《三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题08平面解析几何（解答题）文（含解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题08平面解析几何（解答题）文（含解析）.pdf（32页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 08 平面解析几何（解答题）专题 08 平面解析几何（解答题） 1 【2019 年高考全国卷文数】 已知点A，B关于坐标原点O对称， AB=4， M过点A，B且与直线x+2=0 相切 （1）若A在直线x+y=0 上，求M的半径； （2）是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并说明理由 【答案】 （1）的半径或；（2）存在，理由见解析.M=2r=6r 【解析】（1） 因为过点， 所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上， 且M,A B+ =0x y,A B 关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设. yx ( , )M a a 因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.M
2、M|2|ra 由已知得，又，故可得，解得或.|=2AO MOAO 22 24(2)aa=0a=4a 故的半径或.M=2r=6r （2）存在定点，使得为定值.(1,0)P|MAMP 理由如下： 设，由已知得的半径为.( , )M x yM=| +2|,|=2rxAO 由于，故可得，化简得M的轨迹方程为. MOAO 222 4(2)xyx 2 4yx 因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以. 2 :4C yx(1,0)P1x |= +1MP x 因为，所以存在满足条件的定点P.| |=|= +2( +1)=1MAMP rMP xx 【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点
3、定值类问题.解决定点定值问题的关键 是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所 有情况，使得问题得解. 2 【2019 年高考全国卷文数】 已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O 12 ,F F 22 22 :1(0) xy Cab ab 为坐标原点 （1）若为等边三角形，求C的离心率； 2 POF （2）如果存在点P，使得，且的面积等于 16，求b的值和a的取值范围 12 PFPF 12 FPF 【答案】 （1）；（2），a的取值范围为.314b 4 2,) 【解析】 （1）连结，由为等边三角形可知在中， 1 PF 2 POF 12 FPF 12
4、 90FPF 2 PFc ，于是，故的离心率是. 1 3PFc 12 2( 31)aPFPFcC31 c e a （2）由题意可知，满足条件的点存在当且仅当，( , )P x y 1 | 216 2 yc1 yy xc xc ，即， 22 22 1 xy ab | |16cy ， 222 xyc ， 22 22 1 xy ab 由及得，又由知，故 222 abc 4 2 2 b y c 2 2 2 16 y c 4b 由得，所以，从而故. 2 222 2 a xcb c 22 cb 2222 232,abcb 4 2a 当，时，存在满足条件的点P4b 4 2a 所以，的取值范围为4b a 4
5、2,) 【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的 简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题. 3【2019 年高考全国卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线， 2 2 x1 2 切点分别为A，B （1）证明：直线AB过定点； （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程 5 2 【答案】（1）见解析；（2）或. 2 2 5 4 2 xy 2 2 5 2 2 xy 【解析】（1）设，则 11 1 , 2 D tA x y 2 11 2xy 由于，所以切线DA的斜率为，故yx 1
6、x 1 1 1 1 2 y x xt 整理得 11 22 +1=0. txy 设，同理可得 22 ,B xy 22 22 +1=0txy 故直线AB的方程为2210txy 所以直线AB过定点 1 (0, ) 2 （2）由（1）得直线AB的方程为 1 2 ytx 由，可得 2 1 2 2 ytx x y 2 210xtx 于是. 2 121212 2 ,121xxt yyt xxt 设M为线段AB的中点，则 2 1 , 2 M t t 由于， 而，与向量平行， 所以 解得t=0或 EMAB 2 ,2EMt t AB (1, ) t 2 20ttt1t 当 =0时，=2，所求圆的方程为；t|EM
