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1、 第 21 讲 三角恒等变换 第 21 讲 三角恒等变换 课时达标课时达标 一、选择题 1已知 sin 2 ，则 cos2( ) 1 3( 4) A B 1 3 2 3 C D 1 3 2 3 D D 解析 cos2 . ( 4) 1cos(2 2) 2 1sin 2 2 2 3 2(2017山东卷)函数ysin 2xcos 2x的最小正周期为( )3 A B 2 2 3 C D2 C C 解析 ysin 2xcos 2x2sin，其最小正周期为.故选 C3 (2x 6) 2 2 3(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则( ) Af(x)的最小正周期为 ，最大值为 3
2、Bf(x)的最小正周期为 ，最大值为 4 Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 B B 解析 因为函数f(x)1cos 2x2 cos 2x ， 所以f(x)的最小正 1cos 2x 2 3 2 5 2 周期为，最大值为 4.故选 B 2 2 3 2 5 2 4(2019绵阳中学月考)已知 sinsin ，则 sin( ) ( 2 3 ) 4 3 5( 7 6) A B 4 5 3 5 C D 2 5 1 5 A A 解析 由题意得 sinsin cos sin sin， 所 ( 2 3 ) 3 2 3 2 3 ( 6) 4 3 5 以 sin
3、 ，所以 sinsin . ( 6) 4 5( 7 6)( 6) 4 5 5 (2019深圳中学期中)已知 tan ， 且0， 则 ( 4) 1 2 2 2sin2sin 2 cos( 4) ( ) A B 2 5 5 3 5 10 C D 3 10 10 2 5 5 A A 解析 由tan 得tan .又0， 故sin ( 4) tan 1 1tan 1 2 1 3 2 .故2sin . 10 10 2sin2sin 2 cos( 4) 2sin sin cos 2 2 sin cos 2 2 5 5 6已知 sincos，则 cos 2( ) ( 6 ) ( 6 ) A1 B1 C D0
4、1 2 D D 解析 因为 sincos，所以 cos sin cos sin ( 6 ) ( 6 ) 1 2 3 2 3 2 1 2 ， 即sin cos ， 所以 tan 1， 所以 cos 2 ( 1 2 3 2)( 1 2 3 2) sin cos cos2sin20. cos2sin2 sin2cos2 1tan2 tan21 二、填空题 7.的值为_ tan( 4 )cos 2 2cos2( 4 ) 解析 原式 sin( 4 )cos 2 2sin2( 4 )cos( 4 ) cos 2 2sin( 4 )cos( 4 ) 1. cos 2 sin 2( 4 ) cos 2 sin
5、( 2 2) cos 2 cos 2 答案 1 8若锐角，满足(1tan )(1tan )4，则_. 33 解析 由(1tan )(1tan )4 可得，33 tan tan 1tan tan 3 即 tan().又(0，)，所以.3 3 答案 3 9已知，tan()9tan ，则 tan 的最大值为_ (0， 2) 解析 因为，所以 tan 0，tan 0， (0， 2) 所 以 tan tan() tantan 1tantan 8tan 19tan2 ， 8 1 tan 9tan 8 2 3 4 3(当且仅当 1 tan 9tan 时等号成立) 即(tan )max . 4 3 答案 4
6、3 三、解答题 10(2018浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它 的终边过点P. ( 3 5， 4 5) (1)求 sin()的值； (2)若角满足 sin()，求 cos 的值 5 13 解析 (1)由角的终边过点P得 sin ，所以 sin()sin ( 3 5， 4 5) 4 5 . 4 5 (2)由角的终边过点P得 cos ，由 sin()得 cos( ( 3 5， 4 5) 3 5 5 13 ).由()得 cos cos()cos sin()sin ，所 12 13 以 cos 或 cos . 56 65 16 65 11已知函数f(x)sin2xsin2
7、，xR R. (x 6) (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值 3 ， 4 解析 (1)由已知， 有f(x) cos 1cos 2x 2 1cos(2x 3) 2 1 2( 1 2cos 2x 3 2 sin 2x) 1 2 2xsin 2x cos 2x sin.所以f(x)的最小正周期T. 3 4 1 4 1 2(2x 6) 2 2 (2)因为f(x)在区间上是减函数， 在区间上是增函数， 且f 3 ， 6 6 ， 4( 3) ，f ，f，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为 1 4( 6) 1 2( 4) 3 4 3 ， 4 3 4 . 1 2 1
8、2 已知函数f(x)sin(x)2sin21(0， 0)为奇函数，3 x 2 且相邻两对称轴间的距离为. 2 (1)当x时，求f(x)的单调递减区间； 2 ， 4 (2)将函数yf(x)的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来 6 的 (纵坐标不变)，得到函数yg(x)的图象当x时，求函数g(x)的值域 1 2 12， 6 解析 (1)由题意得f(x)sin(x)cos2sin， 因为相3(x) (x 6) 邻两对称轴间的距离为，所以T，2.又因为函数f(x)为奇函数，所以 2 2 k，kZ Z，k，kZ Z.因为 0，所以，故函数f(x)2sin 6 6 6 2x.令2k2x
9、2k，kZ Z，得kxk，kZ Z，令k1，得 2 3 2 4 3 4 x，因为x，所以函数f(x)的单调递减区间为. 3 4 4 2 ， 4 2 ， 4 (2)由题意可得g(x)2sin，因为x，所以4x， (4x 3) 12， 6 2 3 3 3 所以1sin，g(x)2，即函数g(x)的值域为2， (4x 3) 3 2 33 13 选做题(2019洛阳统考)已知函数f(x)sin2 sin x (0)，xR R， x 2 1 2 1 2 若f(x)在区间(，2)内没有零点，则的取值范围是( ) A B (0， 1 8(0， 1 4 5 8，1) C D (0， 5 8(0， 1 8 1 4， 5 8 D D 解析 f(x)sin2 sin x sin x cos xsin，因为 x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2(x 4) x2，所以x2，因为函数f(x)在区间(，2)内没有零 4 4 4 点，所以Error! 即Error!或Error! 则Error!(kZ Z)或Error!(kZ Z)，所以 0 或 . 1 8 1 4 5 8