《三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题08平面解析几何（解答题）理（含解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题08平面解析几何（解答题）理（含解析）.pdf（30页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 08 平面解析几何（解答题）专题 08 平面解析几何（解答题） 1 【2019 年高考全国卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 3 2 的直线l与C的交点为A，B， 与x轴的交点为P （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若 3APPB ，求|AB| 【答案】 （1）；（2）. 37 28 yx 4 13 3 【解析】设直线 1122 3 :, 2 l yxt A x yB xy （1）由题设得，故，由题设可得 3 ,0 4 F 12 3 | 2 AFBFxx 12 5 2 xx 由，可得，则 2 3 2 3 yxt yx 22 912(1)40xtxt 12
2、 12(1) 9 t xx 从而，得 12(1)5 92 t 7 8 t 所以 的方程为l 37 28 yx （2）由可得 3APPB 12 3yy 由，可得 2 3 2 3 yxt yx 2 220yyt 所以从而，故 12 2yy 22 32yy 21 1,3yy 代入的方程得C 12 1 3, 3 xx 故 4 13 | 3 AB 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求 解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系. 2【2019 年高考全国卷理数】已知点A(2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足
3、直线AM与BM的斜率之积 为.记M的轨迹为曲线C. 1 2 （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C 于点G. （i）证明：是直角三角形；PQG （ii）求面积的最大值.PQG 【答案】 （1）见解析；（2） （i）见解析；（ii）. 16 9 【解析】 （1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点， 1 222 yy xx 22 1(| 2) 42 xy x 焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点 （2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为(0)ykx k 由得 22 1 42 ykx xy 2 2
4、12 x k 记，则 2 2 12 u k ( ,),(,),( ,0)P u uk QuukE u 于是直线的斜率为，方程为QG 2 k () 2 k yxu 由得 22 (), 2 1 42 k yxu xy 22222 (2)280kxuk xk u 设，则和是方程的解，故，由此得(,) GG G xyu G x 2 2 (32) 2 G uk x k 3 2 2 G uk y k 从而直线的斜率为PG 3 2 2 2 1 2 (32) 2 uk uk k ukk u k 所以，即是直角三角形PQPGPQG （ii）由（i）得，所以PQG的面积 2 | 21PQuk 2 2 21 | 2
5、 uk k PG k 2 22 2 1 8() 18 (1) | 1 2(12)(2) 12() k kk k SPQ PG kk k k 设t=k+，则由k0 得t2，当且仅当k=1 时取等号 1 k 因为在2，+）单调递减，所以当t=2，即k=1 时，S取得最大值，最大值为 2 8 12 t S t 16 9 因此，PQG面积的最大值为 16 9 【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及 三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题. 3【2019 年高考全国卷理数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切
6、线， 2 2 x1 2 切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 5 2 【答案】 （1）见详解；（2）3 或. 4 2 【解析】 （1）设，则. 11 1 , 2 D tA x y 2 11 2xy 由于，所以切线DA的斜率为，故 .yx 1 x 1 1 1 1 2 y x xt 整理得 11 22 +1=0. txy 设，同理可得. 22 ,B xy 22 22 +1=0txy 故直线AB的方程为.2210txy 所以直线AB过定点. 1 (0, ) 2 （2）由（1）得直线AB的方程为
7、. 1 2 ytx 由，可得. 2 1 2 2 ytx x y 2 210xtx 于是， 2 12121212 2 ,1,121xxtx xyyt xxt . 2 222 121212 |11421ABtxxtxxx xt 设分别为点D，E到直线AB的距离，则. 12 ,d d 2 12 2 2 1, 1 dtd t 因此，四边形ADBE的面积. 22 12 1 |31 2 SABddtt 设M为线段AB的中点，则. 2 1 , 2 M t t 由于， 而，与向量平行， 所以.解得t=0或. EMAB 2 ,2EMt t AB (1, ) t 2 20ttt1t 当 =0时，S=3；当时，.t
