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1、课后限时集训(六) 函数的奇偶性与周期性课后限时集训(六) 函数的奇偶性与周期性 (建议用时：40 分钟) A A 组 基础达标 一、选择题 1下列函数中，既是偶函数又在(0，)上递增的是( ) Ayex Bysin x Cycos x Dyln x2 D D yex不是偶函数，所以 A 不正确；ysin x是奇函数，所以 B 不正确；ycos x是偶函 数，在(0，)上不是递增函数，所以 C 不正确；yln x2是偶函数，在(0，)上是递增 函数，所以 D 正确故选 D. 2已知f(x)为定义在 R R 上的奇函数，当x0 时，f(x)2xm，则f(2)( ) A3 B5 4 C. D3 5
2、 4 A A 因为f(x)为 R R 上的奇函数， 所以f(0)0， 即f(0)20m0， 解得m1， 则f(2) f(2)(221)3. 3已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等 于( ) A4 B3 C2 D1 B B 由已知得f(1)f(1)，g(1)g(1)，则有Error! 解得g(1)3. 4 (2019江西六校联考)设函数f(x)是定义在 R R 上的奇函数， 且f(x)Error!则gf(8) ( ) A1 B2 C1 D2 A A 函数f(x)是定义在 R R 上的奇函数，且f(x)Error! f(8)f(8)log3
3、 92， gf(8)g(2)f(2)f(2)log3 31. 故选 A. 5定义在 R R 上的奇函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(1)1，则f(2 019)( ) A0 B1 C1 D2 B B 由题意得f(x4)f(2(x2)f(x)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)， 函数f(x)以 8 为周期，f(2 019)f(3)f(1)1，故选 B. 6 (2019皖南八校联考)偶函数f(x)在(， 0上是增函数， 且f(1)1， 则满足f(2x3) 1 的实数x的取值范围是( ) A(1,2) B(1,0) C(0,1) D(1,1) A A 因为偶函数f(x)在(，0上是增函数
4、， 所以函数f(x)在(0，)上是减函数 由f(1)1 且满足f(2x3)1f(1)， 等价于f(|2x3|)f(1)， |2x3|1，可得12x31,22x4,1x2， 所以实数x的取值范围是(1,2)，故选 A. 7 (2019广州模拟)定义在R R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x)f(x4)， 且当x( 1,0)时，f(x)2x ，则f(log220)( ) 1 5 A1 B.4 5 C1 D4 5 C C 由于xR R，且f(x)f(x)，所以函数为奇函数，由于f(x)f(x4)，所以函数的 周期为 4，log216log220log232，即 4log2205,0log2
5、2041， 0log21， 5 4 f(log220)f(log2204)f(log25 4) ff (log 25 4)(log 24 5)(2log 24 5 1 5) 1，故选 C. ( 4 5 1 5) 二、填空题 8(2019山西八校联考)已知f(x)是定义在 R R 上的函数，且满足f(x2)，当 1 fx 2x3 时，f(x)x，则f_. ( 11 2) f(x2)，f(x4)f(x)， 5 2 1 fx ff，又 2x3 时，f(x)x， ( 11 2)( 5 2) f ，f . ( 5 2) 5 2( 11 2) 5 2 9 已知f(x)是定义在 R R 上的偶函数， 且在区
6、间(， 0)上递增 若实数a满足f(2|a1|)f( )，则a的取值范围是_2 f(2|a1|)f()f()， ( 1 2， 3 2) 22 又由已知可得f(x)在(0，)上递减，2|a1|2 ，2 1 2 |a1| ， a . 1 2 1 2 3 2 10定义在实数集 R R 上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)现有以下三 个命题： 8 是函数f(x)的一个周期；f(x)的图像关于直线x2 对称；f(x)是偶函数 其中正确命题的序号是_ f(x)f(x2)0， f(x2)f(x)， f(x)的周期为 4， 故正确 ； 又f(4x) f(x)， 所以f(2x)f(2x
7、)， 即f(x)的图像关于直线x2 对称， 故正确 ； 由f(x)f(4 x)得f(x)f(4x)f(x)，故正确 B B 组 能力提升 1已知f(x)asin xb4，若f(lg 3)3，则f( ) 3 x (lg 1 3) A. B 1 3 1 3 C5 D8 C C 因为f(x)f(x)8，ff(lg 3)，所以f8f(lg 3)5，故选 C. (lg 1 3)(lg 1 3) 2 (2019衡水调研)已知函数f(x)Error!若f(a)f(a)2f(1)， 则a的取值范围是( ) A1,0) B0,1 C1,1 D2,2 C C 由函数方程可知f(x)是偶函数，故f(a)f(a)，原
8、不等式等价于f(a)f(1)，即 f(|a|)f(1)，而函数在0，)上递增，故|a|1，解得1a1. 3(2018洛阳一模)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)任意xR R，都有f(x)f(x)0； (2)任意x1，x2R R，且x1x2，都有0. fx1fx2 x1x2 f(x)sin x；f(x)2x3；f(x)1x；f(x)ln(x)x21 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A0 B1 C2 D3 B B 由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是 R R 上的减函数 对于，f(x)sin x在 R R 上不单调，故不是“优
9、美函数” ； 对于，f(x)2x3既是奇函数， 又在 R R 上递减，故是“优美函数” ；对于，f(x)1x不是奇函数，故不是“优美函数” ； 对于，易知f(x)在 R R 上递增，故不是“优美函数” 故选 B. 4 (2019沧州模拟)已知函数yf(x)是 R R 上的偶函数， 对于任意xR R， 都有f(x6)f(x) f(3)成立，当x1，x20,3，且x1x2时，都有0.给出下列命题： fx1fx2 x1x2 f(3)0； 直线x6 是函数yf(x)的图像的一条对称轴； 函数yf(x)在9，6上为增函数； 函数yf(x)在9,9上有四个零点 其中所有正确命题的序号为_ f(x6)f(x
10、)f(3)， 令x3 得，f(3)0，又f(x)为偶函数，f(3)0，即正确； 由f(3)0得f(x6)f(x)， 又f(x)f(x)， 所以f(6x)f(6x)， 故f(x)关于直线x6 对称，又f(x)的周期为 6，故正确； 当x1，x20,3，且x1x2时，都有0，所以函数yf(x)在0,3上为增 fx1fx2 x1x2 函数 因为f(x)是 R R 上的偶函数， 所以函数yf(x)在3,0上为减函数， 而f(x)的周期为 6， 所以函数yf(x)在9，6上为减函数故错误； f(3)0，f(x)的周期为6， 所以f(9)f(3)f(3)f(9)0， 所以函数yf(x)在9,9 上有四个零点故正确