7、2 2 5 4 2 xy 当时，所求圆的方程为1t |2EM 2 2 5 2 2 xy 【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班 地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小. 4【2019 年高考北京卷文数】已知椭圆的右焦点为，且经过点 22 22 :1 xy C ab (1,0)(0,1)A （1）求椭圆C的方程； （2）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，:(1)l ykxt t 直线AQ与x轴交于点N，若|OM|ON|=2，求证：直线l经过定点 【答案】 （1）；（2）见解析. 2 2 1 2 x y 【解析
8、】 （1）由题意得，b2=1，c=1 所以a2=b2+c2=2 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y （2）设P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则直线AP的方程为 1 1 1 1 y yx x 令y=0，得点M的横坐标 1 1 1 M x x y 又，从而 11 ykxt 1 1 | 1 M x OMx kxt 同理， 2 2 | | 1 x ON kxt 由得 2 2 , 1 2 ykxt x y 222 (12)4220kxktxt 则， 12 2 4 12 kt xx k 2 12 2 22 12 t x x k 所以 12 12 | | | 11 xx OMON kxtk
9、xt 12 22 1212 | (1)(1) x x k x xk txxt 2 2 2 22 22 22 12 | 224 (1) ()(1) 1212 t k tkt kk tt kk 1 2| 1 t t 又，| | 2OMON 所以 1 2|2 1 t t 解得t=0，所以直线l经过定点（0，0） 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、 三角形的面积等问题 5【2019 年高考天津卷文数】设椭圆的左焦点为F，左顶点为
10、A，上顶点为B.已知 22 22 1(0) xy ab ab （O为原点）.3 | 2|OAOB （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切， 3 4 圆心C在直线x=4 上，且，求椭圆的方程.OCAP 【答案】 （1）；（2）. 1 2 22 1 1612 xy 【解析】（1） 设椭圆的半焦距为c， 由已知有， 又由， 消去得，32ab 222 abcb 2 22 3 2 aac 解得. 1 2 c a 所以，椭圆的离心率为. 1 2 （2）由（1）知，故椭圆方程为.2 ,3ac bc 22 22 1 43 xy cc 由题
11、意，则直线 的方程为，(, 0)Fcl 3 () 4 yxc 点P的坐标满足消去并化简，得到，解得. 22 22 1, 43 3 (), 4 xy cc yxc y 22 76130xcxc 12 13 , 7 c xc x 代入到 的方程，解得.l 12 39 , 214 yc yc 因为点在轴上方，所以.P x 3 , 2 P cc 由圆心在直线上，可设.C4x (4, )Ct 因为，且由（1）知，故，解得.OCAP(2 , 0)Ac 3 2 42 c t cc 2t 因为圆与轴相切，所以圆的半径长为 2，C x 又由圆与 相切，得，可得.Cl 2 3 (4)2 4 2 3 1 4 c =
12、2c 所以，椭圆的方程为. 22 1 1612 xy 【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法 研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力. 6 【2019 年高考江苏卷】 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆C:的焦点为F1（ 22 22 1(0) xy ab ab 1、0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A， 222 (1)4xya 与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1 已知DF1= 5 2 （1）求椭圆C的标准
13、方程； （2）求点E的坐标 【答案】 （1）；（2）. 22 1 43 xy 3 ( 1,) 2 E 【解析】 （1）设椭圆C的焦距为 2c. 因为F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1. 又因为DF1=，AF2x轴， 5 2 所以DF2=， 2222 112 53 ( )2 22 DFFF 因此 2a=DF1+DF2=4，从而a=2. 由b2=a2c2，得b2=3. 因此，椭圆C的标准方程为. 22 1 43 xy （2）解法一： 由（1）知，椭圆C：，a=2， 22 1 43 xy 因为AF2x轴，所以点A的横坐标为 1. 将x=1 代入圆F2的方程(x1) 2+y2=1
14、6，解得y=4. 因为点A在x轴上方，所以A(1，4). 又F1(1，0)，所以直线AF1：y=2x+2. 由，得， 22 () 22 116 yx xy 2 56110xx 解得或.1x 11 5 x 将代入，得， 11 5 x 22yx 12 5 y 因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：. 1112 (,) 55 B 3 (1) 4 yx 由，得，解得或. 22 1 43 3 (1) 4 x yx y 2 76130xx1x 13 7 x 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.1x 将代入，得.1x 3 (1) 4 yx 3 2 y 因此. 3 ( 1,) 2 E 解法二： 由（1）
