有公共点，ABCD.AB CD 2在空间直角坐标系中，A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)， 若A，B，C，D四点共面，则( ) A
2、2xyz1 Bxyz0 Cxyz4 Dxyz0 A A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，(0,1，1)，AB (2,2,2)，(x1，y1，z2)AC AD A，B，C，D四点共面， 存在实数，使得， 即(x1，y1，z2)(0,1，AD AB AC 1)(2,2,2)， Error!解得 2xyz1，故选 A. 3 如图所示， 三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点， 设a，b，OA OB c， 用a，b，c表示，则( )OC NM NM A. (abc) 1 2 B. (abc) 1 2 C. (abc) 1 2 D. (abc)
3、 1 2 B () () (abc)NM NA AM OA ON 1 2AB OA 1 2OC 1 2 OB OA 1 2OA 1 2OB 1 2OC 1 2 4在空间直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为A(2,1，1)，B(3,4，)，C(2,7,1)， 若，则( )AB CB A3 B1 C3 D3 C 由题知，(1,3，1)，(1， 3，1)， 由， 可得0， 即192AB CB AB CB AB CB 10，即29，3，故选 C. 5已知正四面体ABCD的棱长为 1，且2，2，则( )AE EB AF FD EF DC A. B. 2 3 1 3 C D 2 3 1 3 D 因为2
4、，2， 所以EFBD，EFBD， 即， 则 |AE EB AF FD 2 3 EF 2 3BD EF DC 2 3BD DC 2 3 BD |cos .故选 D.DC 2 3 1 3 二、填空题 6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M 是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_ 垂直 以A为原点，分别以， ，所在直线为x，y，z轴，建立空间直AB AD AA1 角坐标系(图略)，设正方体的棱长为 1， 则A(0,0,0)，M，O，N (0，1， 1 2) ( 1 2， 1 2，0) ，0，ON与AM垂直 ( 1 2，0，1)
5、AM ON (0，1， 1 2) (0， 1 2，1) 7 已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)， 平面的一个法向量n(1， 1， 1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_ 设平面的法向量为m(x，y，z)， 由m0，得x0yz0yz，AB 由m0，得xz0xz，取x1，AC m(1,1,1)，mn， mn，. 8如图所示，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC 折起，使AB与CD成 60角，则BD的长为_ 2 或 AB与CD成 60角，2 ， 60或 120.BA CD 又ABACCD1，ACCD，ACAB， |BD BD2
6、BA AC CD 2 BA2 AC2 CD2 2BA AC 2AC CD 2BA CD 111002 1 1 cosBA ，CD ，32cosBA ，CD |2 或.BD的长为 2 或.BD 22 三、解答题 9已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.AB AC (1)若|c|3，且c，求向量c；BC (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值 解 (1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，BC BC cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，BC |c|3|m|3，2m2m22m2 m1.c(2，1,2)或(2,1，2) (2)a(1,1,0)，b(
7、1,0,2)， ab(1,1,0)(1,0,2)1， 又|a|，1212022 |b|，1202225 cosa，b， ab |a|b| 1 10 10 10 故向量a与向量b的夹角的余弦值为. 10 10 10.如图所示，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD， 且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点，求证： (1)PB平面EFH； (2)PD平面AHF. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)， F(0,1,1)，H(1,0,0) (1)E，H分
8、别是线段AP，AB的中点， PBEH. PB平面EFH，且EH平面EFH， PB平面EFH. (2)(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，PD AH AF 0021(2)10，PD AF 0120(2)00.PD AH PDAF，PDAH. 又AFAHA，PD平面AHF. B 组 能力提升 1若x，yR，有下列命题： 若pxayb，则p与a，b共面； 若p与a，b共面，则pxayb； 若xy，则P，M，A，B共面；MP MA MB 若点P，M，A，B共面，则xy.MP MA MB 其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 B 正确 ； 中若a，b共线，p与a不共线， 则pxa
9、yb就不成立 ； 正确 ； 中若M，A，B 共线，点P不在此直线上，则xy不正确MP MA MB 2.(2019四川名校联考)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M， N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关 2a 3 系是( ) A相交 B平行 C垂直 D不能确定 B 正方体棱长为a，A1MAN， 2a 3 ，MB 2 3A 1B CN 2 3CA MN MB BC CN 2 3A 1B BC 2 3CA (). 2 3 A1B1 B1B BC 2 3(CD DA ) 2 3B 1B 1 3B 1C1 又是平面B1BCC1的法向量，CD 且0，
10、MN CD ( 2 3B 1B 1 3B 1C1 ) CD ，MN CD MN平面B1BCC1.故选 B. 3已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，AB AD (1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.AP AP AP BD 其中正确的是_ 0，0，AB AP AD AP ABAP，ADAP， 则正确 又与不平行，AB AD 是平面ABCD的法向量，则正确AP (2,3,4)，(1,2，1)，BD AD AB AP 与不平行，BD AP 故错误 4.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边 长的倍，
11、点P为侧棱SD上的点2 (1)求证：ACSD； (2)若SD平面PAC， 则侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC，若存 在， 求SEEC的值；若不存在，试说明理由 解 (1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD.连接SO，由题 意知SO平面ABCD. 以O为坐标原点， ， ，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图OB OC OS 底面边长为a，则高SOa， 6 2 于是S，D，B，C， (0，0， 6 2 a) ( 2 2 a，0，0) ( 2 2 a，0，0) (0， 2 2 a，0)OC (0， 2 2 a，0) ，SD ( 2 2 a，0， 6 2 a) 则0.故OCSD.从而ACSD.OC SD (2)棱SC上存在一点E，使BE平面PAC. 理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，DS DS ( 2 2 a，0， 6 2 a)CS ，. (0， 2 2 a， 6 2 a)BC ( 2 2 a， 2 2 a，0) 设t，则t，而0t .CE CS BE BC CE BC CS ( 2 2 a， 2 2 a1t， 6 2 at)BE DS 1 3 即当SEEC21 时，.BE DS 而BE平面PAC，故BE平面PAC.