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1、第 11 讲 函数与方程第 11 讲 函数与方程 课时达标 课时达标 一、选择题 1函数f(x)x32x1 的零点所在的大致区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) A A 解析 f(0)10，则f(0)f(1)20， 又已知f(2)226 70， 所以f(0)f(2)0 时，f(x)2 019xlog2 019x，则在 R R 上，函 数f(x)零点的个数为_ 解析 函数f(x)为 R R 上的奇函数，因此f(0)0，当x0 时，f(x)2 019xlog2 019x在 区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零 (0， 1 2 019
2、) 点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数f(x)在 R R 上的零点的 个数为 3. 答案 3 9(2018浙江卷)已知R R，f(x)Error!当2 时，不等式f(x)0 的解集是 _；若函数f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_ 解析 (1)当2 时，f(x)Error!其图象如图(1)由图知f(x)0 的解集为(1,4) (1) (2) (2)f(x)Error!恰有 2 个零点有两种情况 ： 二次函数有两个零点， 一次函数无零点 ； 二次函数与一次函数各有一个零点 在同一平面直角坐标系中画出yx4与yx24x3 的图象，如图(2)，平移直线x，可得(1,3(
3、4，) 答案 (1)(1,4) (2)(1,3(4，) 三、解答题 10关于x的二次方程x2(m1)x10 在区间0,2上有解，求实数m的取值范围 解析 由x2(m1)x10得x0不是方程的根所以当x(0,2时，(m1)xx2 1,1mx .因为x(0,2时，x 2，当且仅当x1 时，等号成立，所以 1m2， 1 x 1 x 即m1，故实数m的取值范围为(，1 11 (2019无锡中学月考)已知函数f(x)ax2bxc(a0)， 满足f(0)2，f(x1) f(x)2x1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)当x1,2时，求函数的最大值和最小值； (3)若函数g(x)f(x)mx的两个零点
4、分别在区间(1,2)和(2,4)内， 求m的取值范围 解析 (1)由f(0)2 得c2，又f(x1)f(x)2x1，得 2axab2x1，故Error!解得a1，b2，故f(x)x22x2. (2)f(x)x22x2(x1)21，对称轴为x11,2，故f(x)minf(1)1， 又f(1)5，f(2)2，所以f(x)maxf(1)5. (3)g(x)x2(2m)x2，若g(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,4)内，则满足 Error!Error!解得 1m .所以m的取值范围为. 5 2(1， 5 2) 12 (2019石家庄一模)已知函数f(x)x22ext1，g(x)x(x0)，
5、其中 e e2 x 表示自然对数的底数 (1)若g(x)m有实根，求m的取值范围； (2)确定t的取值范围，使得g(x)f(x)0 有两个相异实根 解析 (1)解法一 因为x0，所以g(x)x2 2e，等号成立的条件是xe. e2 x e2 故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，g(x)m就有实根 解法二 作出g(x)x(x0)的图象， 如图(1)， 观察图象可知g(x)的最小值为 2e， e2 x 因此要使g(x)m有实根，则只需m2e. (2)若g(x)f(x)0 有两个相异的实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交 点 因为f(x)x22ext1(xe)2t1e2， 所以
6、函数f(x)图象的对称轴为直 线xe，开口向下， 最大值为t1e2.由题意， 作出g(x)x(x0)及f(x)x22ext1 的大致 e2 x 图象，如图(2)所示故当t1e22e，即te22e1 时，g(x)与f(x)的图象有两 个交点，即g(x)f(x)0 有两个相异实根所以t的取值范围是(e22e1，) 13选做题若yf(x)是定义在 R R 上的函数，且满足：f(x)是偶函数；f(x2) 是偶函数；当 0x2 时，f(x)log2 019x，当x0 时，f(x)0，则方程f(x)2 019 在区间(1,10)内的所有实数根之和为( ) A0 B10 C12 D24 D D 解析 由f(x2)是偶函数得f(x2)f(x2)，则f(x)的图象关于x2 对 称又因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于x0 对称，x2n(nZ Z)是函数f(x)的对 称轴因为当 0x2 时，f(x)log2 019x，当x0 时，f(x)0，所以在区间(1,10)内， 方程f(x)2 019 有 4 个根，关于x4 对称的两个根之和为 8，关于x8 对称的两个根 之和为 16，所以方程f(x)2 019 在区间(1,10)内的所有实数根之和为 24.