8、1t 4 2S 因此，四边形ADBE的面积为3或. 4 2 【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班 地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小. 4【2019 年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1） （1）求抛物线C的方程及其准线方程； （2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为 0 的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1 分别 交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点 【答案】 （1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）见解析.C 2 4xy 1y 【解析】 （1）由抛物线经过点，得. 2
9、 :2C xpy (2, 1)2p 所以抛物线的方程为，其准线方程为.C 2 4xy 1y （2）抛物线的焦点为.C(0, 1)F 设直线 的方程为.l1(0)ykxk 由得. 2 1, 4 ykx xy 2 440xkx 设，则. 1122 ,M x yN xy 12 4x x 直线的方程为.OM 1 1 y yx x 令，得点A的横坐标.1y 1 1 A x x y 同理得点B的横坐标. 2 2 B x x y 设点，则，(0, )Dn 12 12 , 1, 1 xx DAnDBn yy 2 12 12 (1) x x DA DBn y y 2 12 22 12 (1) 44 x x n
10、xx 2 12 16 (1)n x x . 2 4(1)n 令，即，则或. 0DA DB 2 4(1)0n 1n 3n 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.(0,1)(0,3) 【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性 质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5【2019 年高考天津卷理数】设椭圆的左焦点为，上顶点为已知椭圆的短 22 22 1(0) xy ab ab FB 轴长为 4，离心率为 5 5 （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负PMPB x N y 半
11、轴上若（为原点），且，求直线的斜率| |ONOFOOPMNPB 【答案】（1）；（2）或 22 1 54 xy 2 30 5 2 30 5 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，又，可得， c 5 24, 5 c b a 222 abc5a 2,b 1c 所以，椭圆的方程为 22 1 54 xy （2）由题意，设设直线的斜率为，0 ,0 PPpM P xyxM x， PB 0k k 又，则直线的方程为，0,2BPB2ykx 与椭圆方程联立整理得， 22 2, 1, 54 ykx xy 22 45200kxkx 可得，代入得， 2 20 45 P k x k 2ykx 2 2 8 10 45
12、P k y k 进而直线的斜率OP 2 45 10 P p yk xk 在中，令，得2ykx0y 2 M x k 由题意得，所以直线的斜率为0, 1NMN 2 k 由，得，化简得，从而OPMN 2 45 1 102 kk k 2 24 5 k 2 30 5 k 所以，直线的斜率为或PB 2 30 5 2 30 5 【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研 究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力 6 【2019 年高考江苏卷】 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆C:的焦点为F1（ 22 22 1(0) xy ab ab
13、1、0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A， 222 (1)4xya 与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1 已知DF1= 5 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）求点E的坐标 【答案】 （1）；（2）. 22 1 43 xy 3 ( 1,) 2 E 【解析】 （1）设椭圆C的焦距为 2c. 因为F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1. 又因为DF1=，AF2x轴，所以DF2=， 5 2 2222 112 53 ( )2 22 DFFF 因此 2a=DF1+DF2=4，从而a=2. 由b2
14、=a2c2，得b2=3. 因此，椭圆C的标准方程为. 22 1 43 xy （2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2， 22 1 43 xy 因为AF2x轴，所以点A的横坐标为 1. 将x=1 代入圆F2的方程(x1) 2+y2=16，解得y=4. 因为点A在x轴上方，所以A(1，4). 又F1(1，0)，所以直线AF1：y=2x+2. 由，得，解得或. 22 () 22 116 yx xy 2 56110xx1x 11 5 x 将代入，得， 11 5 x 22yx 12 5 y 因此. 1112 (,) 55 B 又F2(1，0)，所以直线BF2：. 3 (1) 4 yx 由，得，解得或.
