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1、高考必考题突破讲座(一)高考必考题突破讲座(一) 1(2019河北武邑中学月考)已知函数f(x)2aln xx2. (1)若a2，求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若a0， 判断函数f(x)在定义域上是否存在最大值或最小值， 若存在， 求出函数f(x) 的最大值或最小值 解析 (1)当a2 时，f(x)4ln xx2.f(x) 2x，f(1)2，f(1)1，所以 4 x 函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y12(x1)，即 2xy30. (2)f(x)2x，x0. 2a x 2x2a x 令f(x)0，由a0，解得x1，x2(舍去)aa 当x在(0，)
2、上变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表. x(0，)aa(，)a f(x)0 f(x)单调递增aln aa单调递减 所以函数f(x)在区间(0，)上有最大值f()aln aa，无最小值a 2(2017全国卷)设函数f(x)(1x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x0 时，f(x)ax1，求a的取值范围 解析 (1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0， 得x1或x1.当x(22 ， 1)时，f(x)0； 当x(1， )2222 时，f(x)0)， 因此h(x)在0，)上单调递减，而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x 1ax1.当00(x0)， 所
3、以g(x)在0， ) 上单调递增， 而g(0)0， 故 exx1.当 0(1x)(1x)2， (1x)(1x)2ax 1x(1axx2)，取x0，则x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010， 54a1 2 故f(x0)ax01.当a0 时， 取x0， 则x0(0,1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01. 51 2 综上，a的取值范围是1，) 3已知函数f(x)aln x(a0)，e 为自然对数的底数 (1)若过点A(2，f(2)的切线斜率为 2，求实数a的值； (2)当x0 时，求证：f(x)a； (1 1 x) (3)若在区间(1，e)上 e ex0 恒成立，求实数a的取值
4、范围 x a 1 a 解析 (1)由题意得f(x) ，所以f(2) 2，所以a4. a x a 2 (2)证明：令g(x)a(x0)，则g(x)a. (ln x1 1 x)( 1 x 1 x2) 令g(x)0，即a0，解得x1； 令g(x).令h(x) x a 1 a x1 a x1 ln x ， 则h(x). x1 ln x ln x11 x ln x2 由(2)知， 当x(1， e)时， ln x1 0， 所以h(x)0， 即h(x)在(1， e)上单调递增， 1 x 所以h(x)0，(x)单调 ln x1 2x ln x 2x2 递增；x(1，)时，(x)0，所以x1 时，(x)有极 大值 ， 1 2 作出两函数的大致图象，如图所示，由图可知，当a 时，两函数图象无交点，g(x)无 1 2 零点； 当a0 或a 时，两函数图象有一个交点，g(x)有一个零点； 1 2 当 00. 当x0 时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10 时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x) h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所 以g(x)h(x)h(2)0. 所以g(x)0 在(0，)上没有实根 综上，g(x)0 在 R R 上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2 只有一个交点