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1、课后限时集训(六十四) 参数方程课后限时集训(六十四) 参数方程 (建议用时：60 分钟) A A 组 基础达标 1已知P为半圆C：Error!(为参数，0)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐 标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.AP 3 (1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标； (2)求直线AM的参数方程 解 (1)由已知，点M的极角为， 3 且点M的极径等于， 3 故点M的极坐标为. ( 3 ， 3) (2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0) ( 6 ， 3 6) 故直线AM的参数方程为 Error!(t为参数) 2已知在平面直角坐标
2、系xOy中，直线l的参数方程是Error!(t是参数)，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 cos .2 (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； (2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求xy的取值范围 解 (1)由Error!得y2x6， 故直线l的普通方程为 2xy60. 由2cos ，2 得22cos ，2 所以x2y22x，2 即(x)2y22，2 故曲线C的直角坐标方程为(x)2y22.2 (2)根据题意设点M(cos ，sin )，222 则xycos sin 2sin，2222 ( 4) 所以xy的取值范围是2，
3、222 3(2019新乡模拟)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线C的极坐标方程为4cos ，曲线M的直角坐标方程为x2y20(x0) (1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程； (2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和 解 (1)由Error!得Error! 故曲线M的参数方程为 Error!. (k为参数，且k 1 2) (2)由4cos ，得24cos ，x2y24x. 将Error!代入x2y24x整理得k24k30， k1k24. 故直线OA与直线OB的斜率之和为 4. 4以直角坐标系的原点O为极点，
4、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极 坐标方程为 2sin30，曲线C的参数方程是Error!(为参数) ( 6) (1)求直线l和曲线C的普通方程； (2)直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求|PA|PB|. 解 (1)直线l的极坐标方程为 2sin30， ( 6) 化为sin cos 30，3 即l的普通方程为xy30，3 由曲线C的参数方程Error!消去，得C的普通方程为x2y24. (2)在xy30 中令y0 得P(3,0)，3 k， 3 3 倾斜角， 5 6 l的参数方程可设为Error! 即Error! 代入x2y24 得t23t50，70，3 方程有两解，
5、 又t1t23，t1t250，3 t1，t2同号， 故|PA|PB|t1|t2|t1t2|3.3 5已知曲线C：1，直线l：Error!(t为参数) x2 4 y2 9 (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最 小值 解 (1)曲线C的参数方程为Error!(为参数) 直线l的普通方程为 2xy60. (2)曲线C上任意一点P(2cos ， 3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6| 5 5 ， 5|5sina6| 5(tan 4 3) 则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .
6、d sin 30 2 5 5 4 3 当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为. 22 5 5 当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为. 2 5 5 6已知直线的参数方程为Error!(其中t为参数，m为常数)以原点为极点，x轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为2sin ， 直线与曲线C交于A，B两点 (1)若|AB|，求实数m的值； 15 2 (2)若m1，点P的坐标为(1,0)，求的值 1 |PA| 1 |PB| 解 (1)曲线C的极坐标方程可化为22sin ， 转化为普通方程可得x2y22y，即x2(y1)21. 把Error!代入x2(y1)2
7、1 并整理可得 t2(m)tm20，(*)3 由条件可得(m)24m20，解得m.3 3 3 3 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2m，t1t2m20，3 |AB|t1t2|，解得m或.t1t224t1t2m 324m2 15 2 3 2 3 6 (2)当m1 时，(*)式变为t2(1)t10，3 t1t21，t1t21，3 由点P的坐标为(1,0)知P在直线上，可得 1. 1 |PA| 1 |PB| 1 |t1| 1 |t2| |t1|t2| |t1t2| |t1t2| |t1t2| 3 B B 组 能力提升 1已知曲线C1：Error!(t为参数)，C2：Error!(为参数)
8、 (1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点， 求PQ的中点M到直线C3：Error!(t 2 为参数)距离的最小值 解 (1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x4)2(y3)21. 同理曲线C2的普通方程为1. x2 64 y2 9 C1表示圆心是(4,3)，半径是 1 的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴 长是 8，短半轴长是 3 的椭圆 (2)当t时，P(4,4)，又Q(8cos ，3sin ) 2 故M， (24cos ，2 3 2sin ) 又C3的普通方程为x2y70， 则M到直线C
9、3的距离d|4cos 3sin 13| 5 5 |3sin 4cos 13| 5 5 |5sin()13|. 5 5(其中满足tan 4 3) 所以d的最小值为. 8 5 5 2平面直角坐标系中，直线l的参数方程为Error!(t为参数)以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. 2cos 1cos2 (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程； (2)已知与直线l平行的直线l过点M(2,0)，且与曲线C交于A，B两点，试求|AB|. 解 (1)由l的参数方程Error!得其普通方程为xy10.将xcos ，y33 sin 代入直线方程得cos sin 10.由可得2(133 2cos 1cos2 cos2)2cos ，即2sin22cos ，故曲线C的直角坐标方程为y22x. (2)直线l的倾斜角为，直线l的倾斜角也为.又直线l过点M(2,0)，直 3 3 线l的参数方程为Error!(t为参数)， 将其代入曲线C的直角坐标方程可得 3t24t16 0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2.由根与系数的关系知t1t2，t1 16 3 t2 ，|AB|t1t2|. 4 3 t1t224t1t2 ( 4 3) 216 4 3 4 13 3