15、 22 1 43 3 (1) 4 x yx y 2 76130xx1x 13 7 x 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.1x 将代入，得.1x 3 (1) 4 yx 3 2 y 因此. 3 ( 1,) 2 E 解法二：由（1）知，椭圆C：. 22 1 43 xy 如图，连结EF1. 因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB， 从而BF1E=B. 因为F2A=F2B，所以A=B， 所以A=BF1E，从而EF1F2A. 因为AF2x轴，所以EF1x轴. 因为F1(1，0)，由，得. 22 1 43 1x xy 3 2 y 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以. 3 2 y
16、因此. 3 ( 1,) 2 E 【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的 位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 7【2019 年高考浙江卷】如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线(10)F ， 2 2(0)ypx p 于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点FABC 的右侧记的面积分别为,AFGCQG 12 ,S S （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的最小值及此时点G的坐标 1 2 S S 【答案】（1）p=2，准线方程为x=1；（2）最小值为，此时G（
17、2，0） 3 1 2 【解析】（1）由题意得，即p=2.1 2 p 所以，抛物线的准线方程为x=1. （2）设，重心.令，则., AABBcc A xyB xyC xy, GG G xy2 ,0 A yt t 2 A xt 由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得 2 1 1 2 t xy t 2 4yx ， 2 2 21 40 t yy t 故，即，所以.24 B ty 2 B y t 2 12 ,B tt 又 由 于及 重 心G在x轴 上 ， 故， 得 11 , 33 GABcGABc xxxxyyyy 2 20 c ty t . 2 42 2 11222 ,2,0 3 tt CttG
18、 ttt 所以，直线AC方程为，得. 2 22ytt xt 2 1,0Q t 由于Q在焦点F的右侧，故.从而 2 2t . 42 2 422 1 244 2 4 2 2 222 1 1 |2 | | 322 2 2 1 222211 | |1| |2 | 2 3 A c tt t FGy tSttt ttStt QGy tt tt 令，则m0， 2 2mt . 1 2 2 113 2221 3 4323 4 24 Sm Smm m m m m 当时，取得最小值，此时G（2，0）3m 1 2 S S 3 1 2 【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查
19、运算 求解能力和综合应用能力. 8【2017 年高考全国 III 卷理数】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是 以线段AB为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.4, 2P 【答案】（1）见解析；（2）直线 的方程为，圆的方程为，l20xyM 22 3110xy 或直线 的方程为，圆的方程为l240xyM 22 9185 4216 xy 【解析】（1）设，. 1122 ,A x yB xy:2l xmy 由可得，则. 2 2, 2 xmy yx 2 240ymy 12 4y y 又，故. 22 12 12 ,
20、22 yy xx 2 12 12 4 4 y y x x 因此的斜率与的斜率之积为，所以.OAOB 12 12 4 1 4 yy xx OAOB 故坐标原点在圆上.OM （2）由（1）可得. 2 121212 2 ,424yym xxm yym 故圆心的坐标为，圆的半径.M 2 2,mm M 2 22 2rmm 由于圆过点，因此，故，M4, 2P 0AP BP 1212 44220xxyy 即， 12121212 42200x xxxy yyy 由（1）可得. 1212 4,4y yx x 所以，解得或. 2 210mm 1m 1 2 m 当时，直线 的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方
21、程1m l20xyM3,1M10M 为. 22 3110xy 当时， 直线 的方程为， 圆心的坐标为， 圆的半径为， 圆 1 2 m l240xyM 91 , 42 M 85 4 M 的方程为. 22 9185 4216 xy 【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的 关系 ； 在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问 题，可以利用“点差法” ，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.0 9 【2017 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点 xOy 22 22 :1(0) xy Ea