15、知，椭圆C：.如图，连结EF1. 22 1 43 xy 因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB， 从而BF1E=B. 因为F2A=F2B，所以A=B， 所以A=BF1E，从而EF1F2A. 因为AF2x轴，所以EF1x轴. 因为F1(1，0)，由，得. 22 1 43 1x xy 3 2 y 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以. 3 2 y 因此. 3 ( 1,) 2 E 【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的 位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 7【2019 年高考浙江卷】如图，已知点为抛
16、物线的焦点，过点F的直线交抛物线(10)F ， 2 2(0)ypx p 于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点FABC 的右侧记的面积分别为,AFGCQG 12 ,S S （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的最小值及此时点G的坐标 1 2 S S 【答案】（1）p=2，准线方程为x=1；（2）最小值为，此时G（2，0） 3 1 2 【解析】（1）由题意得，即p=2.1 2 p 所以，抛物线的准线方程为x=1. （2）设，重心.令，则., AABBcc A xyB xyC xy, GG G xy2 ,0 A yt t 2 A xt 由于直线A
17、B过F，故直线AB方程为，代入，得 2 1 1 2 t xy t 2 4yx ， 2 2 21 40 t yy t 故，即，所以.24 B ty 2 B y t 2 12 ,B tt 又 由 于及 重 心G在x轴 上 ， 故， 得 11 , 33 GABcGABc xxxxyyyy 2 20 c ty t . 2 42 2 11222 ,2,0 3 tt CttG ttt 所以，直线AC方程为，得. 2 22ytt xt 2 1,0Q t 由于Q在焦点F的右侧，故.从而 2 2t . 42 2 422 1 244 2 4 2 2 222 1 1 |2 | | 322 2 2 1 222211
18、| |1| |2 | 2 3 A c tt t FGy tSttt ttStt QGy tt tt 令，则m0， 2 2mt . 1 2 2 113 2221 3 4323 4 24 Sm Smm m m m m 当时，取得最小值，此时G（2，0）3m 1 2 S S 3 1 2 【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算 求解能力和综合应用能力. 8【2018 年高考全国文数】设抛物线，点，过点的直线 与交于 2 2Cyx：20A，20B ，AlC ，两点MN （1）当 与轴垂直时，求直线的方程；l x BM （2）证明：ABMABN 【答案】
19、（1）y=或；（2）见解析. 1 1 2 x 1 1 2 yx 【解析】 （1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，2） 所以直线BM的方程为y=或 1 1 2 x 1 1 2 yx （2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABM=ABN 当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则x10，x20(2)(0)yk xk 由得ky22y4k=0，可知y1+y2=，y1y2=4 2 (2) 2 yk x yx ， 2 k 直线BM，BN的斜率之和为 12211212 1212 2() 22(2)(2) BMBN yyx y
20、x yyy kk xxxx 将，及y1+y2，y1y2的表达式代入式分子，可得 1 1 2 y x k 2 2 2 y x k 1212 211212 24 ()88 2()0 y yk yy x yx yyy kk 所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABM=ABN 综上，ABM=ABN 【名师点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的化 归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.在设直线的方程时，一定 要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时，要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或 漏解. （1）求
21、出直线l与抛物线的交点，利用两点式写出直线BM的方程; （2）由（1）知，当直线l与x轴垂直时，结论显然成立，当直线l与x轴不垂直时，设出斜率k，联 立直线l与C的方程，求出M，N两点坐标之间的关系，再表示出BM与BN的斜率，得其和为 0，从而 说明BM与BN两条直线的斜率互为相反数，进而可知两角相等. 9 【2018 年高考全国卷文数】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线 与 2 4Cyx：FF(0)k k lC 交于，两点，AB|8AB （1）求 的方程；l （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程ABC 【答案】 （1）y=x1；（2）或 22 (3)(2)16xy 22 (11)(6)14
22、4xy 【解析】 （1）由题意得F（1，0） ，l的方程为y=k（x1） （k0） 设A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由得 2 (1) 4 yk x yx 2222 (24)0k xkxk ，故 2 16160k 2 12 2 24k xx k 所以 2 12 2 44 (1)(1) k ABAFBFxx k 由题设知，解得k=1（舍去） ，k=1 2 2 44 8 k k 因此l的方程为y=x1 （2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2） ，所以AB的垂直平分线方程为 ，即2(3)yx 5yx 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0） ，则 解得或 00 2 2 00 0 5 (1) (1)
23、16. 2 yx yx x ， 0 0 3 2 x y ， 0 0 11 6. x y ， 因此所求圆的方程为 或 22 (3)(2)16xy 22 (11)(6)144xy 【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考 查的数学核心素养是直观想象、数学运算. （1）利用点斜式写出直线l的方程，代入抛物线方程，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的 关系以及抛物线的定义加以求解; （2）由题意写出线段AB的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得 圆心的坐标，即可求解. 10 【2018 年高考全国卷文数】已知斜率为的直线
24、与椭圆交于，两点线段kl 22 1 43 xy C：ABAB 的中点为(1,)(0)Mm m （1）证明：； 1 2 k （2）设为的右焦点，为上一点，且证明：FCPC FPFAFB 0 2| |FPFAFB 【答案】 （1）见解析；（2）见解析. 【解析】 （1）设，则， 11 ()A xy， 22 ()B xy， 22 11 1 43 xy 22 22 1 43 xy 两式相减，并由得 12 12 = yy k xx 1212 0 43 xxyy k 由题设知，于是 12 1 2 xx 12 2 yy m 3 4 k m 由题设得，故 3 0 2 m 1 2 k （2）由题意得F（1，0）
25、 设，则 33 ()P xy， 331122 (1)(1)(1)(0 0)xyxyxy， 由（1）及题设得， 312 3()1xxx 312 ()20yyym 又点P在C上，所以，从而， 3 4 m 3 (1) 2 P， 3 |= 2 FP 于是 2 222 11 111 |(1)(1)3(1)2 42 xx FAxyx 同理 2 |=2 2 x FB 所以 12 1 4()3 2 FAFBxx 故2|=|+|FPFAFB 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、 向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数
26、学抽象、 数学运算.圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系， 也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解. 11【2018 年高考北京卷文数】 已知椭圆的离心率为， 焦距为.斜率为k 22 22 :1(0) xy Mab ab 6 3 2 2 的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. （1）求椭圆M的方程； （2）若，求的最大值；1k |AB （3）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和( 2,0)P 点共线，求k. 7 1 (, ) 4 4 Q 【答案】 （1）；（2）；（3）1. 2
27、 2 1 3 x y6 【解析】 （1）由题意得，所以， 22 2c 2c 又，所以， 6 3 c e a 3a 所以， 222 1bac 所以椭圆的标准方程为M 2 2 1 3 x y （2）设直线的方程为，AB yxm 由消去可得， 2 2 1 3 yxm x y y 22 46330xmxm 则，即， 222 364 4(33)48 120mmm 2 4m 设，则， 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 12 3 2 m xx 2 12 33 4 m x x 则， 2 222 121212 64 |1|1()4 2 m ABkxxkxxx x 易得当时，故的最大值为 2 0m
28、max |6AB|AB6 （3）设， 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 33 (,)C xy 44 (,)D xy 则， 22 11 33xy 22 22 33xy 又，所以可设，直线的方程为，( 2,0)P 1 1 1 2 PA y kk x PA 1( 2)yk x 由消去可得， 1 2 2 (2) 1 3 yk x x y y 2222 111 (1 3)121230kxk xk 则，即， 2 1 13 2 1 12 1 3 k xx k 2 1 31 2 1 12 1 3 k xx k 又，代入式可得，所以， 1 1 1 2 y k x 1 3 1 712 47 x x