22、b ab 分别为，离心率为，两准线之间的距离为 8点在椭圆上，且位于第一象限，过点 1 F 2 F 1 2 PE 1 F 作直线的垂线，过点作直线的垂线 1 PF 1 l 2 F 2 PF 2 l （1）求椭圆的标准方程；E （2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标 1 l 2 lQ EP （注：椭圆的准线方程：） 22 22 1(0) xy ab ab 2 a x c 【答案】 （1）；（2） 22 1 43 xy 4 7 3 7 (,) 77 【解析】 （1）设椭圆的半焦距为c 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为 8，所以， 1 2 1 2 c a 2 2 8 a c 解得，2,1a
23、c 于是， 22 3bac 因此椭圆E的标准方程是 22 1 43 xy （2）由（1）知， 1( 1,0) F 2(1,0) F 设， 00 (,)P xy 因为为第一象限的点，故P 00 0,0xy 当时，与相交于，与题设不符 0 1x 2 l 1 l 1 F 当时，直线的斜率为，直线的斜率为 0 1x 1 PF 0 0 1 y x 2 PF 0 0 1 y x 因为，所以直线的斜率为，直线的斜率为， 11 lPF 22 lPF 1 l 0 0 1x y 2 l 0 0 1x y 从而直线的方程：， 1 l 0 0 1( 1) x yx y 直线的方程： 2 l 0 0 1( 1) x y
24、x y 由，解得， 2 0 0 0 1 , x xxy y 所以 2 0 0 0 1 (,) x Qx y 因为点在椭圆上，由对称性，得，Q 2 0 0 0 1x y y 即或 22 00 1xy 22 00 1xy 又在椭圆E上，故P 22 00 1 43 xy 由，解得； 22 00 22 00 1 1 43 xy xy 00 4 73 7 , 77 xy ，无解 22 00 22 00 1 1 43 xy xy 因此点P的坐标为 4 7 3 7 (,) 77 【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用 根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利
25、用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满 足曲线方程）等 10【2017 年高考浙江卷】如图，已知抛物线，点A，抛物线上的点 2 xy 1 1 () 2 4 ， 3 9 () 2 4 ，B 过点B作直线AP的垂线，垂足为Q 13 ( , )() 22 P x yx （1）求直线AP斜率的取值范围； （2）求的最大值| |PAPQ 【答案】 （1）；（2）( 1,1) 27 16 【解析】 （1）设直线AP的斜率为k， 2 1 1 4 1 2 2 x kx x 因为， 13 22 x 所以直线AP斜率的取值范围是( 1,1) （2）联立直线AP与BQ的方程 11 0, 24 93 0,
26、42 kxyk xkyk 解得点Q的横坐标是 2 2 43 2(1) Q kk x k 因为|PA|=，|PQ|=， 2 1 1() 2 kx 2 1(1)kk 2 2 2 (1)(1) 1() 1 Q kk kxx k 所以 3 (1)(1)kkPAPQ 令，因为， 3 ( )(1)(1)f kkk 2 ( )(42)(1)fkkk 所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减， 1 ( 1, ) 2 1 ( ,1) 2 因此当k=时，取得最大值 1 2 | |PAPQ 27 16 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基 本思想方法和运算求解能力
27、，通过表达与的长度，通过函数求解|PA|PQ 3 ( )(1)(1)f kkk 的最大值| |PAPQ 11【2018 年高考全国卷理数】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线 与交 2 4Cyx：FF(0)k k lC 于，两点，AB |8AB （1）求 的方程；l （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程ABC 【答案】 （1）；（2）或1yx 22 (3)(2)16xy 22 (11)(6)144xy 【解析】 （1）由题意得，l的方程为(1,0)F(1)(0)yk xk 设， 1221 ( ,), (,)AyxyxB 由得 2 (1), 4 yk x yx 2222 (24)0k xkxk
28、，故 2 16160k 12 2 2 24 k x k x 所以 12 2 2 44 | | (1)(1)x k ABAFBF k x 由题设知，解得（舍去） ， 2 2 44 8 k k 1k 1k 因此l的方程为1yx （2）由（1）得AB的中点坐标为，(3,2) 所以AB的垂直平分线方程为，即2(3)yx 5yx 设所求圆的圆心坐标为，则 00 (,)xy 解得或 00 2 2 00 0 5, (1) (1)16. 2 yx yx x 0 0 3, 2 x y 0 0 11, 6. x y 因此所求圆的方程为或 22 (3)(2)16xy 22 (11)(6)144xy 12 【2018