29、x 1 3 1 47 y y x 所以， 11 11 712 (,) 4747 xy C xx 同理可得 22 22 712 (,) 4747 xy D xx 故， 33 71 (,) 44 QCxy 44 71 (,) 44 QDxy 因为三点共线，所以，,Q C D 3443 7171 ()()()()0 4444 xyxy 将点的坐标代入化简可得，即,C D 12 12 1 yy xx 1k 【名师点睛】 本题主要考查椭圆的方程及几何性质、 直线与椭圆的位置关系， 考查考生的逻辑思维能力、 运算求解能力，考查数形结合思想，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.解决椭圆 的方程
30、问题，常用基本量法，同时注意椭圆的几何量的关系；弦长的计算，通常要将直线与椭圆方程 联立，利用根与系数的关系求解. 12 【2018 年高考天津卷文数】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心 22 22 1(0) xy ab ab 率为， 5 3 |13AB （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点， 与直线交于点M，且点P，M均在第四象:(0)l ykx k,P QlAB 限若的面积是面积的 2 倍，求k的值 BPM BPQ 【答案】 （1）；（2） 22 1 94 xy 1 2 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆 锥曲线的性
31、质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分 14 分 （1）设椭圆的焦距为 2c，由已知得， 2 2 5 9 c a 又由，可得 222 abc23ab 由，从而 22 |13ABab 3,2ab 所以，椭圆的方程为 22 1 94 xy （2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意， 11 ( ,)x y 22 (,)xy 21 0xx 点的坐标为Q 11 (,)xy 由的面积是面积的 2 倍，可得， BPM BPQ|=2|PMPQ 从而，即 2111 2()xxxx 21 5xx 易知直线的方程为，AB236xy 由方程组消去y，可得 236, , xy ykx 2 6 32 x
32、k 由方程组消去，可得 22 1, 94 , xy ykx y 1 2 6 94 x k 由，可得，两边平方，整理得，解得，或 21 5xx 2 945(32)kk 2 182580kk 8 9 k 1 2 k 当时，不合题意，舍去；当时，符合题意 8 9 k 2 90x 1 2 k 2 12x 1 12 5 x 所以，的值为k 1 2 【名师点睛】 高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系， 涉及轨迹方程问题、 定值问题、 最值问题、参数的取值或取值范围问题等，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决此类问题 要重视化归与转化思想及设而不求法的应用. 13【2018 年高考江苏卷
33、】 如图， 在平面直角坐标系中， 椭圆过点， 焦点xOyC 1 ( 3, ) 2 12 (3,0),( 3,0)FF ，圆O的直径为 12 FF （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P 若直线l与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点P的坐标； 直线l与椭圆C交于两点若的面积为，求直线l的方程,A BOAB 2 6 7 【答案】（1） 椭圆C的方程为， 圆O的方程为； （2） ； 2 2 1 4 x y 22 3xy( 2,1)53 2yx 【解析】 （1）因为椭圆C的焦点为， 12 () 3,0 ,( 3,0)FF 可设椭圆C的方程为 22 22 1(0) xy
34、 ab ab 又点在椭圆C上，所以，解得 1 ( 3, ) 2 22 22 31 1, 4 3, ab ab 2 2 4, 1, a b 因此椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 因为圆O的直径为，所以其方程为 12 FF 22 3xy （2）设直线l与圆O相切于，则， 0000 (),(00)P xyxy 22 00 3xy 所以直线l的方程为，即 0 00 0 () x yxxy y 0 00 3x yx yy 由消去y，得 （*） 2 2 0 00 1, 4 3 , x y x yx yy 2222 0000 4243640()xyxx xy 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， 所
35、以 222222 000000 ()()(24)(4 4364820)4xxyyyx 因为，所以 00 ,0xy 00 2,1xy 因此点P的坐标为( 2,1) 因为三角形OAB的面积为，所以，从而 2 6 7 21 2 6 7 AB OP 4 2 7 AB 设，由（*）得， 1122 ,()(),A x yB xy 22 000 22 00 1,2 2448(2) 2(4) xyx x x y 所以 2 222 121 ()()xByyxA 222 000 2222 000 48(2) (1) (4) xyx yxy 因为，所以，即， 22 00 3xy 2 2 0 22 0 16(2)32