29、 年高考北京卷理数】已知抛物线C：=2px经过点（1，2） 过点Q（0，1）的直线l与抛物 2 yP 线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N （1）求直线l的斜率的取值范围； （2）设O为原点，求证：为定值QMQO QNQO 11 【答案】 （1） （-，-3）（-3，0）（0，1） ；（2）见解析. 【解析】 （1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2） ， 所以 4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x 由题意可知直线l的斜率存在且不为 0， 设直线l的方程为y=kx+1（k0） 由得 2 4 1 yx ykx 22 (24)10k xkx 依题意
30、，解得kb0)的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的离心率为 22 22 1 xy ab ，点A的坐标为，且 5 3 ( ,0)b6 2FBAB （1）求椭圆的方程； （2）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q(0)ykx k 若(O为原点)，求k的值 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ 【答案】 （1）；（2） 22 1 94 xy 111 228 或 【解析】 （1）设椭圆的焦距为 2c，由已知有， 2 2 5 9 c a 又由a2=b2+c2，可得 2a=3b 由已知可得，FBa2ABb 由，可得ab=6，6 2FBAB 从而a=3，b=2， 所以椭圆的方程为 2
31、2 1 94 xy （2）设点P的坐标为（x1，y1） ，点Q的坐标为（x2，y2） 由已知有y1y20，故 12 sinPQAOQyy 又因为，而OAB=，故 2 sin y AQ OAB 4 2 2AQy 由，可得 5y1=9y2 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ 由方程组消去x，可得 22 1 94 ykx xy ， ， 1 2 6 94 k y k 易知直线AB的方程为x+y2=0，由方程组消去x，可得 20 ykx xy ， ， 2 2 1 k y k 由 5y1=9y2， 可得 5（k+1） =， 两边平方， 整理得， 解得， 或 2 3 94k 2 5650110kk 1
32、2 k 11 28 k 所以k的值为 111 228 或 18【2017 年高考全国 I 理数】已知椭圆C：，四点P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（ 22 22 1()0 xy ab ab 1，） ，P4（1，）中恰有三点在椭圆C上 3 2 3 2 （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明 ：l 过定点 【答案】 （1）；（2）见解析. 2 2 1 4 x y 【解析】 （1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点 3 P 4 P 3 P 4 P 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上 2222 1113
33、 4abab 因此，解得， 2 22 1 1 13 1 4 b ab 2 2 4 1 a b 故C的方程为 2 2 1 4 x y （2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t， 由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，） ， （t，） 0t | | 2t 2 4 2 t 2 4 2 t 则， 得， 不符合题设， 从而可设l：（） 22 12 4242 1 22 tt kk tt 2t ykxm1m 将代入得，由题设可知ykxm 2 2 1 4 x y 222 (41)8440kxkmxm 22 16(41)0km 设A（x1，y1） ，B（x2，y2
34、） ，则x1+x2=，x1x2= 2 8 41 km k 2 2 44 41 m k 而 12 12 12 11yy kk xx 12 12 11kxmkxm xx 1212 12 2(1)()kx xmxx x x 由题设，故， 12 1kk 1212 (21)(1)()0kx xmxx 即，解得， 2 22 448 (21)(1)0 4141 mkm km kk 1 2 m k 当且仅当时，于是l：，即，1m 0 1 2 m yxm 1 1(2) 2 m yx 所以l过定点（2，） 1 【名师点睛】 椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质， 判断点是否在椭圆上， 可以通过这一方法进行判断 ； 证
35、明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以 判断过定点情况另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在 两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简 19 【2017 年高考全国 II 理数】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线， 2 2 1 2 x y 垂足为N，点P满足 2NPNM （1）求点P的轨迹方程； （2）设点Q在直线上，且证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F3x 1OP PQ 【答案】 （1）；（2）见解析. 22 2xy 【解析】 （1）设，则
36、00 ( , ),(,)P x y M xy 0 (,0)N x 00 (, ),(0,)NPxxy NMy 由得 2NPNM 00 2 , 2 xx yy 因为在C上，所以 00 (,)M xy 22 1 22 xy 因此点P的轨迹方程为 22 2xy （2）由题意知设，( 1,0)F ( 3, ),( , )QtP m n 则，( 3, ),( 1,),33OQtPFmn OQ PFmtn ( , ),( 3,)OPm n PQm tn 由得，1OP PQ 22 31mmtnn 又由（1）知，故 22 2mn330mtn 所以，即0OQ PF OQPF 又过点P存在唯一直线垂直于OQ， 所
37、以过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点Fl 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0 （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程 （3）定义法 ： 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 （4） 代入(相关点)法 ： 动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动， 常利用代入法求动点P(x，y) 的轨迹方程 20 【2017 年高考北京卷理数】已知抛物线C：y2=2px过点P(1，1).过点(0，)作直线l与抛物线C交于 1 2 不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP
38、，ON交于点A，B，其中O为原点. （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点. 【答案】 （1）抛物线C的方程为，焦点坐标为(，0)，准线方程为；（2）见解析. 2 yx 1 4 1 4 x 【解析】 （1）由抛物线C：过点P(1，1)，得. 2 2ypx 1 2 p 所以抛物线C的方程为. 2 yx 抛物线C的焦点坐标为(，0)，准线方程为. 1 4 1 4 x （2）由题意，设直线l的方程为（） ，l与抛物线C的交点为，. 1 2 ykx0k 11 ( ,)M x y 22 (,)N xy 由，得. 2 1 2 ykx yx 22 4(44)10k
39、 xkx 则，. 12 2 1k xx k 12 2 1 4 x x k 因为点P的坐标为（1，1） ，所以直线OP的方程为，点A的坐标为. yx 11 (,)x y 直线ON的方程为，点B的坐标为. 2 2 y yx x 21 1 2 ( ,) y x x x 因为 21122112 11 22 2 2 y xy xy xx x yx xx 122112 2 11 ()()2 22 kxxkxxx x x 1221 2 1 (22)() 2 kx xxx x 22 2 11 (22) 42 k k kk x ，0 所以. 21 11 2 2 y x yx x 故A为线段BM的中点. 【名师点
40、睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线 与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设 条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来， 可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量. （1）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；P （2）设直线l的方程为（） ，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的 1 2 ykx0k 方程为，联立求得点的坐标为，再证明. 2 2 y yx x B 21 1 2 ( ,) y x x x 12 11 2
41、 20 x y yx x 21 【2017 年高考天津卷理数】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为 22 22 1(0) xy ab ab FA 1 2 已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线 的距离为A 2 2(0)ypx pFl 1 2 （1）求椭圆的方程和抛物线的方程； （2）设 上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点） ，直线与轴lPQ x APBBA BQx 相交于点若的面积为，求直线的方程D APD 6 2 AP 【答案】 （1）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（2）或 2 2 4 1 3 y x 2 4yx3630xy 3630xy 【解析】 （1）设的坐标为F(,0)c 依题意，解得，于是 1 2 c a 2 p a 1 2 ac1a 1 2 c 2p 222 3 4 bac 所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为 2 2 4 1 3 y x 2 4yx （2）设直线的方程为，AP1(0)xmym 与直线 的方程联立，可得点，故l1x 2 ( 1,)P m 2 ( 1,)Q m 将与联立，消去，整理得，1xmy 2 2 4 1 3 y x x 22 (34)60mymy 解得或0y 2 6 34 m y m 由点异于点，可得点BA 2 22 346 (,) 3434 mm B mm 由，可得直线的