36、 (1)49 x AB x 42 00 2451000xx 解得舍去） ，则， 22 00 5 (20 2 xx 2 0 1 2 y 因此P的坐标为 102 (,) 22 综上，直线l的方程为53 2yx 【名师点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线 与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力. （1）利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程. （2）利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解； 结合，利用弦长公式、三角形的面积公式求解. 14 【2018 年高考浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存
37、在不同的两 点A，B满足PA，PB的中点均在C上 PM B A O y x （1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； （2）若P是半椭圆x2+=1(xb0)的离心率为， 22 22 1 xy ab 2 2 椭圆C截直线y=1 所得线段的长度为. 2 2 （1）求椭圆C的方程； （2）动直线l:y=kx+m(m0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，N的 半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与N分别相切于点E，F，求EDF的最小值. 【答案】 （1）；（2）的最小值为. 22 1 42 xy EDF 3 【解析】 （1）由椭圆的离心率为，得， 2 2 222
38、2()aab 又当时，得，1y 2 22 2 a xa b 2 2 2 2 a a b 所以， 22 4,2ab 因此椭圆方程为. 22 1 42 xy （2）设， 1122 ( ,), (,)A x yB xy 联立方程， 22 24 ykxm xy 得， 222 (21)4240kxkmxm 由得.（*）0 22 42mk 且， 12 2 4 21 km xx k 因此， 12 2 2 21 m yy k 所以， 22 2 (,) 21 21 kmm D kk 又，(0,)Nm 所以 2 22 22 2 ()() 2121 kmm NDm kk 整理得， 224 2 22 4(1 3) (
39、21) mkk ND k 因为，NFm 所以. 2 422 22222 4(31)83 1 (21)(21) NDkkk kk NF 令， 2 83,3tkt 故， 2 1 21 4 t k 所以 . 2 22 1616 11 1 (1) 2 NDt t NF t t 令，所以. 1 yt t 2 1 1y t 当时，,3t 0y 从而在上单调递增， 1 yt t 3,) 因此， 110 3 t t 等号当且仅当时成立，此时，3t 0k 所以， 2 2 1 34 ND NF 由（*）得且. 22m 0m 故， 1 2 NF ND 设，2EDF 则， 1 sin 2 NF ND 所以的最小值为，
40、 6 从而的最小值为，此时直线 的斜率是.EDF 3 l0 综上所述：当，时，取到最小值.0k (2,0)(0,2)m EDF 3 【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题 常见解法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数 的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解 解答本题时， （1）由得，由椭圆C截直线y=1 所得线段的长度为，得 2 2
41、c a 2ab2 2 ，求得椭圆的方程为； （2）由，解得 2 2 2 2 a a b 22 1 42 xy 22 24xy ykxm 22 (21)4kxkmx ，确定，结合的单调性求 2 240m 22 2 (,) 21 21 kmm D kk 42 2 2 |32 21 m DNkk k 2 2 ND NF 的最小值.EDF 21【2017 年高考浙江卷】如图，已知抛物线，点A，抛物线上的点 2 xy 1 1 () 2 4 ， 3 9 () 2 4 B， 过点B作直线AP的垂线，垂足为Q 13 ( , )() 22 P x yx （1）求直线AP斜率的取值范围； （2）求的最大值| |P
42、APQ 【答案】 （1）；（2）.( 1,1) 27 16 【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思 想方法和运算求解能力.满分 15 分. （1）设直线AP的斜率为k， ， 2 1 1 4 1 2 2 x kx x 因为，所以直线AP斜率的取值范围是 13 22 x( 1,1) （2）联立直线AP与BQ的方程 11 0, 24 93 0, 42 kxyk xkyk 解得点Q的横坐标是 2 2 43 2(1) Q kk x k 因为 |PA|=， 2 1 1() 2 kx 2 1(1)kk |PQ|= ， 2 2 2 (1)(1) 1() 1 Q kk kxx k 所以 3 (1)(1)kkPAPQ 令， 3 ( )(1)(1)f kkk 因为 ， 2 ( )(42)(1)fkkk 所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减， 1 ( 1, ) 2 1 ( ,1) 2 因此当k=时，取得最大值 1 2 | |PA